Завдання 11.12, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.12

Побудова графіка параболи

Побудуйте графік функції: 1) $y = x^{2} + 2 x - 8$ ; 2) $y = x^{2} - 2 x$ ; 3) $y = - x^{2} + 4 x - 5$ ; 4) $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Розв’язання

1) $y = x^{2} + 2 x - 8$ : $a = 1 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ , $y_{0} = 1 - 2 - 8 = - 9$ ; вершина $(- 1; - 9)$ , вісь $x = - 1$ . З віссю $y$ : $(0; - 8)$ . З віссю $x$ : $D = 4 + 32 = 36$ , $x = \frac{- 2 \pm 6}{2}$ , $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Точки: $(- 4; 0)$ , $(- 3; - 5)$ , $(- 2; - 8)$ , $(- 1; - 9)$ , $(0; - 8)$ , $(1; - 5)$ , $(2; 0)$ .
2) $y = x^{2} - 2 x$ : $a = 1 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1 - 2 = - 1$ ; вершина $(1; - 1)$ , вісь $x = 1$ . З осями: $x (x - 2) = 0$ — точки $(0; 0)$ і $(2; 0)$ . Точки: $(- 1; 3)$ , $(0; 0)$ , $(1; - 1)$ , $(2; 0)$ , $(3; 3)$ .
3) $y = - x^{2} + 4 x - 5$ : $a = - 1 < 0$ — вітки вниз. $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ , $y_{0} = - 4 + 8 - 5 = - 1$ ; вершина $(2; - 1)$ , вісь $x = 2$ . З віссю $y$ : $(0; - 5)$ . З віссю $x$ : $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ , $D = 16 - 20 = - 4 < 0$ — спільних точок немає, графік увесь нижче від осі $x$ . Точки: $(0; - 5)$ , $(1; - 2)$ , $(2; - 1)$ , $(3; - 2)$ , $(4; - 5)$ .
4) $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ : $a = 2 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 2} = 0, 5$ , $y_{0} = 0, 5 - 1 - 4 = - 4, 5$ ; вершина $(0, 5; - 4, 5)$ , вісь $x = 0, 5$ . З віссю $y$ : $(0; - 4)$ . З віссю $x$ : $x^{2} - x - 2 = 0$ , $D = 1 + 8 = 9$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ . Точки: $(- 2; 8)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 4)$ , $(0, 5; - 4, 5)$ , $(1; - 4)$ , $(2; 0)$ , $(3; 8)$ .

Відповідь:

Параболи: 1) угору, вершина $(- 1; - 9)$ , нулі $- 4$ і $2$ ; 2) угору, $(1; - 1)$ , нулі $0$ і $2$ ; 3) униз, $(2; - 1)$ , нулів немає; 4) угору, $(0, 5; - 4, 5)$ , нулі $- 1$ і $2$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.12 с. 102

Побудова графіка параболи

Умова

Побудуйте графік функції: 1) $y = x^{2} + 2 x - 8$ ; 2) $y = x^{2} - 2 x$ ; 3) $y = - x^{2} + 4 x - 5$ ; 4) $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Що треба знати

Графік $y = a x^{2} + b x + c$ будуємо так: знаходимо вершину $(x_{0}; y_{0})$ , де $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{0} = y (x_{0})$ ; за знаком $a$ визначаємо напрямок віток; знаходимо точки перетину з осями (з віссю $y$ — точка $(0; c)$ , з віссю $x$ — корені рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ ); додаємо кілька точок, симетричних відносно прямої $x = x_{0}$ , і з’єднуємо все плавною лінією. З готового графіка читаємо область значень, проміжки зростання і спадання та знаки функції.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди вершину, напрямок віток і точки перетину з осями, а решту точок бери симетрично відносно осі параболи.

Розв’язання крок за кроком

1) $y = x^{2} + 2 x - 8$ : $a = 1 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ , $y_{0} = 1 - 2 - 8 = - 9$ ; вершина $(- 1; - 9)$ , вісь $x = - 1$ . З віссю $y$ : $(0; - 8)$ . З віссю $x$ : $D = 4 + 32 = 36$ , $x = \frac{- 2 \pm 6}{2}$ , $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Точки: $(- 4; 0)$ , $(- 3; - 5)$ , $(- 2; - 8)$ , $(- 1; - 9)$ , $(0; - 8)$ , $(1; - 5)$ , $(2; 0)$ .
2) $y = x^{2} - 2 x$ : $a = 1 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1 - 2 = - 1$ ; вершина $(1; - 1)$ , вісь $x = 1$ . З осями: $x (x - 2) = 0$ — точки $(0; 0)$ і $(2; 0)$ . Точки: $(- 1; 3)$ , $(0; 0)$ , $(1; - 1)$ , $(2; 0)$ , $(3; 3)$ .
3) $y = - x^{2} + 4 x - 5$ : $a = - 1 < 0$ — вітки вниз. $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ , $y_{0} = - 4 + 8 - 5 = - 1$ ; вершина $(2; - 1)$ , вісь $x = 2$ . З віссю $y$ : $(0; - 5)$ . З віссю $x$ : $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ , $D = 16 - 20 = - 4 < 0$ — спільних точок немає, графік увесь нижче від осі $x$ . Точки: $(0; - 5)$ , $(1; - 2)$ , $(2; - 1)$ , $(3; - 2)$ , $(4; - 5)$ .
4) $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ : $a = 2 > 0$ — вітки вгору. $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 2} = 0, 5$ , $y_{0} = 0, 5 - 1 - 4 = - 4, 5$ ; вершина $(0, 5; - 4, 5)$ , вісь $x = 0, 5$ . З віссю $y$ : $(0; - 4)$ . З віссю $x$ : $x^{2} - x - 2 = 0$ , $D = 1 + 8 = 9$ , $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ . Точки: $(- 2; 8)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 4)$ , $(0, 5; - 4, 5)$ , $(1; - 4)$ , $(2; 0)$ , $(3; 8)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?