ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 100

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 470–476 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 470

Перетворення графіка функції

На малюнку 10.12 пряма 1 — графік $y = f (x)$ , паралельна їй пряма 2 перетинає осі в точках $a$ і $b$ . Треба визначити, чи є пряма 2 графіком функцій: І) $y = f (x - a)$ , ІІ) $y = f (x + b)$ , ІІІ) $y = f (x) + b$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант І: $y = f (x - a)$ . Це перенесення графіка $f (x)$ на $a$ одиниць вправо. Оскільки пряма 2 паралельна прямій 1, вона може бути результатом горизонтального зсуву.
Перевіримо варіант ІІ: $y = f (x + b)$ . Це перенесення графіка $f (x)$ на $b$ одиниць вліво. Також можливе паралельне перенесення.
Перевіримо варіант ІІІ: $y = f (x) + b$ . Це вертикальний зсув графіка $f (x)$ на $b$ одиниць вгору. Оскільки пряма 2 паралельна прямій 1, а не зміщена відносно осі $x$ (якщо $b \neq = 0$ ), цей варіант не підходить для опису паралельної прямої з іншим перетином з віссю $y$ .

Відповідь:

Г І, ІІ і ІІІ

Завдання 471

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки пар функцій: а) $y = x^{2}$ , $y = x^{2} + 2$ , $y = x^{2} - 2$ ; б) $y = x^{2}$ , $y = (x - 2)^{2}$ , $y = (x + 2)^{2}$ . Проаналізувати зміни.

Розв’язання

Розглянемо групу а): $y = x^{2}$ — це стандартна парабола з вершиною в $(0; 0)$ . Функція $y = x^{2} + 2$ має ту саму форму, але вершина піднята на 2 одиниці вгору до точки $(0; 2)$ . Функція $y = x^{2} - 2$ має вершину опущену на 2 одиниці вниз до $(0; - 2)$ .
Розглянемо групу б): $y = x^{2}$ — стандартна парабола. Функція $y = (x - 2)^{2}$ означає зсув графіка вправо на 2 одиниці, вершина тепер у точці $(2; 0)$ . Функція $y = (x + 2)^{2}$ означає зсув графіка вліво на 2 одиниці, вершина у точці $(- 2; 0)$ .

Відповідь:

а) Графіки — паралельні параболи, зміщені вертикально. б) Графіки — паралельні параболи, зміщені горизонтально.

Завдання 472

Порівняння кубічних функцій

Чим відрізняються графіки пар функцій: а) $y = (x - 2)^{3}$ і $y = (x + 2)^{3}$ ; б) $y = x^{3} + 1$ і $y = (x + 1)^{3}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Функція $y = (x - 2)^{3}$ є графіком функції $y = x^{3}$ , зсунутого вправо на 2 одиниці (вершина або точка перетину з віссю $y$ зміщується). Функція $y = (x + 2)^{3}$ — це графік $y = x^{3}$ , зсунутого вліво на 2 одиниці.
Для пункту б): Функція $y = x^{3} + 1$ є графіком $y = x^{3}$ , піднятого на 1 одиницю вгору. Функція $y = (x + 1)^{3}$ — це графік $y = x^{3}$ , зсунутого вліво на 1 одиницю.

Відповідь:

а) Графіки зміщені горизонтально вліво та вправо. б) Один графік зміщений вертикально, інший — горизонтально.

Завдання 473

Область визначення при перетвореннях

Область визначення функції $y = f (x)$ — проміжок $(a; b)$ . Знайти область визначення для: а) $y = - f (x)$ ; б) $y = f (x) + n$ ; в) $y = ∣ f (x) ∣$ ; г) $y = k \cdot f (x)$ .

Розв’язання

Для функцій $y = - f (x)$ , $y = f (x) + n$ , $y = ∣ f (x) ∣$ та $y = k \cdot f (x)$ виконуємо лише зміни ординат точок графіка або його відображення.
Оскільки жодне з цих перетворень не зміщує графік вздовж осі абсцис, область визначення залишається тією самою, що й для $y = f (x)$ .

Відповідь:

а) $(a; b)$ ; б) $(a; b)$ ; в) $(a; b)$ ; г) $(a; b)$ .

Завдання 474

Область значень при перетвореннях

Область значень функції $y = f (x)$ — промінь $(c; \infty)$ . Знайти область значень для: а) $y = - f (x)$ ; б) $y = f (x) + n$ ; в) $y = f (x) - m$ ; г) $y = k \cdot f (x)$ .

