ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 75–81

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–406 · 54 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 75

§ 8. Функції Functions

Завдання 1

Обчислення значень функції за формулою

Функцію задано формулою $f (x) = x^{3} + 1$ . Знайти значення функції при $x = - 3$ , $x = 0$ та $x = 2$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 3)$ : підставляємо $- 3$ замість $x$ : $f (- 3) = (- 3)^{3} + 1 = - 27 + 1 = - 26$ .
Знайдемо $f (0)$ : підставляємо $0$ замість $x$ : $f (0) = 0^{3} + 1 = 0 + 1 = 1$ .
Знайдемо $f (2)$ : підставляємо $2$ замість $x$ : $f (2) = (2)^{3} + 1 = 2 \cdot 2 \cdot 2 + 1 = 22 + 1$ .

Відповідь:

$f (- 3) = - 26$ , $f (0) = 1$ , $f (2) = 22 + 1$ .

Завдання 2

Точки перетину графіка функції з осями координат

Функцію задано формулою $y = x^{2} - 3 x + 2$ . Знайти точки перетину графіка з віссю $y$ та віссю $x$ .

Розв’язання

Перетин з віссю $y$ : при $x = 0$ маємо $y = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 2 = 2$ . Точка перетину: $(0; 2)$ .
Перетин з віссю $x$ : при $y = 0$ маємо рівняння $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Знаходимо корені: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$ . Корені: $x_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$ , $x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$ . Точки перетину: $(1; 0)$ та $(2; 0)$ .

Відповідь:

а) точка $(0; 2)$ ; б) точки $(1; 0)$ і $(2; 0)$ .

Завдання 3

Знаходження області значень функції

Функцію задано формулою $y = x^{2} - 5$ . Знайти область значень цієї функції.

Розв’язання

Відомо, що для будь-якого дійсного $x$ виконується нерівність $x^{2} \geq 0$ .
Додамо до обох частин нерівності число $- 5$ : $x^{2} - 5 \geq - 5$ . Отже, мінімальне значення функції дорівнює $- 5$ .
Область значень — це всі можливі значення $y$ , які більші або рівні $- 5$ . Записується як проміжок $[- 5; + \infty)$ .

Відповідь:

$E (y) = [- 5; + \infty)$ .

Сторінка 76

Завдання 353

Провідміна слів

а) функція; б) аргумент; в) графік.

Розв’язання

Функція — це залежність між змінними.
Аргумент — це та змінна, значення якої ми обираємо (вхідні дані).
Графік — це візуальне зображення цієї залежності на координатній площині.

Відповідь:

а) функція — правило відповідності; б) аргумент — незалежна змінна; в) графік — сукупність точок $(x; y)$ , що задовольняють рівняння.

Завдання 354

Формули функцій

Задай формулою функцію, яка виражає відповідність між числами та: а) їхніми кубами; б) протилежними до них числами; в) оберненими до них числами; г) їхніми модулями.

Розв’язання

Для кубів функція має вигляд $y = x^{3}$ .
Для протилежних чисел функція має вигляд $y = - x$ .
Для обернених чисел функція має вигляд $y = \frac{1}{x}$ .
Для модулів функція має вигляд $y = ∣ x ∣$ .

Відповідь:

а) $y = x^{3}$ ; б) $y = - x$ ; в) $y = \frac{1}{x}$ ; г) $y = ∣ x ∣$ .

Завдання 355

Види графіків функцій

Яким є графік функції, заданої формулою: а) $y = 3 x + 1$ ; б) $y = x^{2}$ ; в) $y = 3$ ; г) $y = \frac{3}{x}$ ; ґ) $y = \frac{x}{3}$ ; д) $y = x$ .

Розв’язання

$y = 3 x + 1$ — лінійна функція, графік — пряма.
$y = x^{2}$ — квадратична функція, графік — парабола.
$y = 3$ — функція константи, графік — горизонтальна пряма.
$y = \frac{3}{x}$ — обернена пропорційність, графік — гіпербола.
$y = \frac{x}{3}$ — лінійна функція (пряма), що проходить через початок координат.
$y = x$ — кореневий вираз, графік — півпараболи (права гілка).

Відповідь:

а) пряма; б) парабола; в) горизонтальна пряма; г) гіпербола; ґ) пряма; д) півпараболи.

Завдання 356

Порівняння графіків функції та рівняння

а) Чи є графік функції $y = \frac{2}{3} x - 5$ також графіком рівняння $2 x - 3 y = 15$ ? б) Чи є графік функції $y = x$ також графіком рівняння $y^{2} = x$ ? Чому?

Розв’язання

а) Підставимо $y = \frac{2}{3} x - 5$ у рівняння $2 x - 3 y = 15$ . Отримаємо $2 x - 3 (\frac{2}{3} x - 5) = 2 x - (2 x - 15) = 15$ . Оскільки $15 = 15$ , це тотожність, тому графіки збігаються.
б) Перевіримо рівняння $y^{2} = x$ для функції $y = x$ . Піднесемо обидві частини функції до квадрату: $(x)^{2} = x$ , що дає $x = x$ . Однак, рівняння $y^{2} = x$ має два розв'язки щодо $y$ : $y = x$ та $y = - x$ . Графік функції містить лише верхню гілку ( $y \geq 0$ ), а графік рівняння — обидві гілки.

Відповідь:

а) Так, це правильно; б) Ні, не є, оскільки рівняння $y^{2} = x$ має дві гілки графіка ( $y = \pm x$ ), тоді як функція $y = x$ визначена лише для $y \geq 0$ .

Завдання 357

Перевірка проходження графіка через початок координат

Графік якої з функцій не проходить через початок координат?
А) $y = 2 (x - 3)$
Б) $y = 2 x^{2}$
В) $y = x (x - 2)$
Г) $y = x^{3} + x$

Розв’язання

Перевіримо функцію А: при $x = 0$ маємо $y = 2 (0 - 3) = - 6 \neq = 0$ . Графік не проходить через початок координат.
Перевіримо інші для порівняння: Б) $y = 2 \cdot 0^{2} = 0$ ; В) $y = 0 (0 - 2) = 0$ ; Г) $y = 0^{3} + 0 = 0$ .

Відповідь:

Завдання 358

Знаходження області визначення функцій

Знайди область визначення функції для випадків: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = 4 - x^{2}$ ; в) $y = - 2, 5$ ; г) $y = \frac{5}{x ( x - 3 )}$ ; ґ) $y = 2 x - 4$ ; д) $y = \frac{1}{x} 5 - 2 x$ .

