Чи рівносильні нерівності: 1) x2−2x−15>0 і x2−2x−15⩾0; 2) x2−x−201<0 і x2−x−201⩽0?
Розв’язання
1) x2−2x−15=0: D=4+60=64, x1=−3, x2=5; вітки параболи вгору. Розв’язки першої нерівності: (−∞;−3)∪(5;+∞), другої: (−∞;−3]∪[5;+∞). Число 5 задовольняє другу нерівність (0⩾0), але не першу (0>0 — хибно). Множини різні — нерівності не рівносильні.
2) Дріб з чисельником 1 ніколи не дорівнює нулю, тому знак ⩽ дає ті самі розв’язки, що й <: обидві нерівності виконуються тоді й лише тоді, коли x2−x−20<0. D=1+80=81, нулі −4 і 5, вітки вгору, отже −4<x<5. Обидві множини розв’язків — (−4;5), нерівності рівносильні.
Відповідь:
1) Ні; 2) так (обидві мають множину розв’язків (−4;5)).
Чи рівносильні нерівності: 1) x2−2x−15>0 і x2−2x−15⩾0; 2) x2−x−201<0 і x2−x−201⩽0?
Що треба знати
Квадратну нерівність розв’язують за схемою: знаходять нулі тричлена ax2+bx+c (через дискримінант D), схематично малюють параболу — при a>0 вітки вгору, при a<0 вниз — і за рисунком вибирають проміжки, де графік лежить вище (або нижче) осі абсцис. У нестрогій нерівності нулі тричлена входять у відповідь. Дві нерівності рівносильні, якщо їхні множини розв’язків збігаються.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розв’яжи кожну нерівність і порівняй множини розв’язків; зверни увагу, чи може ліва частина дорівнювати нулю.
Розв’язання крок за кроком
1) x2−2x−15=0: D=4+60=64, x1=−3, x2=5; вітки параболи вгору. Розв’язки першої нерівності: (−∞;−3)∪(5;+∞), другої: (−∞;−3]∪[5;+∞). Число 5 задовольняє другу нерівність (0⩾0), але не першу (0>0 — хибно). Множини різні — нерівності не рівносильні.
2) Дріб з чисельником 1 ніколи не дорівнює нулю, тому знак ⩽ дає ті самі розв’язки, що й <: обидві нерівності виконуються тоді й лише тоді, коли x2−x−20<0. D=1+80=81, нулі −4 і 5, вітки вгору, отже −4<x<5. Обидві множини розв’язків — (−4;5), нерівності рівносильні.
Відповідь:
1) Ні; 2) так (обидві мають множину розв’язків (−4;5)).
