Завдання 12.13, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.13

Кількість цілих розв’язків

Скільки цілих чисел задовольняє нерівність: 1) $20 - 8 x - x^{2} > 0$ ; 2) $4 x^{2} - 15 x - 4 < 0$ ?

Розв’язання

1) Множимо на $- 1$ : $x^{2} + 8 x - 20 < 0$ . Корені $- 10$ і $2$ , вітки вгору, розв’язки: $(- 10; 2)$ . Цілі числа: $- 9; - 8; \dots; 0; 1$ — їх $11$ .
2) $D = 225 + 64 = 289$ , $x = \frac{15 \pm 17}{8}$ , $x_{1} = - \frac{1}{4}$ , $x_{2} = 4$ . Вітки вгору, розв’язки: $(- \frac{1}{4}; 4)$ . Цілі числа: $0; 1; 2; 3$ — їх $4$ .

Відповідь:

1) $11$ ; 2) $4$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.13 с. 115

Кількість цілих розв’язків

Умова

Скільки цілих чисел задовольняє нерівність: 1) $20 - 8 x - x^{2} > 0$ ; 2) $4 x^{2} - 15 x - 4 < 0$ ?

Що треба знати

Квадратна нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c > 0$ (або зі знаком $<$ , $⩾$ , $⩽$ ), де $a \neq = 0$ . Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена $a x^{2} + b x + c$ (через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ ; вісь $x$ вона перетинає в коренях (при $D = 0$ лише дотикається до неї, при $D < 0$ не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди проміжок розв’язків і порахуй цілі числа в ньому, окремо перевіривши кінці.

Розв’язання крок за кроком

1) Множимо на $- 1$ : $x^{2} + 8 x - 20 < 0$ . Корені $- 10$ і $2$ , вітки вгору, розв’язки: $(- 10; 2)$ . Цілі числа: $- 9; - 8; \dots; 0; 1$ — їх $11$ .
2) $D = 225 + 64 = 289$ , $x = \frac{15 \pm 17}{8}$ , $x_{1} = - \frac{1}{4}$ , $x_{2} = 4$ . Вітки вгору, розв’язки: $(- \frac{1}{4}; 4)$ . Цілі числа: $0; 1; 2; 3$ — їх $4$ .

Відповідь:

1) $11$ ; 2) $4$ .

Розбір зрозумілий?