Завдання 11.48, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.48

Задача про дві труби

Одна труба наповнює бак на $10$ хв швидше за другу, а разом за $8$ хв вони наповнюють $\frac{2}{3}$ бака. За який час наповнює бак кожна труба?

Розв’язання

Нехай швидша труба наповнює бак за $x$ хв, тоді друга — за $x + 10$ хв, $x > 0$ . За 1 хв вони наповнюють відповідно $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{x + 10}$ бака.
За 8 хв разом: $\frac{8}{x} + \frac{8}{x + 10} = \frac{2}{3}$ .
Помножимо на $3 x (x + 10)$ : $24 (x + 10) + 24 x = 2 x (x + 10)$ ; $2 x^{2} - 28 x - 240 = 0$ ; $x^{2} - 14 x - 120 = 0$ .
$D = 196 + 480 = 676 = 2 6^{2}$ ; $x_{1} = \frac{14 + 26}{2} = 20$ , $x_{2} = \frac{14 - 26}{2} = - 6$ — не підходить.
Швидша труба — $20$ хв, друга — $20 + 10 = 30$ хв. Перевірка: $\frac{8}{20} + \frac{8}{30} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

За $20$ хв і за $30$ хв.

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.48 с. 107

Умова

Що треба знати

Якщо труба наповнює бак за $x$ хв, то за 1 хв вона наповнює $\frac{1}{x}$ бака; при спільній роботі такі частки (продуктивності) додаються.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Познач час швидшої труби через x і склади рівняння для частин бака, наповнених за 8 хв.

Розв’язання крок за кроком

Нехай швидша труба наповнює бак за $x$ хв, тоді друга — за $x + 10$ хв, $x > 0$ . За 1 хв вони наповнюють відповідно $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{x + 10}$ бака.
За 8 хв разом: $\frac{8}{x} + \frac{8}{x + 10} = \frac{2}{3}$ .
Помножимо на $3 x (x + 10)$ : $24 (x + 10) + 24 x = 2 x (x + 10)$ ; $2 x^{2} - 28 x - 240 = 0$ ; $x^{2} - 14 x - 120 = 0$ .
$D = 196 + 480 = 676 = 2 6^{2}$ ; $x_{1} = \frac{14 + 26}{2} = 20$ , $x_{2} = \frac{14 - 26}{2} = - 6$ — не підходить.
Швидша труба — $20$ хв, друга — $20 + 10 = 30$ хв. Перевірка: $\frac{8}{20} + \frac{8}{30} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

За $20$ хв і за $30$ хв.

Розбір зрозумілий?