ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 99

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 463–469 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 463

Симетрія кубічної функції

Порівняти графіки функцій $y = x^{3}$ та $y = - x^{3}$ . Варіанти відповідей: А — співпадають, Б — симетричні відносно осі $x$ , В — симетричні відносно осі $y$ , Г — симетричні відносно початку координат.

Розв’язання

Візьмемо точку $(1; 1)$ , яка належить графіку $y = x^{3}$ .
Для функції $y = - x^{3}$ при $x = 1$ отримуємо $y = - 1$ , отже точка $(1; - 1)$ належить її графіку.
Точки $(1; 1)$ та $(1; - 1)$ симетричні відносно осі $x$ .

Відповідь:

Завдання 464

Порівняння квадратичних функцій

Описати різницю між графіками пар функцій: а) $y = x^{2}$ , $y = (- x)^{2}$ та $y = - x^{2}$ ; б) $y = 4 x^{2}$ , $y = - (2 x)^{2}$ та $y = (- 2 x)^{2}$ ; в) $y = x^{2}$ , $y = (- x)^{2}$ та $y = ∣ x ∣$ .

Розв’язання

Для пункту а): $y = x^{2}$ і $y = (- x)^{2}$ — це одна й та сама парабола, оскільки $(- x)^{2} = x^{2}$ . Графік $y = - x^{2}$ лежить симетрично нижче осі $x$ .
Для пункту б): $y = 4 x^{2}$ , $y = - (2 x)^{2} = - 4 x^{2}$ та $y = (- 2 x)^{2} = 4 x^{2}$ . Графіки $y = 4 x^{2}$ і $y = (- 2 x)^{2}$ збігаються. Графік $y = - 4 x^{2}$ симетричний першим відносно осі $x$ .
Для пункту в): $x^{2} = ∣ x ∣$ , тому $y = x^{2}$ , $y = (- x)^{2}$ та $y = ∣ x ∣$ — це одна й та сама функція, графіки співпадають.

Відповідь:

а) перші два збігаються, третій симетричний відносно осі $x$ ; б) перші і третій збігаються ( $y = 4 x^{2}$ ), другий симетричний відносно осі $x$ ; в) графіки співпадають.

Завдання 465

Розташування графіка

y = - f (x)

Визначити чверті розташування графіка функції $y = - f (x)$ , якщо графік $y = f (x)$ знаходиться: а) у ІІІ чверті; б) у І та ІІ чвертях.

Розв’язання

Якщо графік $y = f (x)$ у ІІІ чверті (де $x < 0, y < 0$ ), то після відображення відносно осі $x$ отримаємо точки з $x < 0$ та $y > 0$ , що відповідає II чверті.
Якщо графік $y = f (x)$ у І та ІІ чвертях (де $y > 0$ ), то після відображення отримаємо графік, де $y < 0$ . Це III та IV чверті.

Відповідь:

а) II чверть; б) III і IV чверті.

Завдання 466

Найбільше значення функції після перетворення

Знайти найбільше значення функції $y = - f (x)$ , якщо відомо, що максимальне значення функції $f (x)$ дорівнює 5. Розглянути випадки: а) $y = f (x) + 5$ ; б) $y = f (x - 5)$ ; в) $y = 5 f (x)$ .

Розв’язання

Для випадку а) $y = f (x) + 5$ : Максимальне значення дорівнює $5 + 5 = 10$ .
Для випадку б) $y = f (x - 5)$ : Зсув графіка вздовж осі $x$ не змінює його вертикального розташування, тому максимальне значення залишається $5$ .
Для випадку в) $y = 5 f (x)$ : Оскільки ми шукаємо максимум для $- f (x)$ , спочатку знайдемо максимум для $5 f (x)$ , який дорівнює $5 \cdot 5 = 25$ , а потім застосуємо знак мінус, отримавши $- 25$ .

Відповідь:

а) $10$ ; б) $5$ ; в) $- 25$ .

Завдання 467

Визначення монотонності функції після перетворення

Функція $y = f (x)$ зростає на всій області визначення. Визначити, чи зростаючою чи спадною є функція у випадках: а) $y = 2 f (x)$ ; б) $y = 0, 5 f (x)$ ; в) $y = - f (x)$ .

Розв’язання

Для а) і б) коефіцієнти $2$ та $0, 5$ додатні, тому функції залишаються зростаючими.
Для в) коефіцієнт $- 1$ від'ємний, тому графік відображається відносно осі $x$ , і функція стає спадною.

Відповідь:

а) зростаюча; б) зростаюча; в) спадна.

Завдання 468

Перевірка паралельності графіків лінійних функцій

Визначити, чи є прямими $y = 0, 3 x$ , $y = 0, 3 x + 2$ та $y = 0, 3 x - 5$ паралельними.

Розв’язання

Перевіряємо коефіцієнт при $x$ : для всіх трьох функцій він дорівнює $0, 3$ .
Перевіряємо вільні члени: $0$ , $2$ та $- 5$ — всі різні між собою.

Відповідь:

Так, це паралельні прямі.

Завдання 469

Знаходження формули функції за графіком

На малюнку 10.11 зображено дві паралельні прямі — графіки двох функцій. Одна з цих функій — $y = 0, 5 x + 3$ . Потрібно назвати формулу другої функції (варіанти: А, Б, В, Г).

Розв’язання

Для функції $y = 0, 5 x + 3$ кутовий коефіцієнт $k = 0, 5$ . Оскільки прямі паралельні, у формулі другої функції також має бути $0, 5 x$ . Це виключає варіант Г ( $y = - 0, 5 x - 1$ ).
Знайдемо точку перетину графіка з віссю $y$ (вільний доданок) для другої прямої. На малюнку видно, що пряма проходить через точки $(0; - 1)$ та $(2; 0)$ .
Підставимо координати точки $(0; - 1)$ у загальну формулу $y = k x + b$ : $- 1 = 0, 5 \cdot 0 + b$ , отже $b = - 1$ . Формула другої функції: $y = 0, 5 x - 1$ .

Відповідь: