Завдання 11.30, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.30

Невід’ємна при всіх x

При яких $a$ функція $y = 0, 5 x^{2} - 3 x + a$ набуває невід’ємних значень при всіх дійсних $x$ ?

Розв’язання

Старший коефіцієнт $0, 5 > 0$ , вітки вгору; найменше значення — у вершині: $x_{0} = \frac{3}{2 \cdot 0 , 5} = 3$ , $y_{0} = 0, 5 \cdot 9 - 9 + a = a - 4, 5$ .
Умова $y_{0} ⩾ 0$ : $a - 4, 5 ⩾ 0$ , $a ⩾ 4, 5$ .
Перевірка через дискримінант: $D = 9 - 4 \cdot 0, 5 \cdot a = 9 - 2 a ⩽ 0$ , тобто $a ⩾ 4, 5$ .

Відповідь:

$a ⩾ 4, 5$ , тобто $a \in [4, 5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.30 с. 104

Невід’ємна при всіх x

Умова

При яких $a$ функція $y = 0, 5 x^{2} - 3 x + a$ набуває невід’ємних значень при всіх дійсних $x$ ?

Що треба знати

Квадратична функція зі старшим коефіцієнтом, більшим за нуль, набуває лише невід’ємних значень, коли її найменше значення $y_{0} ⩾ 0$ (тобто $D ⩽ 0$ ). Зі старшим коефіцієнтом, меншим від нуля, вона набуває лише від’ємних значень, коли її найбільше значення $y_{0} < 0$ (тобто $D < 0$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вітки вгору: досить, щоб ордината вершини була не меншою від нуля.

Розв’язання крок за кроком

Старший коефіцієнт $0, 5 > 0$ , вітки вгору; найменше значення — у вершині: $x_{0} = \frac{3}{2 \cdot 0 , 5} = 3$ , $y_{0} = 0, 5 \cdot 9 - 9 + a = a - 4, 5$ .
Умова $y_{0} ⩾ 0$ : $a - 4, 5 ⩾ 0$ , $a ⩾ 4, 5$ .
Перевірка через дискримінант: $D = 9 - 4 \cdot 0, 5 \cdot a = 9 - 2 a ⩽ 0$ , тобто $a ⩾ 4, 5$ .

Відповідь:

$a ⩾ 4, 5$ , тобто $a \in [4, 5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?