Завдання 11.42, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.42

Графік і кількість коренів

Побудуйте графік $y = x^{2} + 2 x - 3$ і за ним визначте, при яких $a$ рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = a$ : 1) має два корені; 2) має один корінь; 3) не має коренів.

Розв’язання

Графік: $a = 1 > 0$ — вітки вгору; $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ , $y_{0} = 1 - 2 - 3 = - 4$ , вершина $(- 1; - 4)$ , вісь симетрії $x = - 1$ .
Нулі: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$ ; вісь $y$ — у точці $(0; - 3)$ . Ще точки: $(- 2; - 3)$ , $(- 4; 5)$ , $(2; 5)$ .
Корені рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = a$ — абсциси спільних точок параболи і прямої $y = a$ .
1) Пряма вище від вершини ( $a > - 4$ ) перетинає параболу у двох точках — два корені.
2) Пряма проходить через вершину ( $a = - 4$ ) — одна спільна точка, один корінь ( $x = - 1$ ).
3) Пряма нижче від вершини ( $a < - 4$ ) — спільних точок немає, коренів немає.

Відповідь:

1) $a > - 4$ ; 2) $a = - 4$ ; 3) $a < - 4$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.42 с. 106

Графік і кількість коренів

Умова

Що треба знати

Кількість коренів рівняння $f (x) = a$ дорівнює кількості спільних точок графіка $y = f (x)$ і горизонтальної прямої $y = a$ . Для параболи все визначає положення прямої відносно вершини.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Пересувай горизонтальну пряму y = a вгору-вниз і стеж, скільки спільних точок вона має з параболою.

Розв’язання крок за кроком

Графік: $a = 1 > 0$ — вітки вгору; $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ , $y_{0} = 1 - 2 - 3 = - 4$ , вершина $(- 1; - 4)$ , вісь симетрії $x = - 1$ .
Нулі: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ , $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$ ; вісь $y$ — у точці $(0; - 3)$ . Ще точки: $(- 2; - 3)$ , $(- 4; 5)$ , $(2; 5)$ .
Корені рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = a$ — абсциси спільних точок параболи і прямої $y = a$ .
1) Пряма вище від вершини ( $a > - 4$ ) перетинає параболу у двох точках — два корені.
2) Пряма проходить через вершину ( $a = - 4$ ) — одна спільна точка, один корінь ( $x = - 1$ ).
3) Пряма нижче від вершини ( $a < - 4$ ) — спільних точок немає, коренів немає.

Відповідь:

1) $a > - 4$ ; 2) $a = - 4$ ; 3) $a < - 4$ .

Розбір зрозумілий?