Розв’язання

а) Це многочлен, визначений на всіх дійсних числах: $D = R$ .
б) Також многочлен: $D = R$ .
в) Це стала функція (многочлен): $D = R$ .
г) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю: $x (x - 3) \neq = 0$ , отже $x \neq = 0$ і $x \neq = 3$ . $D = (- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .
ґ) Під коренем має бути невід'ємне число: $2 x - 4 \geq 0 \Rightarrow 2 x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$ . $D = [2; + \infty)$ .
д) Дві умови: знаменник $\neq = 0$ і підкореневий вираз $\geq 0$ . $5 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, 5$ . Також $x \neq = 0$ . $D = (- \infty; 0) \cup (0; 2, 5]$ .

Відповідь:

а) $R$ ; б) $R$ ; в) $R$ ; г) $x \neq = 0, x \neq = 3$ ; ґ) $[2; + \infty)$ ; д) $(- \infty; 0) \cup (0; 2, 5]$ .

Завдання 359

Область визначення функцій

Яка з наведених функцій визначена на множині всіх дійсних чисел (на всій осі $x$ )? Варіанти: А) $y = x - 3$ , Б) $y = \frac{3}{x - 3}$ , В) $y = \frac{3}{x ^{2} + 1}$ , Г) $y = \frac{3}{x - 1}$ .

Розв’язання

Функція А має корінь $x - 3$ . Він існує лише при $x \geq 3$ , тому область визначення не є всім $R$ .
Функція Б має знаменник $x - 3$ . Дріб не визначений при $x = 3$ , отже, це не вся множина дійсних чисел.
Функція Г має корінь у знаменнику $x - 1$ . Він існує при $x \geq 1$ , а також знаменник не може бути нулем, тому область визначення обмежена.
Функція В має знаменник $x^{2} + 1$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний ( $x^{2} \geq 0$ ), то сума $x^{2} + 1$ завжди більша за 1 і ніколи не дорівнює нулю. Кореня в виразі немає.

Відповідь:

Завдання 360

Таблиця та графік функції

Функцію задано формулою $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на області визначення $D = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ . Потрібно заповнити таблицю значень та описати графік.

Розв’язання

Обчислюємо значення функції для кожного $x$ :
- При $x = - 4$ : $y = \frac{1}{2} (- 4)^{2} = 8$ ; пара $(- 4; 8)$ .
- При $x = - 3$ : $y = \frac{1}{2} (- 3)^{2} = 4.5$ ; пара $(- 3; 4.5)$ .
- При $x = - 2$ : $y = \frac{1}{2} (- 2)^{2} = 2$ ; пара $(- 2; 2)$ .
- При $x = - 1$ : $y = \frac{1}{2} (- 1)^{2} = 0.5$ ; пара $(- 1; 0.5)$ .
- При $x = 0$ : $y = \frac{1}{2} (0)^{2} = 0$ ; пара $(0; 0)$ .
- При $x = 1$ : $y = \frac{1}{2} (1)^{2} = 0.5$ ; пара $(1; 0.5)$ .
- При $x = 2$ : $y = \frac{1}{2} (2)^{2} = 2$ ; пара $(2; 2)$ .
- При $x = 3$ : $y = \frac{1}{2} (3)^{2} = 4.5$ ; пара $(3; 4.5)$ .
- При $x = 4$ : $y = \frac{1}{2} (4)^{2} = 8$ ; пара $(4; 8)$ .
Графік складається з окремих точок (не лінії), симетричних відносно осі $O y$ , що лежать на параболі $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Відповідь:

Таблиця значень: $x y - 4 8 - 3 4.5 - 2 2 - 1 0.5 00 1 0.5 22 3 4.5 48$ . Графік — набір із 9 точок, розташованих на параболі.

Завдання 361

Побудова графіка та область значень

Побудувати графік функції $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на проміжку $[- 4; 4]$ і знайти її область значень.

Розв’язання

Вершиною параболи є точка $(0; 0)$ , де $y$ приймає найменше можливе значення (оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $\frac{1}{2} x^{2} \geq 0$ ). Отже, мінімальне значення функції дорівнює $0$ .
На кінцях проміжку $[- 4; 4]$ функція приймає найбільше значення: при $x = 4$ (або $x = - 4$ ) маємо $y = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = 8$ .
Графік — це півпараболи, що йде від точки $(- 4; 8)$ через початок координат до точки $(4; 8)$ .

Відповідь:

Область значень функції: $[0; 8]$ .

Завдання 362

Область значень квадратичної функції та перевірка точки

Функцію задано формулою $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на множині дійсних чисел $R$ . Потрібно знайти її область значень і перевірити, чи належить графіку точка $A (- 100; 5000)$ .

Розв’язання

Знайдемо область значень. Оскільки множина визначення — це всі дійсні числа, а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $\frac{1}{2}$ ), мінімальне значення функції дорівнює нулю (при $x = 0$ ). Значення зростають у бік плюс нескінченності. Отже, область значень $E = [0; + \infty)$ .
Перевіримо точку $A (- 100; 5000)$ . Підставимо абсцису точки $x = - 100$ у формулу функції: $y = \frac{1}{2} \cdot (- 100)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 10000 = 5000$ .
Порівняємо отримане значення з ординатою точки. Оскільки при $x = - 100$ функція набуває значення $y = 5000$ , що співпадає з координатою точки $A$ , точка належить графіку.

Відповідь:

Область значень $E = [0; + \infty)$ ; точка $A (- 100; 5000)$ належить графіку функції.

Завдання 363

Визначення функції за таблицею та знаходження формули

Функцію задано таблицею, де при $x = 1, 2, 3, \dots$ значення $y$ дорівнюють відповідно $5, 10, 15, \dots$ . Потрібно записати формулу функції, визначити її область визначення та область значень.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт пропорційності $k$ . Для першої пари: $k = \frac{y}{x} = \frac{5}{1} = 5$ . Перевіримо для іншої пари, наприклад $(2; 10)$ : $\frac{10}{2} = 5$ . Отже, формула функції має вигляд $y = 5 x$ .
Визначимо область визначення. З умови задачі видно, що $x$ приймає натуральні значення (або цілі числа від 1 до 8, якщо розглядати лише дані таблиці). Оскільки в умові про продовження функції не йдеться явно, але зазвичай такі задачі стосуються натурального ряду або заданого проміжку. Враховуючи контекст підручника (множина $N$ ), область визначення $D = {1; 2; 3; \dots}$ .
Область значень буде відповідною множиною натуральних чисел, помножених на 5: $E = {5; 10; 15; \dots}$ . Якщо ж розглядати функцію як продовження за формулою на всі дійсні числа (що часто буває в таких задачах), то $D = R$ , а $E = R$ . Але оскільки дані дискретні, найточніше сказати: $y = 5 x$ , де $x \in N$ .

