Завдання 12.10, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.10

Нерівності, що зводяться до квадратних

Розв’яжіть нерівність: 1) $x (x + 5) - 2 < 4 x$ ; 2) $11 - (x + 1)^{2} ⩽ x$ ; 3) $(2 x + 1)^{2} - (x + 1) (x - 7) ⩽ 5$ ; 4) $\frac{2 x ^{2} - 1}{4} - \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{8 x - 5}{8} ⩽ \frac{19}{24}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 5 x - 2 - 4 x < 0$ ; $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені $- 2$ і $1$ , вітки вгору, від’ємні значення між коренями: $(- 2; 1)$ .
2) $11 - x^{2} - 2 x - 1 - x ⩽ 0$ ; $- x^{2} - 3 x + 10 ⩽ 0$ ; множимо на $- 1$ : $x^{2} + 3 x - 10 ⩾ 0$ . Корені $- 5$ і $2$ , вітки вгору, беремо ділянки поза коренями разом із ними: $(- \infty; - 5] \cup [2; + \infty)$ .
3) $4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 6 x - 7) ⩽ 5$ ; $3 x^{2} + 10 x + 8 ⩽ 5$ ; $3 x^{2} + 10 x + 3 ⩽ 0$ . $D = 100 - 36 = 64$ , $x = \frac{- 10 \pm 8}{6}$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - \frac{1}{3}$ . Вітки вгору: $[- 3; - \frac{1}{3}]$ .
4) Множимо на $24$ : $6 (2 x^{2} - 1) - 4 (3 - 4 x) + 3 (8 x - 5) ⩽ 19$ ; $12 x^{2} - 6 - 12 + 16 x + 24 x - 15 ⩽ 19$ ; $12 x^{2} + 40 x - 52 ⩽ 0$ ; ділимо на $4$ : $3 x^{2} + 10 x - 13 ⩽ 0$ . $D = 100 + 156 = 256$ , $x = \frac{- 10 \pm 16}{6}$ , $x_{1} = - \frac{13}{3}$ , $x_{2} = 1$ . Вітки вгору: $[- \frac{13}{3}; 1]$ , тобто $[- 4 \frac{1}{3}; 1]$ .

Відповідь:

1) $(- 2; 1)$ ; 2) $(- \infty; - 5] \cup [2; + \infty)$ ; 3) $[- 3; - \frac{1}{3}]$ ; 4) $[- 4 \frac{1}{3}; 1]$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.10 с. 115

Нерівності, що зводяться до квадратних

Умова

Що треба знати

Квадратна нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c > 0$ (або зі знаком $<$ , $⩾$ , $⩽$ ), де $a \neq = 0$ . Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена $a x^{2} + b x + c$ (через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ ; вісь $x$ вона перетинає в коренях (при $D = 0$ лише дотикається до неї, при $D < 0$ не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий дужки, перенеси все в ліву частину й зведи подібні доданки; у 4) спершу помнож обидві частини на 24.

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{2} + 5 x - 2 - 4 x < 0$ ; $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені $- 2$ і $1$ , вітки вгору, від’ємні значення між коренями: $(- 2; 1)$ .
2) $11 - x^{2} - 2 x - 1 - x ⩽ 0$ ; $- x^{2} - 3 x + 10 ⩽ 0$ ; множимо на $- 1$ : $x^{2} + 3 x - 10 ⩾ 0$ . Корені $- 5$ і $2$ , вітки вгору, беремо ділянки поза коренями разом із ними: $(- \infty; - 5] \cup [2; + \infty)$ .
3) $4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 6 x - 7) ⩽ 5$ ; $3 x^{2} + 10 x + 8 ⩽ 5$ ; $3 x^{2} + 10 x + 3 ⩽ 0$ . $D = 100 - 36 = 64$ , $x = \frac{- 10 \pm 8}{6}$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - \frac{1}{3}$ . Вітки вгору: $[- 3; - \frac{1}{3}]$ .
4) Множимо на $24$ : $6 (2 x^{2} - 1) - 4 (3 - 4 x) + 3 (8 x - 5) ⩽ 19$ ; $12 x^{2} - 6 - 12 + 16 x + 24 x - 15 ⩽ 19$ ; $12 x^{2} + 40 x - 52 ⩽ 0$ ; ділимо на $4$ : $3 x^{2} + 10 x - 13 ⩽ 0$ . $D = 100 + 156 = 256$ , $x = \frac{- 10 \pm 16}{6}$ , $x_{1} = - \frac{13}{3}$ , $x_{2} = 1$ . Вітки вгору: $[- \frac{13}{3}; 1]$ , тобто $[- 4 \frac{1}{3}; 1]$ .

Відповідь:

1) $(- 2; 1)$ ; 2) $(- \infty; - 5] \cup [2; + \infty)$ ; 3) $[- 3; - \frac{1}{3}]$ ; 4) $[- 4 \frac{1}{3}; 1]$ .

Розбір зрозумілий?