Знайдіть область значень і проміжки зростання та спадання функції: 1) f(x)=4x2−8x+3; 2) f(x)=−51x2+2x−6; 3) f(x)=4−12x−0,3x2; 4) f(x)=7x2+21x. Чи треба для цього будувати графік?
Розв’язання
1) a=4>0; x0=88=1, y0=4−8+3=−1. E(f)=[−1;+∞); спадає на (−∞;1], зростає на [1;+∞).
2) a=−51<0; x0=−2⋅(−51)2=5, y0=−5+10−6=−1. E(f)=(−∞;−1]; зростає на (−∞;5], спадає на [5;+∞).
3) a=−0,3<0, b=−12; x0=−2⋅(−0,3)−12=−20, y0=4+240−0,3⋅400=124. E(f)=(−∞;124]; зростає на (−∞;−20], спадає на [−20;+∞).
4) a=7>0; x0=−1421=−1,5, y0=7⋅2,25−31,5=−15,75. E(f)=[−15,75;+∞); спадає на (−∞;−1,5], зростає на [−1,5;+∞).
Графік будувати не обов’язково: область значень і проміжки монотонності повністю визначаються координатами вершини та напрямком віток (знаком a).
Відповідь:
1) [−1;+∞), спадає на (−∞;1], зростає на [1;+∞); 2) (−∞;−1], зростає на (−∞;5], спадає на [5;+∞); 3) (−∞;124], зростає на (−∞;−20], спадає на [−20;+∞); 4) [−15,75;+∞), спадає на (−∞;−1,5], зростає на [−1,5;+∞). Графік будувати не потрібно.
Розбір зрозумілий?
11. Квадратична функція, її графік і властивостіЗавдання 11.19с. 103
Область значень і монотонність
Умова
Знайдіть область значень і проміжки зростання та спадання функції: 1) f(x)=4x2−8x+3; 2) f(x)=−51x2+2x−6; 3) f(x)=4−12x−0,3x2; 4) f(x)=7x2+21x. Чи треба для цього будувати графік?
Що треба знати
Якщо a>0: функція спадає на (−∞;x0], зростає на [x0;+∞), найменше значення y0, область значень [y0;+∞). Якщо a<0: зростає на (−∞;x0], спадає на [x0;+∞), найбільше значення y0, область значень (−∞;y0]. Тут x0=−2ab, y0=f(x0).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Досить знайти вершину параболи й напрямок віток.
Розв’язання крок за кроком
1) a=4>0; x0=88=1, y0=4−8+3=−1. E(f)=[−1;+∞); спадає на (−∞;1], зростає на [1;+∞).
2) a=−51<0; x0=−2⋅(−51)2=5, y0=−5+10−6=−1. E(f)=(−∞;−1]; зростає на (−∞;5], спадає на [5;+∞).
3) a=−0,3<0, b=−12; x0=−2⋅(−0,3)−12=−20, y0=4+240−0,3⋅400=124. E(f)=(−∞;124]; зростає на (−∞;−20], спадає на [−20;+∞).
4) a=7>0; x0=−1421=−1,5, y0=7⋅2,25−31,5=−15,75. E(f)=[−15,75;+∞); спадає на (−∞;−1,5], зростає на [−1,5;+∞).
Графік будувати не обов’язково: область значень і проміжки монотонності повністю визначаються координатами вершини та напрямком віток (знаком a).
Відповідь:
1) [−1;+∞), спадає на (−∞;1], зростає на [1;+∞); 2) (−∞;−1], зростає на (−∞;5], спадає на [5;+∞); 3) (−∞;124], зростає на (−∞;−20], спадає на [−20;+∞); 4) [−15,75;+∞), спадає на (−∞;−1,5], зростає на [−1,5;+∞). Графік будувати не потрібно.
