Завдання 11.40, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.40

Графік функції з модулем

Побудуйте графік функції: 1) $y = x ∣ x ∣$ ; 2) $y = x^{2} + 3 x \cdot \frac{∣ x - 3∣}{x - 3} - 4$ .

Розв’язання

1) Якщо $x ⩾ 0$ , то $∣ x ∣ = x$ і $y = x^{2}$ ; якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ і $y = - x^{2}$ .
При $x ⩾ 0$ — права вітка параболи $y = x^{2}$ : точки $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 4)$ . При $x < 0$ — ліва вітка параболи $y = - x^{2}$ (вітки вниз): точки $(- 1; - 1)$ , $(- 2; - 4)$ . Графік симетричний відносно початку координат, функція зростає на всій прямій.
2) Область визначення: $x \neq = 3$ . Якщо $x > 3$ , то $\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = 1$ і $y = x^{2} + 3 x - 4$ ; якщо $x < 3$ , то $\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = - 1$ і $y = x^{2} - 3 x - 4$ .
При $x < 3$ : парабола $y = x^{2} - 3 x - 4$ , вітки вгору, $x_{0} = 1, 5$ , $y_{0} = 2, 25 - 4, 5 - 4 = - 6, 25$ , вісь $x = 1, 5$ ; нулі $- 1$ і $4$ (на проміжок потрапляє лише $- 1$ ). Точки: $(- 2; 6)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 4)$ , $(1; - 6)$ , $(1, 5; - 6, 25)$ , $(2; - 6)$ ; точка $(3; - 4)$ виколота.
При $x > 3$ : частина параболи $y = x^{2} + 3 x - 4$ (її вершина $x_{0} = - 1, 5$ поза проміжком), тут функція зростає: від виколотої точки $(3; 14)$ через $(4; 24)$ вгору.

Відповідь:

1) При $x ⩾ 0$ — вітка параболи $y = x^{2}$ , при $x < 0$ — вітка параболи $y = - x^{2}$ ; 2) при $x < 3$ — частина параболи $y = x^{2} - 3 x - 4$ з вершиною $(1, 5; - 6, 25)$ , при $x > 3$ — частина параболи $y = x^{2} + 3 x - 4$ ; точки $(3; - 4)$ і $(3; 14)$ виколоті.

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.40 с. 106

Графік функції з модулем

Умова

Побудуйте графік функції: 1) $y = x ∣ x ∣$ ; 2) $y = x^{2} + 3 x \cdot \frac{∣ x - 3∣}{x - 3} - 4$ .

Що треба знати

Якщо у формулі є модуль, розглядаємо окремо значення $x$ , при яких вираз під модулем невід’ємний ( $∣ t ∣ = t$ ) і від’ємний ( $∣ t ∣ = - t$ ). На кожному проміжку функція задається своєю формулою без модуля, і графік складається з відповідних частин.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий модуль окремо для двох проміжків і на кожному побудуй свою частину параболи.

Розв’язання крок за кроком

1) Якщо $x ⩾ 0$ , то $∣ x ∣ = x$ і $y = x^{2}$ ; якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ і $y = - x^{2}$ .
При $x ⩾ 0$ — права вітка параболи $y = x^{2}$ : точки $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 4)$ . При $x < 0$ — ліва вітка параболи $y = - x^{2}$ (вітки вниз): точки $(- 1; - 1)$ , $(- 2; - 4)$ . Графік симетричний відносно початку координат, функція зростає на всій прямій.
2) Область визначення: $x \neq = 3$ . Якщо $x > 3$ , то $\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = 1$ і $y = x^{2} + 3 x - 4$ ; якщо $x < 3$ , то $\frac{∣ x - 3∣}{x - 3} = - 1$ і $y = x^{2} - 3 x - 4$ .
При $x < 3$ : парабола $y = x^{2} - 3 x - 4$ , вітки вгору, $x_{0} = 1, 5$ , $y_{0} = 2, 25 - 4, 5 - 4 = - 6, 25$ , вісь $x = 1, 5$ ; нулі $- 1$ і $4$ (на проміжок потрапляє лише $- 1$ ). Точки: $(- 2; 6)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 4)$ , $(1; - 6)$ , $(1, 5; - 6, 25)$ , $(2; - 6)$ ; точка $(3; - 4)$ виколота.
При $x > 3$ : частина параболи $y = x^{2} + 3 x - 4$ (її вершина $x_{0} = - 1, 5$ поза проміжком), тут функція зростає: від виколотої точки $(3; 14)$ через $(4; 24)$ вгору.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?