ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 101

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 477–484 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 477

Перетворення графіка кореня та рівняння

Потрібно перетворити графік функції $y = x$ на графік функції $y = - x$ . Також потрібно виконати побудову та перевірити, чи є об'єднання цих графіків графіком рівняння $y^{2} = x$ .

Розв’язання

Побудуємо графік функції $y = x$ . Він проходить через початок координат $(0; 0)$ та точку $(1; 1)$ . Це гілка параболи, розташована в I чверті.
Щоб отримати графік $y = - x$ , відобразимо кожну точку графіка першого функціоналу відносно осі $O x$ . Наприклад, точка $(1; 1)$ перейде у точку $(1; - 1)$ . Отримаємо гілку в IV чверті.
Об'єднання цих двох графіків складається з усіх точок $(x; y)$ , де $y^{2} = x$ , оскільки квадрат числа $x$ дає $x$ , а квадрат числа $- x$ теж дає $x$ .

Відповідь:

Графік $y = - x$ є симетричним відносно осі $O x$ до графіка $y = x$ . Так, об'єднання цих графіків утворює повний графік рівняння $y^{2} = x$ .

Завдання 478

Перетворення лінійної функції

Потрібно знайти перетворення, яке переводить графік прямої $y = 3 x - 4$ на графік прямої $y = 4 - 3 x$ .

Розв’язання

Почнемо з рівняння першої функції: $y = 3 x - 4$ .
Щоб отримати другу функцію, відобразимо графік відносно осі абсцис ( $O x$ ). Це означає заміну $y$ на $- y$ .
Отримуємо рівняння: $- y = 3 x - 4$ . Помножимо обидві частини на $- 1$ : $y = - 3 x + 4$ , що можна переписати як $y = 4 - 3 x$ .

Відповідь:

Графік функції $y = 4 - 3 x$ отримують відображенням графіка функції $y = 3 x - 4$ відносно осі $O x$ .

Завдання 479

Ідентифікація функцій на малюнку а

На мал. 10.15, а зображено три графіки (криві I, II, III). Потрібно визначити формули цих функцій, використовуючи вісь координат та характерні точки.

Розв’язання

Розглянемо графік I (відкрита вниз). Вершина в точці $(0; 1)$ . Проходить через $(1; 0)$ . Формула виду $y = - x^{2} + c$ . Підставимо $(0; 1) \Rightarrow c = 1$ . Перевіримо $(1; 0) : - 1^{2} + 1 = 0$ . Отже, $y = - x^{2} + 1$ .
Розглянемо графік II (відкрита вгору). Вершина в точці $(0; 3)$ . Проходить через $(1; 4)$ ? Ні, подивимось на малюнок: при $x = 1$ , $y$ трохи більше 3. При $x = 2$ , $y = 7$ (точка $(2; 7)$ ). Формула виду $y = x^{2} + c$ . Вершина $(0; 3) \Rightarrow y = x^{2} + 3$ . Перевіримо точку $(2; 7) : 2^{2} + 3 = 7$ . Збігається.
Розглянемо графік III (відкрита вгору, але інша). Вершина в точці $(0; - 1)$ . Проходить через $(1; 0)$ ? Ні, при $x = 1$ , $y = - 2$ ? Подивимось: при $x = 1$ , $y = - 2$ . При $x = 2$ , $y = - 3$ ? Ні, це не парабола. Це гілка кореня? Ні, це парабола. Вершина $(0; - 1)$ . Проходить через $(1; 0)$ ? Ні, на малюнку графік III проходить через $(1; 0)$ і $(2; 3)$ ? Ні, подивимось уважніше. Графік III: при $x = 0, y = - 1$ ; при $x = 1, y = 0$ (перетин з віссю); при $x = 2, y = 3$ ? Ні, це не парабола. Це $y = x^{2} - 1$ ? При $x = 1, y = 0$ . При $x = 2, y = 3$ . Так, графік III — це $y = x^{2} - 1$ . Графік II: при $x = 0, y = 3$ ; при $x = 1, y = 4$ ? Ні, на малюнку II проходить через $(0; 3)$ і $(1; 4)$ ? Ні, подивимось на сітку. При $x = 0, y = 3$ . При $x = 1, y = 4$ (це не парабола). Це $y = x^{2} + 3$ ? При $x = 1, y = 4$ . При $x = 2, y = 7$ . Так, це $y = x^{2} + 3$ . Графік I: при $x = 0, y = 1$ . При $x = 1, y = 0$ . Це $y = - x^{2} + 1$ .

Відповідь:

Графік I — функція $y = - x^{2} + 1$ ; графік II — функція $y = x^{2} + 3$ ; графік III — функція $y = x^{2} - 1$ .

Завдання 480

Ідентифікація функцій за графіком

Дано малюнок 10.15, б (правий). Потрібно визначити формули функцій, графіки яких позначені римськими цифрами I, II, III. На осі $y$ відкладено точки $(0; 1)$ та $(0; 4)$ .

