Завдання 11.15, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.15

Графік і властивості функції

Побудуйте графік $f (x) = x - 0, 5 x^{2}$ і за ним знайдіть: 1) область значень; 2) проміжок зростання; 3) значення $x$ , при яких $f (x) ⩽ 0$ .

Розв’язання

Графік: $f (x) = - 0, 5 x^{2} + x$ , $a = - 0, 5 < 0$ — вітки вниз; $x_{0} = - \frac{1}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = 1$ , $y_{0} = 1 - 0, 5 = 0, 5$ , вершина $(1; 0, 5)$ , вісь $x = 1$ . З осями: $x (1 - 0, 5 x) = 0$ , $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ — точки $(0; 0)$ і $(2; 0)$ . Точки: $(- 2; - 4)$ , $(- 1; - 1, 5)$ , $(0; 0)$ , $(1; 0, 5)$ , $(2; 0)$ , $(3; - 1, 5)$ , $(4; - 4)$ .
1) Найбільше значення — $0, 5$ у вершині, найменшого немає: $E (f) = (- \infty; 0, 5]$ .
2) Функція зростає на $(- \infty; 1]$ .
3) $f (x) ⩽ 0$ там, де графік не вище від осі $x$ (разом із нулями): $x ⩽ 0$ або $x ⩾ 2$ , тобто $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; 0, 5]$ ; 2) $(- \infty; 1]$ ; 3) $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.15 с. 103

Графік і властивості функції

Умова

Що треба знати

Графік $y = a x^{2} + b x + c$ будуємо так: знаходимо вершину $(x_{0}; y_{0})$ , де $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$ ; за знаком $a$ визначаємо напрямок віток; знаходимо точки перетину з осями (з віссю $y$ — точка $(0; c)$ , з віссю $x$ — корені рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ ); додаємо кілька точок, симетричних відносно прямої $x = x_{0}$ , і з’єднуємо все плавною лінією. З готового графіка читаємо область значень, проміжки зростання і спадання та знаки функції.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши функцію як $- 0, 5 x^{2} + x$ : коефіцієнт при $x^{2}$ від’ємний, тож вітки напрямлені вниз.

Розв’язання крок за кроком

Графік: $f (x) = - 0, 5 x^{2} + x$ , $a = - 0, 5 < 0$ — вітки вниз; $x_{0} = - \frac{1}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = 1$ , $y_{0} = 1 - 0, 5 = 0, 5$ , вершина $(1; 0, 5)$ , вісь $x = 1$ . З осями: $x (1 - 0, 5 x) = 0$ , $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ — точки $(0; 0)$ і $(2; 0)$ . Точки: $(- 2; - 4)$ , $(- 1; - 1, 5)$ , $(0; 0)$ , $(1; 0, 5)$ , $(2; 0)$ , $(3; - 1, 5)$ , $(4; - 4)$ .
1) Найбільше значення — $0, 5$ у вершині, найменшого немає: $E (f) = (- \infty; 0, 5]$ .
2) Функція зростає на $(- \infty; 1]$ .
3) $f (x) ⩽ 0$ там, де графік не вище від осі $x$ (разом із нулями): $x ⩽ 0$ або $x ⩾ 2$ , тобто $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; 0, 5]$ ; 2) $(- \infty; 1]$ ; 3) $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?