Розв’язання

Для $y = f (x) + n$ графік піднімається на $n$ , тому нове мінімальне значення дорівнює $c + n$ .
Для $y = f (x) - m$ графік опускається на $m$ , отже, область значень $(c - m; \infty)$ .
Для $y = - f (x)$ графік відображається, мінімальне значення стає $- c$ (якщо $k = - 1$ ), тобто промінь $(- \infty; - c]$ .
Для $y = k \cdot f (x)$ при $k > 0$ область буде $(k c; \infty)$ , а при $k < 0$ — $(- \infty; k c]$ . Оскільки в умові не вказано знаки $n, m, k$ , розглянемо загальний випадок зміни меж.

Відповідь:

а) $(- \infty; - c]$ (відображення від осі $x$ ); б) $(c + n; \infty)$ ; в) $(c - m; \infty)$ ; г) залежить від знака $k$ : якщо $k > 0$ , то $(k c; \infty)$ , якщо $k < 0$ , то $(- \infty; k c]$ .

Завдання 475

Побудова графіків функцій за зразком

На малюнку 10.13 зображено графік функції $y = f (x)$ (парабола, що проходить через $(0; 3)$ , має вершину в першій чверті). Побудувати графіки: а) $y = - f (x)$ ; б) $y = 2 \cdot f (x)$ ; в) $y = f (x + 3)$ ; г) $y = f (x) - 3$ .

Розв’язання

Для а): Відображаємо кожен пункт початкового графіка відносно осі $x$ . Точка $(0; 3)$ стане $(0; - 3)$ . Графік буде розташований у третій та четвертій чвертях.
Для б): Координату $y$ кожної точки початкового графіка множимо на 2. Вершина, що була вище осі $x$ , стане ще вищою. Графік стає «вужчим».
Для в): Кожну точку $(x; y)$ перетворюємо в $(x - 3; y)$ . Весь графік зсувається на 3 клітинки вліво. Вершина зміщується з положення $x = 1$ у положення $x = - 2$ .
Для г): Кожну точку $(x; y)$ перетворюємо в $(x; y - 3)$ . Графік опускається на 3 клітинки вниз. Точка перетину з віссю $y$ зміщується з $3$ у $0$ .

Відповідь:

а) Графік симетричний початковому відносно осі $x$ , проходить через $(0; - 3)$ , розташований у III і IV чвертях. б) Графік розтягнутий відносно осі $x$ у 2 рази, вершина вища за початкову. в) Графік зсунуто на 3 одиниці вліво, вершина знаходиться при $x = - 2$ . г) Графік зсунуто на 3 одиниці вниз, точка перетину з віссю $y$ дорівнює $0$ .

Завдання 476

Побудова графіків функцій за зразком

На малюнку 10.14 зображено графік функції $y = f (x)$ (зображення — плавна крива, що проходить через $(0; 2)$ і росте). Побудувати в тій самій системі координат графіки функцій:
а) $y = - f (x)$ ;
б) $y = 0, 5 \cdot f (x)$ ;
в) $y = f (x - 2)$ ;
г) $y = f (x) + 3$ .

Розв’язання

Пункт а) $y = - f (x)$ : Візьміть будь-яку точку з початкового графіка, наприклад $(0; 2)$ . Її координати стають $(0; - 2)$ . Зобразіть симетричну криву відносно осі $O x$ (вона буде йти вниз).
Пункт б) $y = 0, 5 \cdot f (x)$ : Візьміть точку $(0; 2)$ . Її нова ордината буде $0, 5 \cdot 2 = 1$ . Точка стає $(0; 1)$ . Графік стане «нижчим», оскільки всі ординати зменшуються вдвічі.
Пункт в) $y = f (x - 2)$ : Це перенос у праву сторону на 2 одиниці. Точка $(0; 2)$ перейде в точку $(2; 2)$ . Весь графік суньте вправо, зберігаючи форму.
Пункт г) $y = f (x) + 3$ : Це перенос вгору на 3 одиниці. Точка $(0; 2)$ перейде в точку $(0; 5)$ . Весь графік підніміть, додаючи 3 до всіх ординат.

Відповідь:

а) Графік симетричний початковому відносно осі $O x$ (переходить у нижню півплощину).
б) Графік розтягнутий вздовж осі $O y$ вдвічі в меншу сторону (ординати зменшуються).
в) Графік перенесений паралельно вправо на 2 одиниці.
г) Графік перенесений паралельно вгору на 3 одиниці.