Розв’язання

Графік I проходить через початок координат $(0; 0)$ і спадає. Це гілка параболи $y = - x$ . Оскільки при $x = 0$ маємо $y = 0$ , то формула: $y = - x$ .
Графік II проходить через точку $(0; 1)$ і спадає. Це гілка параболи, зміщена вгору на 1 одиницю. Формула: $y = 1 - x$ .
Графік III проходить через точку $(0; 4)$ і зростає. Це гілка параболи, зміщена вгору на 4 одиниці. Формула: $y = 4 + x$ .

Відповідь:

I — $y = - x$ ; II — $y = 1 - x$ ; III — $y = 4 + x$ .

Завдання 481

Побудова графіків лінійних та квадратичних функцій

Побудувати в одній системі координат графіки для наборів функцій: а) $y = 2 x$ , $y = 2 x + 1$ , $y = 2 x - 3$ ; б) $y = - x^{2}$ , $y = - x^{2} + 2$ , $y = - x^{2} - 1$ .

Розв’язання

а) Функція $y = 2 x$ проходить через $(0; 0)$ і $(1; 2)$ . Функція $y = 2 x + 1$ зміщена вгору на 1, проходить через $(0; 1)$ . Функція $y = 2 x - 3$ зміщена вниз на 3, проходить через $(0; - 3)$ .
б) Функція $y = - x^{2}$ має вершину в початку координат $(0; 0)$ і проходить через $(1; - 1)$ . Функція $y = - x^{2} + 2$ має вершину в точці $(0; 2)$ . Функція $y = - x^{2} - 1$ має вершину в точці $(0; - 1)$ .

Відповідь:

а) Прямі паралельні, зміщені уздовж осі $O y$ на $+ 1$ , $- 3$ відповідно. б) Параболи однакові за формою, вершини в точках $(0; 0)$ , $(0; 2)$ , $(0; - 1)$ .

Завдання 482

Побудова графіків функцій з коренем та квадратом

Побудувати в одній системі координат графіки для наборів функцій: а) $y = x$ , $y = x - 3$ , $y = x + 2$ ; б) $y = x^{2}$ , $y = x^{2} + 1$ , $y = x^{2} - 4$ .

Розв’язання

а) Функція $y = x$ проходить через $(0; 0)$ і $(1; 1)$ . Функція $y = x - 3$ має точку перетину з віссю $O y$ в $(0; - 3)$ . Функція $y = x + 2$ має точку перетину з віссю $O y$ в $(0; 2)$ .
б) Функція $y = x^{2}$ має вершину в $(0; 0)$ і проходить через $(1; 1)$ . Функція $y = x^{2} + 1$ має вершину в $(0; 1)$ . Функція $y = x^{2} - 4$ має вершину в $(0; - 4)$ .

Відповідь:

а) Графіки гілок кореня зміщені уздовж осі $O y$ на $- 3$ та $+ 2$ . б) Параболи зміщені уздовж осі $O y$ на $+ 1$ та $- 4$ .

Завдання 483

Перетворення графіка квадратичної функції

Дано графік функції $y = x^{2}$ . Потрібно знайти перетворення, щоб отримати графіки функцій: а) $y = (x + 3)^{2}$ ; б) $y = (x - 3)^{2}$ ; в) $y = - (x + 3)^{2}$ .

Розв’язання

Для функції $y = (x + 3)^{2}$ : графік $y = x^{2}$ зсувається на 3 одиниці ліворуч уздовж осі $O x$ . Вершина параболі переміщується з точки $(0; 0)$ в точку $(- 3; 0)$ .
Для функції $y = (x - 3)^{2}$ : графік $y = x^{2}$ зсувається на 3 одиниці праворуч уздовж осі $O x$ . Вершина параболі переміщується з точки $(0; 0)$ в точку $(3; 0)$ .
Для функції $y = - (x + 3)^{2}$ : спочатку графік $y = x^{2}$ зсувається на 3 одиниці ліворуч (вершина у $(- 3; 0)$ ), а потім весь отриманий графік відображається відносно осі $O x$ . Галузі параболі розходяться вниз.

Відповідь:

а) зсув на 3 одиниці ліворуч; б) зсув на 3 одиниці праворуч; в) зсув на 3 одиниці ліворуч та відображення відносно осі $O x$ .

Завдання 484

Перенесення графіка функції

Графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенесли на 3 одиниці ліворуч уздовж осі $x$ . Потрібно вибрати формулу отриманої функції з варіантів А, Б, В, Г, Д.

Розв’язання

Початкова функція має вигляд $f (x) = x^{2}$ .
Перенесення на 3 одиниці ліворуч означає заміну $x$ на $(x + 3)$ .
Отже, нова функція має вигляд $y = (x + 3)^{2}$ . Порівнюємо з варіантами: А — це перенесення вправо, Б і В не відповідають умові, Г — це відображення та зміщення, Д — саме шукана функція.

Відповідь:

Д $y = (x + 3)^{2}$ .