За графіком функції y=x2−4x+4 (рис. 12.6) розв’яжіть нерівність: 1) x2−4x+4<0; 2) x2−4x+4⩽0; 3) x2−4x+4>0; 4) x2−4x+4⩾0. Чи можна розв’язати їх без графіка?
Розв’язання
З рисунка: вершина параболи (2;0) лежить на осі x, вітки напрямлені вгору. Отже, графік дотикається до осі в точці x=2, а в усіх інших точках лежить вище осі.
1) y<0 — точок графіка нижче осі немає: розв’язків немає.
2) y⩽0 — лише точка дотику: x=2.
3) y>0 — усі x, крім 2: (−∞;2)∪(2;+∞).
4) y⩾0 — усі числа: (−∞;+∞).
Без графіка теж можна: x2−4x+4=(x−2)2, а квадрат числа завжди невід’ємний і дорівнює нулю лише при x=2. Звідси одразу випливають усі чотири відповіді.
Відповідь:
1) розв’язків немає; 2) 2; 3) (−∞;2)∪(2;+∞); 4) (−∞;+∞). Так, можна — через x2−4x+4=(x−2)2.
За графіком функції y=x2−4x+4 (рис. 12.6) розв’яжіть нерівність: 1) x2−4x+4<0; 2) x2−4x+4⩽0; 3) x2−4x+4>0; 4) x2−4x+4⩾0. Чи можна розв’язати їх без графіка?
Що треба знати
Розв’язки нерівності f(x)>0 — це абсциси тих точок графіка y=f(x), що лежать вище осі x, а нерівності f(x)<0 — тих, що лежать нижче осі. Для нерівностей f(x)⩾0 і f(x)⩽0 до них додаються нулі функції — точки, де графік перетинає вісь x або дотикається до неї. Окремі проміжки об’єднують знаком ∪.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Графік лише дотикається до осі x в одній точці — перевір, чи опускається він хоч десь нижче осі.
Розв’язання крок за кроком
З рисунка: вершина параболи (2;0) лежить на осі x, вітки напрямлені вгору. Отже, графік дотикається до осі в точці x=2, а в усіх інших точках лежить вище осі.
1) y<0 — точок графіка нижче осі немає: розв’язків немає.
2) y⩽0 — лише точка дотику: x=2.
3) y>0 — усі x, крім 2: (−∞;2)∪(2;+∞).
4) y⩾0 — усі числа: (−∞;+∞).
Без графіка теж можна: x2−4x+4=(x−2)2, а квадрат числа завжди невід’ємний і дорівнює нулю лише при x=2. Звідси одразу випливають усі чотири відповіді.
Відповідь:
1) розв’язків немає; 2) 2; 3) (−∞;2)∪(2;+∞); 4) (−∞;+∞). Так, можна — через x2−4x+4=(x−2)2.