Відповідь:

Формула функції: $y = 5 x$ ; область визначення: $D = {1; 2; 3; \dots}$ (множина натуральних чисел); область значень: $E = {5; 10; 15; \dots}$ .

Сторінка 77

Завдання 364

Обчислення функції та її кратних значень

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2} + 10$ . Знайти: $f (2)$ , $3 f (2)$ , $2 f (3)$ , $0, 5 f (10)$ , $f (2)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (2)$ : підставляємо $x = 2$ у формулу: $2^{2} + 10 = 4 + 10 = 14$ .
Знайдемо $3 f (2)$ : множимо результат на 3: $3 \cdot 14 = 42$ .
Знайдемо $f (3)$ : підставляємо $x = 3$ : $3^{2} + 10 = 9 + 10 = 19$ .
Знайдемо $2 f (3)$ : множимо результат на 2: $2 \cdot 19 = 38$ .
Знайдемо $f (10)$ : підставляємо $x = 10$ : $1 0^{2} + 10 = 100 + 10 = 110$ .
Знайдемо $0, 5 f (10)$ : множимо результат на $0, 5$ (або ділимо на 2): $0, 5 \cdot 110 = 55$ .
Знайдемо $f (2)$ : підставляємо $x = 2$ : $(2)^{2} + 10 = 2 + 10 = 12$ .

Відповідь:

$f (2) = 14$ , $3 f (2) = 42$ , $2 f (3) = 38$ , $0, 5 f (10) = 55$ , $f (2) = 12$ .

Завдання 365

Обчислення функції та її кратних значень (англійською)

The function is given by the formula $f (x) = x^{3} - 5$ . Find: $f (- 3)$ , $- f (- 2)$ , $3 f (- 1)$ , $- 5 f (0)$ , $f (3)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 3)$ : $(- 3)^{3} - 5 = - 27 - 5 = - 32$ .
Знайдемо $- f (- 2)$ : спочатку $f (- 2) = (- 2)^{3} - 5 = - 8 - 5 = - 13$ , тоді $- f (- 2) = - (- 13) = 13$ .
Знайдемо $3 f (- 1)$ : спочатку $f (- 1) = (- 1)^{3} - 5 = - 1 - 5 = - 6$ , тоді $3 \cdot (- 6) = - 18$ .
Знайдемо $- 5 f (0)$ : спочатку $f (0) = 0^{3} - 5 = - 5$ , тоді $- 5 \cdot (- 5) = 25$ .
Знайдемо $f (3)$ : $(3)^{3} - 5 = 33 - 5$ .

Відповідь:

$f (- 3) = - 32$ , $- f (- 2) = 13$ , $3 f (- 1) = - 18$ , $- 5 f (0) = 25$ , $f (3) = 33 - 5$ .

Завдання 366

Обчислення суми та різниці значень функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2} - x$ . Обчисли: а) $f (- 2) + f (- 1)$ ; б) $f (0) + f (1)$ ; в) $f (2) - f (30)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 2)$ : $(- 2)^{2} - (- 2) = 4 + 2 = 6$ .
Знайдемо $f (- 1)$ : $(- 1)^{2} - (- 1) = 1 + 1 = 2$ .
Знайдемо $f (0)$ : $0^{2} - 0 = 0$ .
Знайдемо $f (1)$ : $1^{2} - 1 = 0$ .
Знайдемо $f (2)$ : $2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$ .
Знайдемо $f (30)$ : $3 0^{2} - 30 = 900 - 30 = 870$ .
Обчислимо а) $f (- 2) + f (- 1) = 6 + 2 = 8$ .
Обчислимо б) $f (0) + f (1) = 0 + 0 = 0$ .
Обчислимо в) $f (2) - f (30) = 2 - 870 = - 868$ .

Відповідь:

а) 8; б) 0; в) -868.

Завдання 367

Обчислення значень функції за формулою

Дано функцію $f (x) = x^{2} - x + 1$ . Потрібно обчислити вираз $f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ (пункт а) та $f (10) - f (- 9) + f (8) - f (- 7)$ (пункт б).

Розв’язання

Обчислюємо значення функції для кожного аргументу у пункті а):
$f (0) = 0^{2} - 0 + 1 = 1$ ;
$f (1) = 1^{2} - 1 + 1 = 1$ ;
$f (2) = 2^{2} - 2 + 1 = 3$ ;
$f (3) = 3^{2} - 3 + 1 = 7$ .
Сума: $1 + 1 + 3 + 7 = 12$ .
Обчислюємо значення функції для кожного аргументу у пункті б):
$f (10) = 1 0^{2} - 10 + 1 = 91$ ;
$f (- 9) = (- 9)^{2} - (- 9) + 1 = 81 + 9 + 1 = 91$ ;
$f (8) = 8^{2} - 8 + 1 = 64 - 8 + 1 = 57$ ;
$f (- 7) = (- 7)^{2} - (- 7) + 1 = 49 + 7 + 1 = 57$ .
Виконуємо обчислення виразу: $91 - 91 + 57 - 57 = 0$ .

Відповідь:

а) 12; б) 0.

Завдання 368

Обчислення значень кусково-заданої функції

Дана функція $f (x) = {10, 4 x^{2} + 3 x, якщо x < - 2 якщо x \geq - 2$ . Потрібно обчислити вираз $f (- 4) - f (2)$ .

Розв’язання

Знаходимо $f (- 4)$ . Оскільки $- 4 < - 2$ , використовуємо першу формулу: $f (- 4) = 10$ .
Знаходимо $f (2)$ . Оскільки $2 \geq - 2$ , використовуємо другу формулу: $f (2) = 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 = 4 \cdot 4 + 6 = 16 + 6 = 22$ .
Обчислюємо різницю: $f (- 4) - f (2) = 10 - 22 = - 12$ .

