Завдання 12.23, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.23

Системи з квадратною нерівністю

Розв’яжіть систему: 1) ${- 6 x^{2} + 13 x - 5 ⩽ 0, 6 - 2 x > 0;$ 2) ${x^{2} - 7 x - 18 < 0, 5 x - x^{2} ⩽ 0.$

Розв’язання

1) $- 6 x^{2} + 13 x - 5 ⩽ 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 13 x + 5 ⩾ 0$ . $D = 169 - 120 = 49$ , $x = \frac{13 \pm 7}{12}$ : нулі $\frac{1}{2}$ і $\frac{5}{3}$ . Вітки вгору: $x ⩽ \frac{1}{2}$ або $x ⩾ \frac{5}{3}$ . $6 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 3$ . Перетин: $x ⩽ \frac{1}{2}$ або $\frac{5}{3} ⩽ x < 3$ .
2) $x^{2} - 7 x - 18 < 0$ : $D = 49 + 72 = 121$ , нулі $- 2$ і $9$ , тож $- 2 < x < 9$ . $5 x - x^{2} ⩽ 0 \Leftrightarrow x (x - 5) ⩾ 0$ : $x ⩽ 0$ або $x ⩾ 5$ . Перетин: $- 2 < x ⩽ 0$ або $5 ⩽ x < 9$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$ ; 2) $(- 2; 0] \cup [5; 9)$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.23 с. 116

Системи з квадратною нерівністю

Умова

Розв’яжіть систему: 1) ${- 6 x^{2} + 13 x - 5 ⩽ 0, 6 - 2 x > 0;$ 2) ${x^{2} - 7 x - 18 < 0, 5 x - x^{2} ⩽ 0.$

Що треба знати

Систему нерівностей розв’язують так: кожну нерівність розв’язують окремо, а потім на координатній прямій шукають спільну частину (перетин) отриманих множин. Квадратні нерівності розв’язують через нулі тричлена й напрям віток параболи; об’єднання проміжків позначають знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Щоб старший коефіцієнт став додатним, помнож нерівність на $- 1$ і зміни знак на протилежний.

Розв’язання крок за кроком

1) $- 6 x^{2} + 13 x - 5 ⩽ 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 13 x + 5 ⩾ 0$ . $D = 169 - 120 = 49$ , $x = \frac{13 \pm 7}{12}$ : нулі $\frac{1}{2}$ і $\frac{5}{3}$ . Вітки вгору: $x ⩽ \frac{1}{2}$ або $x ⩾ \frac{5}{3}$ . $6 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 3$ . Перетин: $x ⩽ \frac{1}{2}$ або $\frac{5}{3} ⩽ x < 3$ .
2) $x^{2} - 7 x - 18 < 0$ : $D = 49 + 72 = 121$ , нулі $- 2$ і $9$ , тож $- 2 < x < 9$ . $5 x - x^{2} ⩽ 0 \Leftrightarrow x (x - 5) ⩾ 0$ : $x ⩽ 0$ або $x ⩾ 5$ . Перетин: $- 2 < x ⩽ 0$ або $5 ⩽ x < 9$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 3)$ ; 2) $(- 2; 0] \cup [5; 9)$ .

Розбір зрозумілий?