Завдання 11.17, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.17

Кількість коренів графічно

В одній системі координат побудуйте графіки $y = f (x)$ і $y = g (x)$ та визначте кількість коренів рівняння $f (x) = g (x)$ : 1) $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ , $g (x) = x$ ; 2) $f (x) = 4 x - 2 x^{2}$ , $g (x) = - \frac{4}{x}$ .

Розв’язання

1) $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ : $a = 1 > 0$ , вітки вгору; $x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$ , $y_{0} = 9 - 18 + 7 = - 2$ ; вершина $(3; - 2)$ , вісь симетрії $x = 3$ . Нулі: $x = 3 \pm 2$ ( $\approx 1, 6$ і $\approx 4, 4$ ); з віссю $y$ — точка $(0; 7)$ .
Таблиця для параболи: $x y 0712 2 - 1 3 - 2 4 - 1 5267$
Графік $g (x) = x$ (лише для $x ⩾ 0$ ): точки $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(4; 2)$ , $(9; 3)$ .
Порівнюємо: при $x = 1$ парабола вище ( $2 > 1$ ), при $x = 2$ — нижче ( $- 1 < 2$ ), отже, перша точка перетину має абсцису між $1$ і $2$ . При $x = 5$ парабола нижче ( $2 < 5 \approx 2, 24$ ), при $x = 6$ — вище ( $7 > 6 \approx 2, 45$ ): друга точка перетину між $5$ і $6$ . Далі парабола йде вгору значно швидше, інших спільних точок немає. Рівняння має $2$ корені.
2) $f (x) = 4 x - 2 x^{2}$ : $a = - 2 < 0$ , вітки вниз; $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = 1$ , $y_{0} = 4 - 2 = 2$ ; вершина $(1; 2)$ , вісь $x = 1$ . Нулі: $2 x (2 - x) = 0$ , $x = 0$ або $x = 2$ .
Таблиця для параболи: $x y - 1 - 6 001220 3 - 6$
Гіпербола $g (x) = - \frac{4}{x}$ лежить у II і IV чвертях: $(- 4; 1)$ , $(- 2; 2)$ , $(- 1; 4)$ , $(1; - 4)$ , $(2; - 2)$ , $(4; - 1)$ .
При $x < 0$ парабола нижче від осі $x$ , а гіпербола — вище: спільних точок немає. При $0 < x ⩽ 2$ парабола не нижче від осі $x$ , а гіпербола нижче: теж немає. При $x = 2$ : $0 > - 2$ , при $x = 3$ : $- 6 < - \frac{4}{3}$ — графіки перетинаються один раз між $2$ і $3$ , а далі парабола спадає швидше. Рівняння має $1$ корінь.

Відповідь:

1) два корені; 2) один корінь.

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.17 с. 103

Кількість коренів графічно

Умова

Що треба знати

Корені рівняння $f (x) = g (x)$ — це абсциси спільних точок графіків $y = f (x)$ і $y = g (x)$ , тому коренів стільки, скільки точок перетину графіків. Параболу будуємо за вершиною й таблицею точок, гіперболу $y = \frac{k}{x}$ і графік $y = x$ — за кількома точками.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Побудуй обидва графіки за точками й порахуй, скільки разів вони перетинаються.

Розв’язання крок за кроком

1) $f (x) = x^{2} - 6 x + 7$ : $a = 1 > 0$ , вітки вгору; $x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$ , $y_{0} = 9 - 18 + 7 = - 2$ ; вершина $(3; - 2)$ , вісь симетрії $x = 3$ . Нулі: $x = 3 \pm 2$ ( $\approx 1, 6$ і $\approx 4, 4$ ); з віссю $y$ — точка $(0; 7)$ .
Таблиця для параболи: $x y 0712 2 - 1 3 - 2 4 - 1 5267$
Графік $g (x) = x$ (лише для $x ⩾ 0$ ): точки $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(4; 2)$ , $(9; 3)$ .
Порівнюємо: при $x = 1$ парабола вище ( $2 > 1$ ), при $x = 2$ — нижче ( $- 1 < 2$ ), отже, перша точка перетину має абсцису між $1$ і $2$ . При $x = 5$ парабола нижче ( $2 < 5 \approx 2, 24$ ), при $x = 6$ — вище ( $7 > 6 \approx 2, 45$ ): друга точка перетину між $5$ і $6$ . Далі парабола йде вгору значно швидше, інших спільних точок немає. Рівняння має $2$ корені.
2) $f (x) = 4 x - 2 x^{2}$ : $a = - 2 < 0$ , вітки вниз; $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = 1$ , $y_{0} = 4 - 2 = 2$ ; вершина $(1; 2)$ , вісь $x = 1$ . Нулі: $2 x (2 - x) = 0$ , $x = 0$ або $x = 2$ .
Таблиця для параболи: $x y - 1 - 6 001220 3 - 6$
Гіпербола $g (x) = - \frac{4}{x}$ лежить у II і IV чвертях: $(- 4; 1)$ , $(- 2; 2)$ , $(- 1; 4)$ , $(1; - 4)$ , $(2; - 2)$ , $(4; - 1)$ .
При $x < 0$ парабола нижче від осі $x$ , а гіпербола — вище: спільних точок немає. При $0 < x ⩽ 2$ парабола не нижче від осі $x$ , а гіпербола нижче: теж немає. При $x = 2$ : $0 > - 2$ , при $x = 3$ : $- 6 < - \frac{4}{3}$ — графіки перетинаються один раз між $2$ і $3$ , а далі парабола спадає швидше. Рівняння має $1$ корінь.

Відповідь:

1) два корені; 2) один корінь.

Розбір зрозумілий?