Відповідь:

-12.

Завдання 369

Аналіз графіка функції за малюнком

Дано графік функції $y = f (x)$ на проміжку $[- 5; 5]$ . Потрібно знайти область визначення, область значень, конкретні значення функції ( $f (- 5), f (0)$ тощо), точки перетину з осями та екстремальні точки.

Розв’язання

Область визначення ( $D (f)$ ): Графік розташований від $x = - 5$ до $x = 5$ . Отже, $D (f) = [- 5; 5]$ .
Область значень ( $E (f)$ ): Графік досягає мінімуму приблизно при $y = - 1$ (точніше, між -1 і -2, але за сіткою це $- 1$ або трохи нижче, давайте візьмемо точніше: точка мінімуму знаходиться на перетині ліній сітки. По горизонталі відліки по 1 одиниці. Мінімальне значення $y \approx - 1$ . Максимальне значення $y = 5$ (вершина параболоподібної частини). Отже, $E (f) = [- 1; 5]$ .
Знаходимо конкретні значення:
$f (- 5)$ — точка на лівому краю графіка, $y \approx 2$ (точніше, це перетин з сіткою). Дивлячись на малюнок, при $x = - 5$ , $y = 2$ .
$f (- 4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (0) = 4.5$ (точка перетину з віссю $y$ , графік проходить між 4 і 5, ближче до середини? Ні, дивлячись на сітку: при $x = 0$ , $y$ знаходиться трохи вище 4. Давайте уважніше: вершина параболі при $x = 1, y = 5$ . Ліва гілка гіперболи або інша функція. При $x = - 2, y = 0$ . При $x = - 3, y \approx - 1$ . При $x = - 4, y = 0$ . При $x = - 5, y = 2$ .
Перевіримо точки:
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) = 4.5$ (або $4, 6$ ? На малюнку точка на осі $y$ знаходиться між 4 і 5. Припустимо, це $4, 5$ або трохи більше. Але для школи часто беруть цілі числа або півцілі. Давайте візьмемо точніше: графік проходить через $(0; 4, 5)$ ? Ні, подивимось на сітку. Вертикальна лінія $x = 0$ перетинає графік на рівні трохи вище 4. Можливо $4, 6$ . Але без точної формулі важко сказати точно. Однак, якщо це задача з підручника, часто точки цілі. Перевіримо: чи проходить через $(0; 5)$ ? Ні. Через $(0; 4)$ ? Ні. Точка між 4 і 5.
$f (4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (5) \approx - 3$ (точка на правому краю, трохи нижче -2).
Уточнення: Оскільки це графік складної функції (комбінація), точні значення можна визначити лише візуально.
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) \approx 4, 6$ (або просто "між 4 і 5");
$f (4) = 0$ ;
$f (5) \approx - 3$ .
Альтернатива: Можливо, це поліном чи інша функція. Але без формули ми беремо з графіка.
Давайте візьмемо значення з сітки:
При $x = - 5$ , $y = 2$ .
При $x = - 4$ , $y = 0$ .
При $x = 0$ , $y \approx 4, 6$ (або $4, 5$ ).
При $x = 4$ , $y = 0$ .
При $x = 5$ , $y \approx - 3$ .
Точки перетину з осями:
З віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько до цього).
З віссю $x$ : $(- 4; 0)$ та $(4; 0)$ .
Екстремуми:
Найбільше значення досягається при $x = 1$ ( $y = 5$ ).
Найменше значення досягається при $x = 5$ (або в кінці проміжку, де графік йде вниз). На малюнку при $x = 5$ , $y \approx - 3$ . Отже, мінімум на кінці проміжку.

Відповідь:

а) Область визначення: $[- 5; 5]$ . Область значень: $[- 3; 5]$ (припускаючи, що мінімум досягається в точці $x = 5$ ).
б) $f (- 5) = 2$ , $f (- 4) = 0$ , $f (0) \approx 4, 6$ , $f (4) = 0$ , $f (5) \approx - 3$ . (Точні значення залежать від масштабу сітки, але зазвичай беруть цілі або півцілі: можливо $f (0) = 4, 5$ ).
в) $f (x) = 4$ при $x \approx 0, 2$ та $x \approx - 3, 8$ . $f (x) = 0$ при $x = - 4$ та $x = 4$ .
г) Перетин з віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько); перетин з віссю $x$ : $(- 4; 0), (4; 0)$ .
ґ) Найбільше значення при $x = 1$ ( $y = 5$ ). Найменше значення при $x = 5$ ( $y \approx - 3$ ).

(Примітка: Без точної формули функції, що зображена на малюнку, відновити всі координати точно неможливо. Відповідь базується на візуальному аналізі сітки).

Завдання 370

Графічна робота з GeoGebra

Один учень малює графік функції в GeoGebra, інший перевіряє, чи це графік функції (кожному $x$ відповідає лише одне $y$ ), і знаходить область визначення та значень. Потім ролі міняються.

Розв’язання

Відкрий сайт https://www.geogebra.org/graphing.
У полі вводу введи рівняння функції (наприклад, $y = 2 x - 5$ ) і натисни Enter.
Перевір, чи є графіком функції: спробуй провести вертикальну лінію в будь-якій точці — вона має перетинати графік лише в одній точці.
Визнач межі проміжків на осях координат для області визначення та значень.

Відповідь:

Область визначення залежить від вибраної функції (зазвичай це множина всіх дійсних чисел або її підмножина), область значень — також залежить від виду графіка.

Завдання 371

Знайти область визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = \frac{3}{x - 2}$ ; в) $y = x + 5$ ; г) $y = \frac{1}{( x - 3 ) ( x - 4 )}$ ; ґ) $y = x + 1$ ; д) $y = \frac{10}{x ^{2} + 1}$ .

Розв’язання

а) Лінійна функція визначена для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
б) Знаменник $x - 2 \neq = 0$ , отже $x \neq = 2$ . Відповідь: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ .
в) Підкорінь $x + 5 \geq 0$ , тобто $x \geq - 5$ . Відповідь: $[- 5; + \infty)$ .
г) Знаменник $(x - 3) (x - 4) \neq = 0$ , отже $x \neq = 3$ і $x \neq = 4$ . Відповідь: $(- \infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)$ .
ґ) Підкорінь $x + 1 \geq 0$ , тобто $x \geq - 1$ . Відповідь: $[- 1; + \infty)$ .
д) Знаменник $x^{2} + 1$ завжди додатний для будь-якого дійсного $x$ , тому не може бути нулем. Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ ; в) $[- 5; + \infty)$ ; г) $(- \infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)$ ; ґ) $[- 1; + \infty)$ ; д) $(- \infty; + \infty)$ .

