За графіком функції y=−x2+2x−2 (рис. 12.7) розв’яжіть нерівність: 1) −x2+2x−2<0; 2) −x2+2x−2⩽0; 3) −x2+2x−2>0; 4) −x2+2x−2⩾0.
Розв’язання
З рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина (1;−1) лежить нижче осі x, тож увесь графік нижче осі — функція набуває лише від’ємних значень (і справді, D=4−8=−4<0, a=−1<0).
1) y<0 — при всіх x: (−∞;+∞).
2) y⩽0 — теж при всіх x: (−∞;+∞).
3) y>0 — точок вище осі немає: розв’язків немає.
4) y⩾0 — немає ні точок вище осі, ні точок на осі: розв’язків немає.
Відповідь:
1) (−∞;+∞); 2) (−∞;+∞); 3) розв’язків немає; 4) розв’язків немає.
За графіком функції y=−x2+2x−2 (рис. 12.7) розв’яжіть нерівність: 1) −x2+2x−2<0; 2) −x2+2x−2⩽0; 3) −x2+2x−2>0; 4) −x2+2x−2⩾0.
Що треба знати
Розв’язки нерівності f(x)>0 — це абсциси тих точок графіка y=f(x), що лежать вище осі x, а нерівності f(x)<0 — тих, що лежать нижче осі. Для нерівностей f(x)⩾0 і f(x)⩽0 до них додаються нулі функції — точки, де графік перетинає вісь x або дотикається до неї. Окремі проміжки об’єднують знаком ∪.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Уся парабола розташована нижче осі x — яких значень набуває функція?
Розв’язання крок за кроком
З рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина (1;−1) лежить нижче осі x, тож увесь графік нижче осі — функція набуває лише від’ємних значень (і справді, D=4−8=−4<0, a=−1<0).
1) y<0 — при всіх x: (−∞;+∞).
2) y⩽0 — теж при всіх x: (−∞;+∞).
3) y>0 — точок вище осі немає: розв’язків немає.
4) y⩾0 — немає ні точок вище осі, ні точок на осі: розв’язків немає.
Відповідь:
1) (−∞;+∞); 2) (−∞;+∞); 3) розв’язків немає; 4) розв’язків немає.
