Завдання 11.49, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.49

Гра з дільниками

На дошці число $1001$ . За хід число замінюють різницею цього числа і будь-якого його дільника; програє той, після чийого ходу на дошці з’явиться $0$ . Хто з двох гравців може забезпечити собі виграш?

Розв’язання

Число $0$ з’являється лише тоді, коли гравець віднімає саме число (воно теж є своїм дільником). Тому той, хто отримав $1$ , програє: у $1$ єдиний дільник — $1$ , і він змушений записати $0$ .
Стратегія другого гравця: щоразу віднімати $1$ (одиниця — дільник будь-якого числа).
Перший гравець завжди отримує непарне число (спочатку $1001$ ). Усі дільники непарного числа непарні, тож якщо він не записує $0$ , то записує різницю двох непарних чисел — парне число, більше за $0$ .
Другий віднімає $1$ від парного числа, не меншого за $2$ , і записує непарне число, не менше за $1$ , тобто не $0$ . Знову хід першого — з непарним числом.
Числа на дошці весь час зменшуються, тож гра скінченна. Другий гравець ніколи не записує $0$ , отже, $0$ запише перший (найпізніше — коли отримає $1$ ).

Відповідь:

Виграє другий гравець, наприклад, якщо щоразу віднімає $1$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.49 с. 107

Гра з дільниками

Умова

Що треба знати

У задачах про ігри шукають стратегію — правило ходів, яке гарантує виграш за будь-яких дій суперника. Часто допомагає парність: якщо одному гравцю завжди дістаються числа однієї парності, а гра скінченна, можна з’ясувати, хто опиниться в програшній позиції.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Подумай, яке число завжди можна відняти, і простеж парність чисел, які отримує кожен гравець.

Розв’язання крок за кроком

Число $0$ з’являється лише тоді, коли гравець віднімає саме число (воно теж є своїм дільником). Тому той, хто отримав $1$ , програє: у $1$ єдиний дільник — $1$ , і він змушений записати $0$ .
Стратегія другого гравця: щоразу віднімати $1$ (одиниця — дільник будь-якого числа).
Перший гравець завжди отримує непарне число (спочатку $1001$ ). Усі дільники непарного числа непарні, тож якщо він не записує $0$ , то записує різницю двох непарних чисел — парне число, більше за $0$ .
Другий віднімає $1$ від парного числа, не меншого за $2$ , і записує непарне число, не менше за $1$ , тобто не $0$ . Знову хід першого — з непарним числом.
Числа на дошці весь час зменшуються, тож гра скінченна. Другий гравець ніколи не записує $0$ , отже, $0$ запише перший (найпізніше — коли отримає $1$ ).

Відповідь:

Виграє другий гравець, наприклад, якщо щоразу віднімає $1$ .

Розбір зрозумілий?