Побудуйте графік f(x)=x2−6x+8 і за ним знайдіть: 1) f(6), f(1); 2) x, при яких f(x)=8; f(x)=−1; f(x)=−2; 3) найбільше й найменше значення; 4) область значень; 5) проміжки зростання і спадання; 6) при яких x функція додатна, а при яких — від’ємна.
1) За графіком f(6)=8, f(1)=3. Перевірка: f(6)=36−36+8=8, f(1)=1−6+8=3.
2) Пряма y=8 перетинає параболу в точках з абсцисами 0 і 6 (справді, x2−6x=0). Пряма y=−1 проходить через вершину: x=3. Пряма y=−2 лежить нижче від вершини і графіка не перетинає: таких x немає.
3) Найменше значення −1 (при x=3); найбільшого значення немає, бо вітки необмежено йдуть угору.
4) E(f)=[−1;+∞).
5) Функція спадає на (−∞;3] і зростає на [3;+∞).
6) Графік вище від осі x ліворуч від 2 і праворуч від 4: f(x)>0 при x∈(−∞;2)∪(4;+∞); між нулями графік нижче від осі: f(x)<0 при x∈(2;4).
Відповідь:
1) f(6)=8, f(1)=3; 2) f(x)=8 при x=0 або x=6; f(x)=−1 при x=3; f(x)=−2 — таких x немає; 3) найменше −1, найбільшого немає; 4) [−1;+∞); 5) спадає на (−∞;3], зростає на [3;+∞); 6) f(x)>0 на (−∞;2)∪(4;+∞), f(x)<0 на (2;4).
Розбір зрозумілий?
11. Квадратична функція, її графік і властивостіЗавдання 11.13с. 102
Графік і властивості функції
Умова
Побудуйте графік f(x)=x2−6x+8 і за ним знайдіть: 1) f(6), f(1); 2) x, при яких f(x)=8; f(x)=−1; f(x)=−2; 3) найбільше й найменше значення; 4) область значень; 5) проміжки зростання і спадання; 6) при яких x функція додатна, а при яких — від’ємна.
Що треба знати
Графік y=ax2+bx+c будуємо так: знаходимо вершину (x0;y0), де x0=−2ab, y0=y(x0); за знаком a визначаємо напрямок віток; знаходимо точки перетину з осями (з віссю y — точка (0;c), з віссю x — корені рівняння ax2+bx+c=0); додаємо кілька точок, симетричних відносно прямої x=x0, і з’єднуємо все плавною лінією. З готового графіка читаємо область значень, проміжки зростання і спадання та знаки функції.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Після побудови проводь горизонтальні прямі y=8, y=−1, y=−2 і дивись, де вони перетинають параболу.
1) За графіком f(6)=8, f(1)=3. Перевірка: f(6)=36−36+8=8, f(1)=1−6+8=3.
2) Пряма y=8 перетинає параболу в точках з абсцисами 0 і 6 (справді, x2−6x=0). Пряма y=−1 проходить через вершину: x=3. Пряма y=−2 лежить нижче від вершини і графіка не перетинає: таких x немає.
3) Найменше значення −1 (при x=3); найбільшого значення немає, бо вітки необмежено йдуть угору.
4) E(f)=[−1;+∞).
5) Функція спадає на (−∞;3] і зростає на [3;+∞).
6) Графік вище від осі x ліворуч від 2 і праворуч від 4: f(x)>0 при x∈(−∞;2)∪(4;+∞); між нулями графік нижче від осі: f(x)<0 при x∈(2;4).
Відповідь:
1) f(6)=8, f(1)=3; 2) f(x)=8 при x=0 або x=6; f(x)=−1 при x=3; f(x)=−2 — таких x немає; 3) найменше −1, найбільшого немає; 4) [−1;+∞); 5) спадає на (−∞;3], зростає на [3;+∞); 6) f(x)>0 на (−∞;2)∪(4;+∞), f(x)<0 на (2;4).
