Завдання 11.9, 11. Квадратична функція, її графік і властивості — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 11.9

Властивості функції за графіком

За графіком функції $y = a x^{2} + b x + c$ (рис. 11.3, а, б) визначте: 1) знаки $a$ і дискримінанта $D$ ; 2) координати вершини; 3) нулі функції; 4) проміжки знакосталості; 5) проміжки зростання і спадання.

Розв’язання

Рис. 11.3, а. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина — точка $(- 1; 4)$ , вісь абсцис парабола перетинає в точках $(- 3; 0)$ і $(1; 0)$ , вісь ординат — у точці $(0; 3)$ .
а) 1) Вітки вниз, тому $a < 0$ ; спільних точок з віссю $x$ дві, тому $D > 0$ .
а) 2) Вершина $(- 1; 4)$ .
а) 3) Нулі функції: $x = - 3$ і $x = 1$ .
а) 4) $y > 0$ на проміжку $(- 3; 1)$ (графік над віссю $x$ ); $y < 0$ на кожному з проміжків $(- \infty; - 3)$ і $(1; + \infty)$ .
а) 5) Функція зростає на $(- \infty; - 1]$ і спадає на $[- 1; + \infty)$ .
Перевірка для а): усім цим даним відповідає $y = - (x + 1)^{2} + 4 = - x^{2} - 2 x + 3$ ; справді, $y (0) = 3$ , $y (1) = 0$ .
Рис. 11.3, б. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вгору, вершина — точка $(1; 2)$ , з віссю абсцис парабола спільних точок не має, вісь ординат перетинає в точці $(0; 3)$ .
б) 1) Вітки вгору, тому $a > 0$ ; спільних точок з віссю $x$ немає, тому $D < 0$ .
б) 2) Вершина $(1; 2)$ .
б) 3) Нулів функція не має.
б) 4) Увесь графік лежить вище від осі $x$ : $y > 0$ на $(- \infty; + \infty)$ ; від’ємних значень функція не набуває.
б) 5) Функція спадає на $(- \infty; 1]$ і зростає на $[1; + \infty)$ .
Перевірка для б): цьому графіку відповідає $y = (x - 1)^{2} + 2 = x^{2} - 2 x + 3$ ; справді, $y (0) = 3$ , а $D = 4 - 12 < 0$ .

Відповідь:

а) $a < 0$ , $D > 0$ ; вершина $(- 1; 4)$ ; нулі $- 3$ і $1$ ; $y > 0$ на $(- 3; 1)$ , $y < 0$ на $(- \infty; - 3)$ і $(1; + \infty)$ ; зростає на $(- \infty; - 1]$ , спадає на $[- 1; + \infty)$ . б) $a > 0$ , $D < 0$ ; вершина $(1; 2)$ ; нулів немає; $y > 0$ на $(- \infty; + \infty)$ ; спадає на $(- \infty; 1]$ , зростає на $[1; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

11. Квадратична функція, її графік і властивості Завдання 11.9 с. 101

Властивості функції за графіком

Умова

Що треба знати

Як читати графік параболи: напрямок віток дає знак $a$ (угору — $a > 0$ , униз — $a < 0$ ); кількість спільних точок з віссю абсцис дає знак дискримінанта (дві — $D > 0$ , одна — $D = 0$ , жодної — $D < 0$ ), а абсциси цих точок — нулі функції. Де графік вище від осі $x$ , функція додатна, де нижче — від’ємна. У вершині функція змінює монотонність: при $a > 0$ спадає до $x_{0}$ і зростає після, при $a < 0$ — навпаки.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Подивись, куди напрямлені вітки, де вершина і в яких точках графік перетинає вісь абсцис.

Розв’язання крок за кроком

Рис. 11.3, а. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вниз, вершина — точка $(- 1; 4)$ , вісь абсцис парабола перетинає в точках $(- 3; 0)$ і $(1; 0)$ , вісь ординат — у точці $(0; 3)$ .
а) 1) Вітки вниз, тому $a < 0$ ; спільних точок з віссю $x$ дві, тому $D > 0$ .
а) 2) Вершина $(- 1; 4)$ .
а) 3) Нулі функції: $x = - 3$ і $x = 1$ .
а) 4) $y > 0$ на проміжку $(- 3; 1)$ (графік над віссю $x$ ); $y < 0$ на кожному з проміжків $(- \infty; - 3)$ і $(1; + \infty)$ .
а) 5) Функція зростає на $(- \infty; - 1]$ і спадає на $[- 1; + \infty)$ .
Перевірка для а): усім цим даним відповідає $y = - (x + 1)^{2} + 4 = - x^{2} - 2 x + 3$ ; справді, $y (0) = 3$ , $y (1) = 0$ .
Рис. 11.3, б. Читаємо з рисунка: вітки напрямлені вгору, вершина — точка $(1; 2)$ , з віссю абсцис парабола спільних точок не має, вісь ординат перетинає в точці $(0; 3)$ .
б) 1) Вітки вгору, тому $a > 0$ ; спільних точок з віссю $x$ немає, тому $D < 0$ .
б) 2) Вершина $(1; 2)$ .
б) 3) Нулів функція не має.
б) 4) Увесь графік лежить вище від осі $x$ : $y > 0$ на $(- \infty; + \infty)$ ; від’ємних значень функція не набуває.
б) 5) Функція спадає на $(- \infty; 1]$ і зростає на $[1; + \infty)$ .
Перевірка для б): цьому графіку відповідає $y = (x - 1)^{2} + 2 = x^{2} - 2 x + 3$ ; справді, $y (0) = 3$ , а $D = 4 - 12 < 0$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?