Завдання 372

Знайти область визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 5 x - 1$ ; б) $y = \frac{3}{( x - 4 ) ( x + 1 )}$ ; в) $y = 4 - x$ ; г) $y = \frac{2 x}{5 - x}$ ; ґ) $y = x^{2} + 1$ ; д) $y = \frac{x - 1}{1 + x}$ .

Розв’язання

а) Лінійна функція визначена для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
б) Знаменник $(x - 4) (x + 1) \neq = 0$ , отже $x \neq = 4$ і $x \neq = - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4) \cup (4; + \infty)$ .
в) Підкорінь $4 - x \geq 0$ , тобто $x \leq 4$ . Відповідь: $(- \infty; 4]$ .
г) Знаменник $5 - x \neq = 0$ , отже $x \neq = 5$ . Відповідь: $(- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ .
ґ) Підкорінь $x^{2} + 1$ завжди додатний, тому умови немає. Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
д) Знаменник $1 + x \neq = 0$ , отже $x \neq = - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 4]$ ; г) $(- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

Сторінка 78

Завдання 373

Побудова графіків лінійних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = 0, 5 x - 1$ ; в) $y = - 3 x$ ; г) $y = 7 - 2 x$ ; д) $y = 5$ ; е) $y = 3 - x$ .

Розв’язання

Для функції а) $y = 3 x - 2$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 2)$ , з віссю $O x$ — $(\frac{2}{3}; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції б) $y = 0, 5 x - 1$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 1)$ , з віссю $O x$ — $(2; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції в) $y = - 3 x$ : графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Знайди ще одну точку, наприклад, при $x = 1$ отримаємо $(1; - 3)$ і з'єднай їх.
Для функції г) $y = 7 - 2 x$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 7)$ , з віссю $O x$ — $(3, 5; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції д) $y = 5$ : це горизонтальна пряма, що проходить через точку $(0; 5)$ паралельно осі $O x$ .
Для функції е) $y = 3 - x$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 3)$ , з віссю $O x$ — $(3; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.

Відповідь:

Графіки побудовані як прямі лінії для функцій а), б), в), г), е) та горизонтальна пряма для д).

Завдання 374

Побудова графіків функцій (лінійних, сталої)

Побудувати графіки функцій: а) $f (x) = 2 - 3 x$ ; б) $f (x) = - 1$ ; в) $f (x) = 0, 5 x$ .

Розв’язання

Для а) $f (x) = 2 - 3 x$ : це лінійна функція. Точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 2)$ , з віссю $O x$ — $(\frac{2}{3}; 0)$ . З'єднай їх прямою.
Для б) $f (x) = - 1$ : це стала функція. Графік — пряма, що проходить через всі точки виду $(x; - 1)$ (наприклад, $(0; - 1)$ і $(1; - 1)$ ).
Для в) $f (x) = 0, 5 x$ : графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Ще одна точка: при $x = 2$ маємо $y = 1$ , тобто точка $(2; 1)$ . З'єднай їх.

Відповідь:

Графіки побудовані: а) пряма, що спадає; б) горизонтальна пряма на рівні $y = - 1$ ; в) пряма, що проходить через початок координат і піднімається.

Завдання 375

Перевірка належності точки графіку функції

Дано функцію $y = 25 - x^{2}$ . Чи належить її графіку точка $A (3; 4)$ ? Чи належить точка $B (- 4; 3)$ ?

Розв’язання

Перевірка точки $A (3; 4)$ : підставимо $x = 3$ у формулу функції. Отримуємо $y = 25 - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ . Оскільки отримане значення $y = 4$ збігається з ординатою точки $A$ , то точка належить графіку.
Перевірка точки $B (- 4; 3)$ : підставимо $x = - 4$ у формулу функції. Отримуємо $y = 25 - (- 4)^{2} = 25 - 16 = 9 = 3$ . Оскільки отримане значення $y = 3$ збігається з ординатою точки $B$ , то точка належить графіку.

Відповідь:

Точка $A (3; 4)$ належить графіку функції, точка $B (- 4; 3)$ також належить графіку функції.

Завдання 376

Перевірка точок на графіку

Чи проходить графік функції $y = x (x - 3)$ через точки $A (2; - 2)$ та $B (- 1; 4)$ ?

Розв’язання

Перевіримо точку $A (2; - 2)$ . Підставимо $x = 2$ у формулу: $y = 2 \cdot (2 - 3) = 2 \cdot (- 1) = - 2$ . Оскільки отримане значення дорівнює ординаті точки $A$ , точка належить графіку.
Перевіримо точку $B (- 1; 4)$ . Підставимо $x = - 1$ у формулу: $y = (- 1) \cdot (- 1 - 3) = (- 1) \cdot (- 4) = 4$ . Оскільки отримане значення дорівнює ординаті точки $B$ , точка належить графіку.

Відповідь:

Графік проходить через обидві точки: $A (2; - 2)$ та $B (- 1; 4)$ .

Завдання 377

Визначення точки на графіку

Яка з точок $A (- 2; - 6)$ , $B (1, 5; 8)$ , $C (- 3; 4)$ , $D (- 2; - 6)$ належить графіку функції: а) $y = - 10 x - 26$ ; б) $y = \frac{12}{x}$ ; в) $y = x^{2} + 7$ ?

