Завдання 12.7, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.7

Розв’язування квадратних нерівностей

Розв’яжіть нерівність: 1) $x^{2} + 4 x + 3 > 0$ ; 2) $x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0$ ; 3) $- x^{2} + 12 x + 45 < 0$ ; 4) $- 3 x^{2} - 5 x - 2 ⩾ 0$ ; 5) $x^{2} - 5 x > 0$ ; 6) $- 25 x^{2} + 16 ⩽ 0$ ; 7) $5 x^{2} - 3 x + 1 ⩾ 0$ ; 8) $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 < 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 4 x + 3 > 0$ . Корені $- 3$ і $- 1$ (сума $- 4$ , добуток $3$ ). Вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ .
2) $x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0$ . Корені $1$ і $2$ . Вітки вгору, беремо ділянку між коренями разом із ними: $[1; 2]$ .
3) $- x^{2} + 12 x + 45 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 12 x - 45 = 0$ : $D = 144 + 180 = 324$ , $x = \frac{12 \pm 18}{2}$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 15$ . $a = - 1 < 0$ — вітки вниз, від’ємні значення поза коренями: $(- \infty; - 3) \cup (15; + \infty)$ .
4) $- 3 x^{2} - 5 x - 2 ⩾ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ : $D = 25 - 24 = 1$ , $x = \frac{- 5 \pm 1}{6}$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - \frac{2}{3}$ . Вітки вниз, невід’ємні значення між коренями разом із ними: $[- 1; - \frac{2}{3}]$ .
5) $x^{2} - 5 x > 0$ , $x (x - 5) > 0$ . Корені $0$ і $5$ , вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .
6) $- 25 x^{2} + 16 ⩽ 0$ . Корені: $x^{2} = \frac{16}{25}$ , $x = \pm 0, 8$ . Вітки вниз, недодатні значення поза коренями разом із ними: $(- \infty; - 0, 8] \cup [0, 8; + \infty)$ .
7) $5 x^{2} - 3 x + 1 ⩾ 0$ . $D = 9 - 20 = - 11 < 0$ , $a = 5 > 0$ : тричлен додатний при всіх $x$ : $(- \infty; + \infty)$ .
8) $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 < 0$ . $D = 4 - 4 = 0$ , $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 = 2 (x - 0, 5)^{2}$ : парабола дотикається до осі в точці $0, 5$ і не опускається нижче неї. Розв’язків немає.

Відповідь:

1) $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ ; 2) $[1; 2]$ ; 3) $(- \infty; - 3) \cup (15; + \infty)$ ; 4) $[- 1; - \frac{2}{3}]$ ; 5) $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ ; 6) $(- \infty; - 0, 8] \cup [0, 8; + \infty)$ ; 7) $(- \infty; + \infty)$ ; 8) розв’язків немає.

Розбір зрозумілий?

12. Розв’язування квадратних нерівностей Завдання 12.7 с. 115

Розв’язування квадратних нерівностей

Умова

Що треба знати

Квадратна нерівність має вигляд $a x^{2} + b x + c > 0$ (або зі знаком $<$ , $⩾$ , $⩽$ ), де $a \neq = 0$ . Розв’язуємо так: знаходимо корені тричлена $a x^{2} + b x + c$ (через дискримінант $D = b^{2} - 4 a c$ або за теоремою Вієта), схематично малюємо параболу — вітки вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ ; вісь $x$ вона перетинає в коренях (при $D = 0$ лише дотикається до неї, при $D < 0$ не має з нею спільних точок). З рисунка зчитуємо, де графік вище осі (тричлен додатний), а де нижче (від’ємний). У нестрогих нерівностях корені теж входять у відповідь; окремі проміжки об’єднуємо знаком $\cup$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди корені й напрям віток; якщо $a < 0$ , зручно помножити нерівність на $- 1$ , змінивши її знак на протилежний.

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{2} + 4 x + 3 > 0$ . Корені $- 3$ і $- 1$ (сума $- 4$ , добуток $3$ ). Вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ .
2) $x^{2} - 3 x + 2 ⩽ 0$ . Корені $1$ і $2$ . Вітки вгору, беремо ділянку між коренями разом із ними: $[1; 2]$ .
3) $- x^{2} + 12 x + 45 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 12 x - 45 = 0$ : $D = 144 + 180 = 324$ , $x = \frac{12 \pm 18}{2}$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 15$ . $a = - 1 < 0$ — вітки вниз, від’ємні значення поза коренями: $(- \infty; - 3) \cup (15; + \infty)$ .
4) $- 3 x^{2} - 5 x - 2 ⩾ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ : $D = 25 - 24 = 1$ , $x = \frac{- 5 \pm 1}{6}$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - \frac{2}{3}$ . Вітки вниз, невід’ємні значення між коренями разом із ними: $[- 1; - \frac{2}{3}]$ .
5) $x^{2} - 5 x > 0$ , $x (x - 5) > 0$ . Корені $0$ і $5$ , вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .
6) $- 25 x^{2} + 16 ⩽ 0$ . Корені: $x^{2} = \frac{16}{25}$ , $x = \pm 0, 8$ . Вітки вниз, недодатні значення поза коренями разом із ними: $(- \infty; - 0, 8] \cup [0, 8; + \infty)$ .
7) $5 x^{2} - 3 x + 1 ⩾ 0$ . $D = 9 - 20 = - 11 < 0$ , $a = 5 > 0$ : тричлен додатний при всіх $x$ : $(- \infty; + \infty)$ .
8) $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 < 0$ . $D = 4 - 4 = 0$ , $2 x^{2} - 2 x + 0, 5 = 2 (x - 0, 5)^{2}$ : парабола дотикається до осі в точці $0, 5$ і не опускається нижче неї. Розв’язків немає.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?