Побудуйте графік функції y=(x+5)2−9 і за ним знайдіть: 1) нулі функції; 2) значення x, при яких y>0; 3) проміжки зростання і спадання; 4) область значень.
Розв’язання
Побудова: y=x2 → (уліво на 5) → (униз на 9). Вершина (−5;−9), вісь симетрії x=−5, вітки вгору; з віссю y — точка (0;16). Таблиця: x: −8;−7;−6;−5;−4;−3;−2 → y: 0;−5;−8;−9;−8;−5;0.
1) Графік перетинає вісь x у точках x=−8 і x=−2. Перевірка: (x+5)2=9, x+5=±3, x=−2 або x=−8.
2) Графік лежить вище від осі x ліворуч від −8 і праворуч від −2: y>0 при x∈(−∞;−8)∪(−2;+∞).
3) Ліворуч від вершини графік іде вниз, праворуч — угору: функція спадає на (−∞;−5] і зростає на [−5;+∞).
4) Найменше значення — ордината вершини, −9; найбільшого немає: область значень [−9;+∞).
Відповідь:
1) −8 і −2; 2) (−∞;−8)∪(−2;+∞); 3) спадає на (−∞;−5], зростає на [−5;+∞); 4) [−9;+∞).
Розбір зрозумілий?
10. Побудова графіків функцій y = x² + b і y = (x + a)²Завдання 10.12с. 94
Властивості за графіком
Умова
Побудуйте графік функції y=(x+5)2−9 і за ним знайдіть: 1) нулі функції; 2) значення x, при яких y>0; 3) проміжки зростання і спадання; 4) область значень.
Що треба знати
Графік y=k(x+a)2+b отримують з параболи y=kx2 двома перенесеннями: уздовж осі абсцис на ∣a∣ одиниць (уліво при a>0, управо при a<0) і вздовж осі ординат на ∣b∣ одиниць (угору при b>0, униз при b<0). Це парабола, що дорівнює параболі y=kx2, з вершиною (−a;b) і віссю симетрії x=−a; при k>0 вітки напрямлені вгору, при k<0 — униз.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Побудуй параболу від її вершини; нулі — точки перетину з віссю абсцис, а властивості читай, рухаючись графіком зліва направо.
Розв’язання крок за кроком
Побудова: y=x2 → (уліво на 5) → (униз на 9). Вершина (−5;−9), вісь симетрії x=−5, вітки вгору; з віссю y — точка (0;16). Таблиця: x: −8;−7;−6;−5;−4;−3;−2 → y: 0;−5;−8;−9;−8;−5;0.
1) Графік перетинає вісь x у точках x=−8 і x=−2. Перевірка: (x+5)2=9, x+5=±3, x=−2 або x=−8.
2) Графік лежить вище від осі x ліворуч від −8 і праворуч від −2: y>0 при x∈(−∞;−8)∪(−2;+∞).
3) Ліворуч від вершини графік іде вниз, праворуч — угору: функція спадає на (−∞;−5] і зростає на [−5;+∞).
4) Найменше значення — ордината вершини, −9; найбільшого немає: область значень [−9;+∞).
Відповідь:
1) −8 і −2; 2) (−∞;−8)∪(−2;+∞); 3) спадає на (−∞;−5], зростає на [−5;+∞); 4) [−9;+∞).