Розв’язання

Для функції а) $y = - 10 x - 26$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $- 10 \cdot (- 2) - 26 = 20 - 26 = - 6$ . Збігається.
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $- 10 \cdot 1, 5 - 26 = - 15 - 26 = - 41 \neq = 8$ . Не збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $- 10 \cdot (- 3) - 26 = 30 - 26 = 4 \neq = 4$ (помилка в умові, точка C має бути перевірена як $y = 4$ , отримано $4$ , значить збігається). Перевіримо ще раз: $- 10 (- 3) - 26 = 30 - 26 = 4$ . Так, збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : дублікат точки A, також належить.
Увага: У умові двічі вказано точку $D (- 2; - 6)$ . Якщо це опечатка і мається на увазі інша точка, перевіряти не можна. Припускаємо, що треба знайти всі підходящі з переліку.
Відповідь для а): Точки $A$ та $C$ (та $D$ , якщо вона така сама).
Для функції б) $y = \frac{12}{x}$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $\frac{12}{- 2} = - 6$ . Збігається.
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $\frac{12}{1 , 5} = 8$ . Збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $\frac{12}{- 3} = - 4 \neq = 4$ . Не збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : дублікат, збігається.
Відповідь для б): Точки $A$ , $B$ та $D$ .
Для функції в) $y = x^{2} + 7$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $(- 2)^{2} + 7 = 4 + 7 = 11 \approx 3, 3 \neq = - 6$ . Не збігається (крім того, корінь завжди невід'ємний).
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $(1, 5)^{2} + 7 = 2, 25 + 7 = 9, 25 \approx 3, 04 \neq = 8$ . Не збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $(- 3)^{2} + 7 = 9 + 7 = 16 = 4$ . Збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : не збігається.
Відповідь для в): Тільки точка $C$ .

Відповідь:

а) точки $A (- 2; - 6)$ та $C (- 3; 4)$ (і дублікат $D$ ); б) точки $A (- 2; - 6)$ , $B (1, 5; 8)$ (і дублікат $D$ ); в) точка $C (- 3; 4)$ .

Завдання 378

Точки перетину з осями координат

У яких точках перетинає осі координат графік функції: а) $y = 2, 5 x$ ; б) $y = 3 - 2 x$ ; в) $y = 2 (x - 1)$ ?

Розв’язання

Функція а) $y = 2, 5 x$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $2, 5 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
Функція проходить через початок координат.
Функція б) $y = 3 - 2 x$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 3 - 0 = 3$ . Точка $(0; 3)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = 3 - 2 x \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1, 5$ . Точка $(1, 5; 0)$ .
Функція в) $y = 2 (x - 1) = 2 x - 2$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 2 (0 - 1) = - 2$ . Точка $(0; - 2)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = 2 (x - 1) \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ . Точка $(1; 0)$ .

Відповідь:

а) точка $(0; 0)$ ; б) точки $(0; 3)$ та $(1, 5; 0)$ ; в) точки $(0; - 2)$ та $(1; 0)$ .

Завдання 379

Перетин графіків з осями та перевірка точок

Дано функції: а) $y = x - 3$ ; б) $y = (x - 1) (x - 2)$ ; в) $y = x^{2} - 6 x + 9$ . Потрібно знайти точки перетину з осями координат для кожної функції.

Розв’язання

Функція а) $y = x - 3$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = - 3$ , точка $(0; - 3)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ , точка $(3; 0)$ .
Функція б) $y = (x - 1) (x - 2)$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = (- 1) \cdot (- 2) = 2$ , точка $(0; 2)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 2$ , точки $(1; 0)$ і $(2; 0)$ .
Функція в) $y = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 9$ , точка $(0; 9)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$ , точка $(3; 0)$ .

Відповідь:

а) $(0; - 3)$ , $(3; 0)$ ; б) $(0; 2)$ , $(1; 0)$ , $(2; 0)$ ; в) $(0; 9)$ , $(3; 0)$ .

Завдання 380

Перерахунок температур та побудова графіків

Дано формули перерахунку температури: $t_{F} = \frac{9}{5} (t_{C} + 32)$ , $t_{K} = t_{C} + 273$ . Потрібно знайти значення температури за Фаренгейтом і Кельвіном для довільних 10 значень за Цельсієм, занести дані до таблиці та описати побудову графіків.

Розв’язання

Обираємо значення $t_{C}$ : $- 20, - 10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70$ .
Обчислюємо для кожного $t_{C}$ значення $t_{F} = \frac{9}{5} (t_{C} + 32)$ та $t_{K} = t_{C} + 273$ . Наприклад, для $t_{C} = 0$ : $t_{F} = \frac{9}{5} (32) = 57, 6$ , $t_{K} = 273$ .
Заповнюємо таблицю (частково): при $t_{C} = - 10 \Rightarrow t_{F} = 1 4^{\circ} F, t_{K} = 263 K$ ; при $t_{C} = 20 \Rightarrow t_{F} = 6 8^{\circ} F, t_{K} = 293 K$ .

Відповідь:

Таблиця містить пари значень $(t_{C}; t_{F})$ та $(t_{C}; t_{K})$ . Графіки обох залежностей є прямими лініями, що зростають. Для побудови в Desmos вводимо рівняння $y = 1, 8 (x + 32)$ та $y = x + 273$ , де $x$ — це $t_{C}$ .

Завдання 381

Перевірка властивості парності функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2}$ . Потрібно перевірити, чи виконується рівність $f (- a) = f (a)$ для кожного числа $a$ .

Розв’язання

Знайдемо значення функції при аргументі $- a$ : $f (- a) = (- a)^{2}$ .
За правилом степеня, квадрат числа завжди додатний, тому $(- a)^{2} = a^{2}$ .
Знайдемо значення функції при аргументі $a$ : $f (a) = a^{2}$ .
Порівнюємо отримані вирази: $a^{2} = a^{2}$ , отже, рівність виконується.

Відповідь:

Так, рівність $f (- a) = f (a)$ виконується для будь-якого числа $a$ .

Завдання 382

Властивість кубічної функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{3}$ . Чи для кожного значення її аргументу $x$ правильна рівність $f (- x) = - f (x)$ ?

Розв’язання

Знайдемо значення функції для аргументу $- x$ : $f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3}$ .
Знайдемо від'ємне значення функції для аргументу $x$ : $- f (x) = - (x^{3}) = - x^{3}$ .
Порівняємо отримані вирази: оскільки $- x^{3} = - x^{3}$ , то рівність виконується для будь-якого $x$ .

Відповідь:

Так, рівність $f (- x) = - f (x)$ правильна.

Завдання 383

Заповнення таблиці функції

Функцію задано формулою $y = \frac{6 x}{1 + x}$ на множині натуральних чисел першого десятка ( $x \in {1, 2, ..., 9}$ ). Потрібно записати значення функції у вигляді таблиці.

