Запишіть приклад квадратної нерівності, множиною розв’язків якої є: 1) (−∞;−4)∪(8;+∞); 2) [−2;9]; 3) одне число 7.
Що треба знати
Квадратна нерівність має вигляд ax2+bx+c>0 (або зі знаком <, ⩾, ⩽), де a=0. Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена ax2+bx+c (через дискримінант D=b2−4ac або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при a>0 і вниз при a<0; вісь x вона перетинає в коренях (при D=0 лише дотикається до неї, при D<0 не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком ∪.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Тричлен (x−m)(x−n) з вітками вгору від’ємний між коренями m і n і додатний поза ними.
Розв’язання крок за кроком
1) Тричлен (x+4)(x−8)=x2−4x−32 має корені −4 і 8 та вітки вгору, тож він додатний саме поза коренями. Нерівність: x2−4x−32>0.
2) Тричлен (x+2)(x−9)=x2−7x−18 має корені −2 і 9, вітки вгору; він недодатний між коренями разом із ними. Нерівність: x2−7x−18⩽0.
3) Вираз (x−7)2 ніколи не буває від’ємним і дорівнює нулю лише при x=7. Нерівність: (x−7)2⩽0, тобто x2−14x+49⩽0.
Відповідь:
Наприклад: 1) x2−4x−32>0; 2) x2−7x−18⩽0; 3) x2−14x+49⩽0 (підійдуть і ці нерівності, помножені на будь-яке додатне число).
