Завдання 12.6, 12. Розв’язування квадратних нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 12.6

Розв’язування квадратних нерівностей

Розв’яжіть нерівність: 1) $x^{2} + 6 x - 7 < 0$ ; 2) $x^{2} - 2 x - 48 ⩾ 0$ ; 3) $- x^{2} - 6 x - 5 > 0$ ; 4) $3 x^{2} - 7 x + 4 ⩽ 0$ ; 5) $2 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ ; 6) $4 x^{2} - 12 x ⩽ 0$ ; 7) $4 x^{2} - 9 > 0$ ; 8) $x^{2} - 12 x + 36 > 0$ ; 9) $4 x^{2} - 12 x + 9 ⩾ 0$ ; 10) $x^{2} + 4 x + 4 < 0$ ; 11) $49 x^{2} - 14 x + 1 ⩽ 0$ ; 12) $2 x^{2} - x + 3 > 0$ ; 13) $3 x^{2} - 4 x + 5 ⩽ 0$ ; 14) $- 4 x^{2} + 5 x - 7 > 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 6 x - 7 < 0$ . Корені: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = 1$ (за теоремою Вієта: сума $- 6$ , добуток $- 7$ ). $a = 1 > 0$ — вітки вгору, тричлен від’ємний між коренями: $- 7 < x < 1$ , тобто $(- 7; 1)$ .
2) $x^{2} - 2 x - 48 ⩾ 0$ . $D = 4 + 192 = 196$ , $x = \frac{2 \pm 14}{2}$ , $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 8$ . Вітки вгору, тричлен невід’ємний поза коренями (корені входять): $(- \infty; - 6] \cup [8; + \infty)$ .
3) $- x^{2} - 6 x - 5 > 0$ . Корені рівняння $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ : $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = - 1$ . $a = - 1 < 0$ — вітки вниз, додатні значення між коренями: $(- 5; - 1)$ .
4) $3 x^{2} - 7 x + 4 ⩽ 0$ . $D = 49 - 48 = 1$ , $x = \frac{7 \pm 1}{6}$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = \frac{4}{3}$ . Вітки вгору, недодатні значення між коренями разом із ними: $[1; \frac{4}{3}]$ .
5) $2 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ . $D = 9 - 8 = 1$ , $x = \frac{- 3 \pm 1}{4}$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$ . Вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .
6) $4 x^{2} - 12 x ⩽ 0$ , $4 x (x - 3) ⩽ 0$ . Корені $0$ і $3$ , вітки вгору; беремо ділянку між коренями разом із ними: $[0; 3]$ .
7) $4 x^{2} - 9 > 0$ . Корені: $x^{2} = \frac{9}{4}$ , $x = \pm 1, 5$ . Вітки вгору, додатні значення поза коренями: $(- \infty; - 1, 5) \cup (1, 5; + \infty)$ .
8) $x^{2} - 12 x + 36 > 0$ , тобто $(x - 6)^{2} > 0$ . $D = 0$ : парабола з вітками вгору дотикається до осі в точці $6$ , а в решті точок лежить вище осі. Розв’язки — усі $x \neq = 6$ : $(- \infty; 6) \cup (6; + \infty)$ .
9) $4 x^{2} - 12 x + 9 ⩾ 0$ , тобто $(2 x - 3)^{2} ⩾ 0$ . $D = 0$ : парабола дотикається до осі в точці $1, 5$ і ніде не опускається нижче. Нерівність правильна при всіх $x$ : $(- \infty; + \infty)$ .
10) $x^{2} + 4 x + 4 < 0$ , тобто $(x + 2)^{2} < 0$ . $D = 0$ , вітки вгору — графік не має точок нижче осі $x$ . Розв’язків немає.
11) $49 x^{2} - 14 x + 1 ⩽ 0$ , тобто $(7 x - 1)^{2} ⩽ 0$ . Квадрат не буває від’ємним, тому можлива лише рівність $(7 x - 1)^{2} = 0$ : $x = \frac{1}{7}$ .
12) $2 x^{2} - x + 3 > 0$ . $D = 1 - 24 = - 23 < 0$ , $a = 2 > 0$ : уся парабола вище осі $x$ , тричлен додатний при всіх $x$ : $(- \infty; + \infty)$ .
13) $3 x^{2} - 4 x + 5 ⩽ 0$ . $D = 16 - 60 = - 44 < 0$ , $a = 3 > 0$ : тричлен завжди додатний. Розв’язків немає.
14) $- 4 x^{2} + 5 x - 7 > 0$ . $D = 25 - 112 = - 87 < 0$ , $a = - 4 < 0$ : уся парабола нижче осі $x$ , тричлен завжди від’ємний. Розв’язків немає.

Відповідь:

1) $(- 7; 1)$ ; 2) $(- \infty; - 6] \cup [8; + \infty)$ ; 3) $(- 5; - 1)$ ; 4) $[1; \frac{4}{3}]$ ; 5) $(- \infty; - 1) \cup (- \frac{1}{2}; + \infty)$ ; 6) $[0; 3]$ ; 7) $(- \infty; - 1, 5) \cup (1, 5; + \infty)$ ; 8) $(- \infty; 6) \cup (6; + \infty)$ ; 9) $(- \infty; + \infty)$ ; 10) розв’язків немає; 11) $\frac{1}{7}$ ; 12) $(- \infty; + \infty)$ ; 13) розв’язків немає; 14) розв’язків немає.

Розбір зрозумілий?