Розв’язання

Обчислимо значення $y$ для кожного $x$ :
- При $x = 1$ : $y = \frac{6 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
- При $x = 2$ : $y = \frac{6 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$ .
- При $x = 3$ : $y = \frac{6 \cdot 3}{1 + 3} = \frac{18}{4} = 4, 5$ .
- При $x = 4$ : $y = \frac{6 \cdot 4}{1 + 4} = \frac{24}{5} = 4, 8$ .
- При $x = 5$ : $y = \frac{6 \cdot 5}{1 + 5} = \frac{30}{6} = 5$ .
- При $x = 6$ : $y = \frac{6 \cdot 6}{1 + 6} = \frac{36}{7} \approx 5, 14$ .
- При $x = 7$ : $y = \frac{6 \cdot 7}{1 + 7} = \frac{42}{8} = 5, 25$ .
- При $x = 8$ : $y = \frac{6 \cdot 8}{1 + 8} = \frac{48}{9} \approx 5, 33$ .
- При $x = 9$ : $y = \frac{6 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{54}{10} = 5, 4$ .
Запишемо отримані пари $(x; y)$ у таблицю.

Відповідь:

Таблиця значень функції:
$x$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
$y$ : 3, 4, 4{,}5, 4{,}8, 5, 5{,}14..., 5{,}25, 5{,}33..., 5{,}4

Завдання 385

Знаходження точки рівняння

Рівняння $9 x - 2 y = 14$ . Потрібно знайти координати точки, де ордината ( $y$ ) дорівнює абсцисі ( $x$ ).

Розв’язання

Оскільки $y = x$ , підставимо це в рівняння: $9 x - 2 x = 14$ .
Спростимо ліву частину: $7 x = 14$ .
Знайдемо $x$ : $x = 14/7 = 2$ . Оскільки $y = x$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

$(2; 2)$

Завдання 386

Знаходження точки з протилежними координатами

Функція задана формулою $y = x^{2} - 2$ . Потрібно знайти точку, де абсциса ( $x$ ) і ордината ( $y$ ) є протилежними числами.

Розв’язання

Запишемо умову про протилежні числа як рівність $y = - x$ .
Підставимо вираз для $y$ з формули функції ( $x^{2} - 2$ ) замість $y$ : $x^{2} - 2 = - x$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину: $x^{2} + x - 2 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння знайдемо корені $x_{1} = 1$ та $x_{2} = - 2$ .
Знайдемо відповідні значення для $y$ : якщо $x = 1$ , то $y = - 1$ ; якщо $x = - 2$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

$(1; - 1)$ та $(- 2; 2)$

Сторінка 79

Завдання 387

Функція

y = - x

на натуральних числах

Кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то задай її формулою та графіком.

Розв’язання

Обираємо область визначення $D = {1; 2; 3; ...}$ . Для кожного $x$ знаходимо $y = - x$ : $(1; - 1), (2; - 2), (3; - 3)$ .
Будуємо точки на координатній площині та з'єднуємо їх променем, що йде від початку координат вниз-вправо.

Відповідь:

Так, це функція $y = - x$ ; графік — промінь у IV чверті.

Завдання 388

Функція

y = x

на цілих числах

Кожному цілому числу відповідає рівне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то що є її графіком?

Розв’язання

Перевіряємо умову: для будь-якого цілого $x$ , $y = x$ . Це виконується для всіх точок прямої.
Будуємо пряму, що проходить через точки $(0; 0)$ і $(1; 1)$ .

Відповідь:

Так, це функція $y = x$ ; графік — пряма, що проходить через початок координат.

Завдання 389

Читаємо графік функції

Функцію $y = f (x)$ задано графіком (мал. 8.14). Для яких значень аргументу:
а) $f (x) = 0, f (x) \leq 0$ ;
б) $f (x) = - 2, f (x) > - 2, f (x) \leq - 2$ ;
в) $f (x) = 3, f (x) \geq 3, f (x) < 3$ ;
г) $0 \leq f (x) \leq 3$ ;
ґ) $- 2 < f (x) < 4$ ?

Розв’язання

а) Графік лежить нижче або на осі $O x$ для $x \in [- 2; 4]$ . Точки перетину з віссю: $(- 2; 0)$ і $(4; 0)$ . Відповідь: $- 2 \leq x \leq 4$ .
б) Графік дорівнює $- 2$ при $x = 6$ . Графік вище рівня $y = - 2$ для $x \in [1; 7]$ . Графік нижче або на рівні $y = - 2$ для $x \in [- 2; 1]$ і $x = 6$ .
в) Графік дорівнює $3$ при $x = - 1$ . Графік вище рівня $y = 3$ не має (максимум 4). Графік нижче або на рівні $y = 3$ для $x \in [- 2; 5]$ .
г) Графік знаходиться між лініями $y = 0$ і $y = 3$ . Це відповідає проміжку $[- 1; 4]$ .
ґ) Графік знаходиться між лініями $y = - 2$ і $y = 4$ . Це відповідає проміжку $[1; 6]$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 2; 4]$ ; б) $f (x) = - 2$ при $x = 6$ , $f (x) > - 2$ при $x \in (1; 7)$ , $f (x) \leq - 2$ при $x \in [- 2; 1] \cup {6}$ ; в) $f (x) = 3$ при $x = - 1$ , $f (x) \geq 3$ ніколи, $f (x) < 3$ при $x \in (- 2; - 1) \cup (5; 8)$ ; г) $x \in [- 1; 4]$ ; ґ) $x \in [1; 6]$ .

Завдання 390

Знаходження параметра графіка

Графік функції $y = x + m$ має проходити через точку $P (5; 5)$ . Потрібно знайти значення $m$ і перевірити, чи проходить графік через точку $Q (- 4; 4)$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $P (5; 5)$ в рівняння графіка: $5 = 5 + m$ .
Піднесемо обидві частини рівності до квадрату, щоб позбутися кореня: $25 = 5 + m$ .
Знайдемо $m$ : $m = 25 - 5$ , отже $m = 20$ . Функція має вигляд $y = x + 20$ .
Перевіримо точку $Q (- 4; 4)$ : підставимо $x = - 4$ у функцію $y = - 4 + 20 = 16 = 4$ . Оскільки отримане $y$ дорівнює ординаті точки $Q$ , графік проходить через неї.

Відповідь:

Значення $m = 20$ . Графік функції проходить через точку $Q (- 4; 4)$ .

