Завдання 11.11, 11. Квадратична функція, її графік і властивості

Розв’язання крок за кроком

1. 1) $y=x^2-4x-5$: $a=1>0$ — вітки вгору. $x_0=-\frac{-4}{2}=2$, $y_0=4-8-5=-9$; вершина $(2;-9)$, вісь симетрії $x=2$. З віссю $y$: $(0;-5)$. З віссю $x$: $x^2-4x-5=0$, $D=16+20=36$, $x_1=-1$, $x_2=5$. Точки: $(-1;0)$, $(0;-5)$, $(1;-8)$, $(2;-9)$, $(3;-8)$, $(4;-5)$, $(5;0)$ — з’єднуємо плавною лінією.

2. 2) $y=-x^2+2x+3$: $a=-1<0$ — вітки вниз. $x_0=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=1$, $y_0=-1+2+3=4$; вершина $(1;4)$, вісь $x=1$. З віссю $y$: $(0;3)$. З віссю $x$: $x^2-2x-3=0$, $D=4+12=16$, $x_1=-1$, $x_2=3$. Точки: $(-2;-5)$, $(-1;0)$, $(0;3)$, $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;0)$, $(4;-5)$.

3. 3) $y=6x-x^2=-x^2+6x$: $a=-1<0$ — вітки вниз. $x_0=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=3$, $y_0=18-9=9$; вершина $(3;9)$, вісь $x=3$. З осями: $x(6-x)=0$, тобто точки $(0;0)$ і $(6;0)$ (графік проходить через початок координат). Точки: $(0;0)$, $(1;5)$, $(2;8)$, $(3;9)$, $(4;8)$, $(5;5)$, $(6;0)$.

4. 4) $y=2x^2-8x+8$: $a=2>0$ — вітки вгору. $x_0=-\frac{-8}{2\cdot 2}=2$, $y_0=8-16+8=0$; вершина $(2;0)$, вісь $x=2$. З віссю $y$: $(0;8)$. З віссю $x$: $2x^2-8x+8=0$, $x^2-4x+4=0$, $(x-2{)}^2=0$, $x=2$ — парабола лише дотикається до осі $x$ у вершині. Точки: $(0;8)$, $(1;2)$, $(2;0)$, $(3;2)$, $(4;8)$.

5. 5) $y=x^2-2x+4$: $a=1>0$ — вітки вгору. $x_0=-\frac{-2}{2}=1$, $y_0=1-2+4=3$; вершина $(1;3)$, вісь $x=1$. З віссю $y$: $(0;4)$. З віссю $x$: $D=4-16=-12<0$ — спільних точок немає, графік увесь вище від осі $x$. Точки: $(-1;7)$, $(0;4)$, $(1;3)$, $(2;4)$, $(3;7)$.

6. 6) $y=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-4$: $a=-\frac{1}{2}<0$ — вітки вниз. $x_0=-\frac{3}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=3$, $y_0=-4,5+9-4=0,5$; вершина $(3;0,5)$, вісь $x=3$. З віссю $y$: $(0;-4)$. З віссю $x$: множимо рівняння на $-2$: $x^2-6x+8=0$, $D=36-32=4$, $x_1=2$, $x_2=4$. Точки: $(0;-4)$, $(1;-1,5)$, $(2;0)$, $(3;0,5)$, $(4;0)$, $(5;-1,5)$, $(6;-4)$.

7. 7) $y=x^2-6x+5$: $a=1>0$ — вітки вгору. $x_0=-\frac{-6}{2}=3$, $y_0=9-18+5=-4$; вершина $(3;-4)$, вісь $x=3$. З віссю $y$: $(0;5)$. З віссю $x$: $D=36-20=16$, $x_1=1$, $x_2=5$. Точки: $(0;5)$, $(1;0)$, $(2;-3)$, $(3;-4)$, $(4;-3)$, $(5;0)$, $(6;5)$.

8. 8) $y=2x^2-5x+2$: $a=2>0$ — вітки вгору. $x_0=-\frac{-5}{2\cdot 2}=1,25$, $y_0=2\cdot 1,5625-6,25+2=-1,125$; вершина $(1,25;-1,125)$, вісь $x=1,25$. З віссю $y$: $(0;2)$. З віссю $x$: $D=25-16=9$, $x=\frac{5\pm 3}{4}$, $x_1=0,5$, $x_2=2$. Точки: $(0;2)$, $(0,5;0)$, $(1;-1)$, $(1,25;-1,125)$, $(1,5;-1)$, $(2;0)$, $(2,5;2)$.