Побудуйте графік y=−x2−4x+5 і за ним визначте, скільки коренів має рівняння −x2−4x+5=a залежно від a.
Розв’язання
Графік: коефіцієнт при x2 дорівнює −1<0 — вітки вниз; x0=−2⋅(−1)−4=−2, y0=−4+8+5=9, вершина (−2;9), вісь симетрії x=−2.
Нулі: −x2−4x+5=0, тобто x2+4x−5=0, x1=−5, x2=1; вісь y — у точці (0;5). Ще точки: (−4;5), (−3;8), (−1;8).
Кількість коренів рівняння −x2−4x+5=a — це кількість спільних точок параболи і прямої y=a.
Якщо a<9 (пряма нижче від вершини) — дві спільні точки, два корені; якщо a=9 — одна точка (вершина), один корінь x=−2; якщо a>9 — спільних точок немає, коренів немає.
Відповідь:
При a<9 — два корені; при a=9 — один корінь; при a>9 — коренів немає.
Розбір зрозумілий?
11. Квадратична функція, її графік і властивостіЗавдання 11.43с. 106
Графік і кількість коренів
Умова
Побудуйте графік y=−x2−4x+5 і за ним визначте, скільки коренів має рівняння −x2−4x+5=a залежно від a.
Що треба знати
Кількість коренів рівняння f(x)=a дорівнює кількості спільних точок графіка y=f(x) і горизонтальної прямої y=a. Для параболи все визначає положення прямої відносно вершини.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Порівняй значення a з ординатою вершини параболи.
Розв’язання крок за кроком
Графік: коефіцієнт при x2 дорівнює −1<0 — вітки вниз; x0=−2⋅(−1)−4=−2, y0=−4+8+5=9, вершина (−2;9), вісь симетрії x=−2.
Нулі: −x2−4x+5=0, тобто x2+4x−5=0, x1=−5, x2=1; вісь y — у точці (0;5). Ще точки: (−4;5), (−3;8), (−1;8).
Кількість коренів рівняння −x2−4x+5=a — це кількість спільних точок параболи і прямої y=a.
Якщо a<9 (пряма нижче від вершини) — дві спільні точки, два корені; якщо a=9 — одна точка (вершина), один корінь x=−2; якщо a>9 — спільних точок немає, коренів немає.
Відповідь:
При a<9 — два корені; при a=9 — один корінь; при a>9 — коренів немає.
