Завдання 11.14, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.14

Графік і властивості функції

Побудуйте графік $f (x) = - x^{2} - 6 x - 5$ і за ним знайдіть: 1) область значень; 2) проміжок зростання; 3) розв’язки нерівності $f (x) > 0$ .

Розв’язання

Графік: $a = - 1 < 0$ — вітки вниз; $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot ( - 1 )} = - 3$ , $y_{0} = - 9 + 18 - 5 = 4$ , вершина $(- 3; 4)$ , вісь $x = - 3$ . З віссю $y$ : $(0; - 5)$ ; з віссю $x$ : $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ , $D = 36 - 20 = 16$ , $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = - 1$ . Точки: $(- 6; - 5)$ , $(- 5; 0)$ , $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(- 2; 3)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 5)$ .
1) Найбільше значення — ордината вершини $4$ , найменшого немає: $E (f) = (- \infty; 4]$ .
2) Ліворуч від вершини графік іде вгору: функція зростає на $(- \infty; - 3]$ .
3) Графік лежить вище від осі $x$ між нулями $- 5$ і $- 1$ : $f (x) > 0$ при $x \in (- 5; - 1)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; 4]$ ; 2) $(- \infty; - 3]$ ; 3) $(- 5; - 1)$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.14 с. 103

Графік і властивості функції

Умова

Що треба знати

Графік $y = a x^{2} + b x + c$ будуємо так: знаходимо вершину $(x_{0}; y_{0})$ , де $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$ ; за знаком $a$ визначаємо напрямок віток; знаходимо точки перетину з осями (з віссю $y$ — точка $(0; c)$ , з віссю $x$ — корені рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ ); додаємо кілька точок, симетричних відносно прямої $x = x_{0}$ , і з’єднуємо все плавною лінією. З готового графіка читаємо область значень, проміжки зростання і спадання та знаки функції.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Вітки напрямлені вниз, тож найбільше значення — ордината вершини; додатні значення — там, де графік над віссю абсцис.

Розв’язання крок за кроком

Графік: $a = - 1 < 0$ — вітки вниз; $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot ( - 1 )} = - 3$ , $y_{0} = - 9 + 18 - 5 = 4$ , вершина $(- 3; 4)$ , вісь $x = - 3$ . З віссю $y$ : $(0; - 5)$ ; з віссю $x$ : $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ , $D = 36 - 20 = 16$ , $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = - 1$ . Точки: $(- 6; - 5)$ , $(- 5; 0)$ , $(- 4; 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(- 2; 3)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 5)$ .
1) Найбільше значення — ордината вершини $4$ , найменшого немає: $E (f) = (- \infty; 4]$ .
2) Ліворуч від вершини графік іде вгору: функція зростає на $(- \infty; - 3]$ .
3) Графік лежить вище від осі $x$ між нулями $- 5$ і $- 1$ : $f (x) > 0$ при $x \in (- 5; - 1)$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; 4]$ ; 2) $(- \infty; - 3]$ ; 3) $(- 5; - 1)$ .

Розбір зрозумілий?