Завдання 12.15, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.15

Найбільший цілий розв’язок

Укажіть найбільше ціле число, що задовольняє нерівність: 1) $1, 5 x^{2} - 2 x - 2 < 0$ ; 2) $- 2 x^{2} - 15 x - 25 ⩾ 0$ .

Розв’язання

1) Множимо на $2$ : $3 x^{2} - 4 x - 4 < 0$ . $D = 16 + 48 = 64$ , $x = \frac{4 \pm 8}{6}$ , $x_{1} = - \frac{2}{3}$ , $x_{2} = 2$ . Вітки вгору, розв’язки: $(- \frac{2}{3}; 2)$ . Число $2$ не входить, тож найбільше ціле — $1$ .
2) Множимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 15 x + 25 ⩽ 0$ . $D = 225 - 200 = 25$ , $x = \frac{- 15 \pm 5}{4}$ , $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = - 2, 5$ . Вітки вгору, розв’язки: $[- 5; - 2, 5]$ . Найбільше ціле — $- 3$ .

Відповідь:

1) $1$ ; 2) $- 3$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.15 с. 116

Найбільший цілий розв’язок

Умова

Укажіть найбільше ціле число, що задовольняє нерівність: 1) $1, 5 x^{2} - 2 x - 2 < 0$ ; 2) $- 2 x^{2} - 15 x - 25 ⩾ 0$ .

Що треба знати

Квадратна нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c > 0$ (або зі знаком $<$ , $⩾$ , $⩽$ ), де $a \neq = 0$ . Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена $a x^{2} + b x + c$ (через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ ; вісь $x$ вона перетинає в коренях (при $D = 0$ лише дотикається до неї, при $D < 0$ не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди проміжок розв’язків і візьми найбільше ціле число, яке йому належить.

Розв’язання крок за кроком

1) Множимо на $2$ : $3 x^{2} - 4 x - 4 < 0$ . $D = 16 + 48 = 64$ , $x = \frac{4 \pm 8}{6}$ , $x_{1} = - \frac{2}{3}$ , $x_{2} = 2$ . Вітки вгору, розв’язки: $(- \frac{2}{3}; 2)$ . Число $2$ не входить, тож найбільше ціле — $1$ .
2) Множимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 15 x + 25 ⩽ 0$ . $D = 225 - 200 = 25$ , $x = \frac{- 15 \pm 5}{4}$ , $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = - 2, 5$ . Вітки вгору, розв’язки: $[- 5; - 2, 5]$ . Найбільше ціле — $- 3$ .

Відповідь:

1) $1$ ; 2) $- 3$ .

Розбір зрозумілий?