За графіком функції y=ax2+bx+c (рис. 11.4, а, б) визначте: 1) знаки a і дискримінанта D; 2) координати вершини; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості; 5) проміжки зростання і спадання.
Розв’язання
Рис. 11.4, а. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина — точка (−2;2), вісь абсцис парабола перетинає в точках (−3;0) і (−1;0).
а) 1) Вітки вниз, тому a<0; спільних точок з віссю x дві, тому D>0.
а) 2) Вершина (−2;2).
а) 3) Нулі функції: x=−3 і x=−1.
а) 4) y>0 на проміжку (−3;−1); y<0 на кожному з проміжків (−∞;−3) і (−1;+∞).
а) 5) Функція зростає на (−∞;−2] і спадає на [−2;+∞).
Перевірка для а): таким даним відповідає y=−2(x+2)2+2=−2x2−8x−6; справді, y(−3)=−18+24−6=0.
Рис. 11.4, б. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вгору, вершина — точка (3;−3), вісь абсцис парабола перетинає в точках (0;0) і (6;0) (проходить через початок координат).
б) 1) Вітки вгору, тому a>0; спільних точок з віссю x дві, тому D>0.
б) 2) Вершина (3;−3).
б) 3) Нулі функції: x=0 і x=6.
б) 4) y>0 на кожному з проміжків (−∞;0) і (6;+∞); y<0 на проміжку (0;6).
б) 5) Функція спадає на (−∞;3] і зростає на [3;+∞).
Перевірка для б): таким даним відповідає y=31x(x−6)=31x2−2x; справді, y(3)=3−6=−3.
Відповідь:
а) a<0, D>0; вершина (−2;2); нулі −3 і −1; y>0 на (−3;−1), y<0 на (−∞;−3) і (−1;+∞); зростає на (−∞;−2], спадає на [−2;+∞). б) a>0, D>0; вершина (3;−3); нулі 0 і 6; y>0 на (−∞;0) і (6;+∞), y<0 на (0;6); спадає на (−∞;3], зростає на [3;+∞).
Розбір зрозумілий?
11. Квадратична функція, її графік і властивостіЗавдання 11.10с. 102
Властивості функції за графіком
Умова
За графіком функції y=ax2+bx+c (рис. 11.4, а, б) визначте: 1) знаки a і дискримінанта D; 2) координати вершини; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості; 5) проміжки зростання і спадання.
Що треба знати
Як читати графік параболи: напрямок віток дає знак a (угору — a>0, униз — a<0); кількість спільних точок з віссю абсцис дає знак дискримінанта (дві — D>0, одна — D=0, жодної — D<0), а абсциси цих точок — нулі функції. Де графік вище від осі x, функція додатна, де нижче — від’ємна. У вершині функція змінює монотонність: при a>0 спадає до x0 і зростає після, при a<0 — навпаки.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди на рисунку вершину й точки перетину з віссю абсцис — з них читаються всі відповіді.
Розв’язання крок за кроком
Рис. 11.4, а. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина — точка (−2;2), вісь абсцис парабола перетинає в точках (−3;0) і (−1;0).
а) 1) Вітки вниз, тому a<0; спільних точок з віссю x дві, тому D>0.
а) 2) Вершина (−2;2).
а) 3) Нулі функції: x=−3 і x=−1.
а) 4) y>0 на проміжку (−3;−1); y<0 на кожному з проміжків (−∞;−3) і (−1;+∞).
а) 5) Функція зростає на (−∞;−2] і спадає на [−2;+∞).
Перевірка для а): таким даним відповідає y=−2(x+2)2+2=−2x2−8x−6; справді, y(−3)=−18+24−6=0.
Рис. 11.4, б. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вгору, вершина — точка (3;−3), вісь абсцис парабола перетинає в точках (0;0) і (6;0) (проходить через початок координат).
б) 1) Вітки вгору, тому a>0; спільних точок з віссю x дві, тому D>0.
б) 2) Вершина (3;−3).
б) 3) Нулі функції: x=0 і x=6.
б) 4) y>0 на кожному з проміжків (−∞;0) і (6;+∞); y<0 на проміжку (0;6).
б) 5) Функція спадає на (−∞;3] і зростає на [3;+∞).
Перевірка для б): таким даним відповідає y=31x(x−6)=31x2−2x; справді, y(3)=3−6=−3.
Відповідь:
а) a<0, D>0; вершина (−2;2); нулі −3 і −1; y>0 на (−3;−1), y<0 на (−∞;−3) і (−1;+∞); зростає на (−∞;−2], спадає на [−2;+∞). б) a>0, D>0; вершина (3;−3); нулі 0 і 6; y>0 на (−∞;0) і (6;+∞), y<0 на (0;6); спадає на (−∞;3], зростає на [3;+∞).
