Завдання 12.9, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.9

Неповні квадратні нерівності

Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) $x^{2} > 1$ ; 2) $x^{2} < 3$ ; 3) $- 3 x^{2} ⩾ - 12 x$ ; 4) $- 2 x^{2} < - 128$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 1 > 0$ . Корені $\pm 1$ , вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .
2) $x^{2} - 3 < 0$ . Корені $\pm 3$ , вітки вгору, від’ємні значення між коренями: $(- 3; 3)$ .
3) $- 3 x^{2} + 12 x ⩾ 0$ ; ділимо на $- 3$ і змінюємо знак: $x^{2} - 4 x ⩽ 0$ , $x (x - 4) ⩽ 0$ . Корені $0$ і $4$ , вітки вгору: $[0; 4]$ .
4) Ділимо на $- 2$ і змінюємо знак: $x^{2} > 64$ , $x^{2} - 64 > 0$ . Корені $\pm 8$ , вітки вгору: $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $(- 3; 3)$ ; 3) $[0; 4]$ ; 4) $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.9 с. 115

Неповні квадратні нерівності

Умова

Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) $x^{2} > 1$ ; 2) $x^{2} < 3$ ; 3) $- 3 x^{2} ⩾ - 12 x$ ; 4) $- 2 x^{2} < - 128$ .

Що треба знати

Квадратна нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c > 0$ (або зі знаком $<$ , $⩾$ , $⩽$ ), де $a \neq = 0$ . Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена $a x^{2} + b x + c$ (через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ ; вісь $x$ вона перетинає в коренях (при $D = 0$ лише дотикається до неї, при $D < 0$ не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Ділячи обидві частини на від’ємне число, не забудь змінити знак нерівності на протилежний.

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{2} - 1 > 0$ . Корені $\pm 1$ , вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .
2) $x^{2} - 3 < 0$ . Корені $\pm 3$ , вітки вгору, від’ємні значення між коренями: $(- 3; 3)$ .
3) $- 3 x^{2} + 12 x ⩾ 0$ ; ділимо на $- 3$ і змінюємо знак: $x^{2} - 4 x ⩽ 0$ , $x (x - 4) ⩽ 0$ . Корені $0$ і $4$ , вітки вгору: $[0; 4]$ .
4) Ділимо на $- 2$ і змінюємо знак: $x^{2} > 64$ , $x^{2} - 64 > 0$ . Корені $\pm 8$ , вітки вгору: $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $(- 3; 3)$ ; 3) $[0; 4]$ ; 4) $(- \infty; - 8) \cup (8; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?