Завдання 11.44, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.44

Найменша відстань між туристами

Турист іде з $B$ до $A$ ( $A B = 13$ км) зі швидкістю $6$ км/год, а туристка одночасно виходить з $A$ перпендикулярно до $A B$ зі швидкістю $4$ км/год. Коли відстань між ними буде найменшою?

Розв’язання

Нехай минуло $t$ год. Турист пройшов $6 t$ км, і до $A$ йому лишилося $13 - 6 t$ км; туристка віддалилася від $A$ на $4 t$ км.
Напрямки руху перпендикулярні, тому за теоремою Піфагора $d^{2} = (13 - 6 t)^{2} + (4 t)^{2} = 169 - 156 t + 36 t^{2} + 16 t^{2} = 52 t^{2} - 156 t + 169$ .
$d$ найменша тоді, коли найменший $d^{2}$ . Це квадратична функція від $t$ зі старшим коефіцієнтом $52 > 0$ , тож найменше значення — у вершині: $t_{0} = \frac{156}{2 \cdot 52} = 1, 5$ год (турист ще не дійшов до $A$ , бо $6 \cdot 1, 5 = 9 < 13$ ).
При цьому $d^{2} = 52 \cdot 2, 25 - 156 \cdot 1, 5 + 169 = 117 - 234 + 169 = 52$ , $d = 52 = 213 \approx 7, 2$ км.

Відповідь:

Через $1, 5$ год (тоді відстань дорівнює $213 \approx 7, 2$ км).

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.44 с. 106

Найменша відстань між туристами

Умова

Що треба знати

Квадратична функція $y = a x^{2} + b x + c$ набуває найменшого (при $a > 0$ ) або найбільшого (при $a < 0$ ) значення у вершині параболи, тобто при $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вирази квадрат відстані через час за теоремою Піфагора — вийде квадратична функція.

Розв’язання крок за кроком

Нехай минуло $t$ год. Турист пройшов $6 t$ км, і до $A$ йому лишилося $13 - 6 t$ км; туристка віддалилася від $A$ на $4 t$ км.
Напрямки руху перпендикулярні, тому за теоремою Піфагора $d^{2} = (13 - 6 t)^{2} + (4 t)^{2} = 169 - 156 t + 36 t^{2} + 16 t^{2} = 52 t^{2} - 156 t + 169$ .
$d$ найменша тоді, коли найменший $d^{2}$ . Це квадратична функція від $t$ зі старшим коефіцієнтом $52 > 0$ , тож найменше значення — у вершині: $t_{0} = \frac{156}{2 \cdot 52} = 1, 5$ год (турист ще не дійшов до $A$ , бо $6 \cdot 1, 5 = 9 < 13$ ).
При цьому $d^{2} = 52 \cdot 2, 25 - 156 \cdot 1, 5 + 169 = 117 - 234 + 169 = 52$ , $d = 52 = 213 \approx 7, 2$ км.

Відповідь:

Через $1, 5$ год (тоді відстань дорівнює $213 \approx 7, 2$ км).

Розбір зрозумілий?