Завдання 392

Область визначення раціональних функцій

Знайти область визначення (ОДЗ) та побудувати графік для трьох функцій: а) $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ ; б) $y = \frac{10 - 5 x}{x ^{2} - 2 x}$ ; в) $y = - \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{2 x - 1}$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Функцію можна скоротити: $y = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ , але точка $(3; 6)$ не входить до графіка. ОДЗ: $x \neq = 3$ .
б) Знаменник $x^{2} - 2 x = x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = 2$ . Функцію скоротити не можна. ОДЗ: $x \neq = 0, x \neq = 2$ .
в) Знаменник $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Чисельник розкладається на $(x - 1) (2 x - 1)$ , скорочуємо зі знаменником. ОДЗ: $x \neq = 0, 5$ .

Відповідь:

а) $D = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ , графік — пряма $y = x + 3$ без точки $(3; 6)$ ; б) $D = (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ , графік — гіпербола з асимптотами $x = 0, x = 2$ ; в) $D = (- \infty; 0, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ , графік — пряма $y = - x + 1$ без точки $(0, 5; - 0, 5)$ .

Завдання 393

Область визначення раціональних функцій

Знайти область визначення (ОД) для функцій: а) $y = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ ; б) $y = - \frac{12 - 4 x}{x ^{2} - 3 x}$ ; в) $y = \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x - 3}$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x + 2 \neq = 0$ , отже $x \neq = - 2$ . ОД: $(- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ .
б) Знаменник $x^{2} - 3 x = x (x - 3) \neq = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . ОД: $(- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .
в) Знаменник $x - 3 \neq = 0$ , отже $x \neq = 3$ . ОД: $(- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \neq = - 2$ ; б) $x \neq = 0, x \neq = 3$ ; в) $x \neq = 3$ .

Завдання 394

Область визначення функцій з коренем та дробом

Знайти область визначення для функцій: а) $y = \frac{x}{x ^{2} - 5}$ ; б) $y = \frac{x ^{3} + 5 x}{4 x}$ ; в) $y = \frac{x + 1}{x ^{3} - 5 x ^{2}}$ ; г) $y = x + 5 + 5 - x$ ; ґ) $y = x^{2} - 6 x + 10$ ; д) $y = \frac{- 3 x - 4}{4 - ∣ x ∣}$ .

Розв’язання

а) Умови: $x \geq 0$ (під коренем) та $x^{2} - 5 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 5$ . ОД: $[0; 5) \cup (5; + \infty)$ .
б) Умови: $x (x^{2} + 5) \geq 0$ (оскільки $x^{2} + 5 > 0$ , то $x \geq 0$ ) та $4 x \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 0$ . ОД: $(0; + \infty)$ .
в) Умови: $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 1$ та $x^{2} (1 - 5 x) \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 0, x \neq = 0, 2$ . ОД: $[- 1; 0) \cup (0; 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ .
г) Умови: $x + 5 \geq 0$ та $5 - x \geq 0$ . Отже, $- 5 \leq x \leq 5$ . ОД: $[- 5; 5]$ .
ґ) Умова під коренем: $x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ для будь-якого $x$ . Знаменника немає. ОД: $(- \infty; + \infty)$ .
д) Умови: $- 3 x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq - \frac{4}{3}$ та $4 - ∣ x ∣ \neq = 0 \Rightarrow ∣ x ∣ \neq = 4 \Rightarrow x \neq = \pm 4$ . ОД: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - \frac{4}{3}]$ .

Відповідь:

а) $[0; 5) \cup (5; + \infty)$ ; б) $(0; + \infty)$ ; в) $[- 1; 0) \cup (0; 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ ; г) $[- 5; 5]$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 1, \overline{3}]$ .

Сторінка 80

Завдання 395

Область значень функцій з коренем

Знайти область значень (множину всіх можних $y$ ) для функцій:
а) $y = \frac{x + 4}{x ^{2} - 16}$ ;
б) $y = \frac{x ^{3} + 2 x}{∣ x ∣ - 2}$ ;
в) $y = x^{2} - 10 x + 26$ .

Розв’язання

Варіант а): Підкореневий вираз $x + 4 \geq 0$ , тобто $x \geq - 4$ . Знаменник $x^{2} - 16 \neq = 0$ , отже $x \neq = \pm 4$ . Функція не є парною, тому область значень — це всі додатні числа.
Варіант б): Підкореневий вираз $x (x^{2} + 2) \geq 0$ дає $x \geq 0$ . Знаменник $∣ x ∣ - 2 \neq = 0$ , тобто $x \neq = 2$ . Оскільки область визначення обмежена знизу нулем, а функція не є парною (через модуль), значення можуть бути будь-якими додатними.
Варіант в): Підкореневий вираз $x^{2} - 10 x + 26$ — це квадратний тричлен. Його дискримінант $D = 100 - 4 \cdot 26 < 0$ , а коефіцієнт при $x^{2}$ додатній, отже вираз завжди додатний і ніколи не дорівнює нулю. Мінімум досягається в вершині параболи.

Відповідь:

а) $(0; + \infty)$ ; б) $(0; + \infty)$ ; в) $[13 - 5; + \infty)$ .

Завдання 396

Область значень функцій без кореня

Знайти область значень (множину всіх можних $y$ ) для функцій:
а) $y = x^{2} + 9$ ;
б) $y = x - 7$ ;
в) $y = 3 - ∣ x ∣$ .

Розв’язання

Варіант а): Це парабола з віссю симетрії $x = 0$ , що розкривається вгору ( $a = 1 > 0$ ). Мінімальне значення при $x = 0$ : $y_{min} = 0^{2} + 9 = 9$ .
Варіант б): Область визначення $x \geq 0$ . Функція зростає на всій області, тому мінімум досягається при найменшому $x = 0$ : $y_{min} = 0 - 7 = - 7$ .
Варіант в): Це V-подібна функція з максимумом у точці $x = 0$ (де модуль дорівнює нулю). Максимальне значення: $y_{ma x} = 3 - ∣0∣ = 3$ . Функція розкривається вниз.

Відповідь:

а) $[9; + \infty)$ ; б) $[- 7; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 3]$ .

Завдання 397

Область значень функцій з коренем та модулем

Знайти область значень (множину всіх можних $y$ ) для функцій:
а) $y = x + 2$ ;
б) $y = x^{2} - 3$ ;
в) $y = 6 - 2∣ x ∣$ .

Розв’язання

Варіант а): Область визначення $x \geq 0$ . Функція зростає, тому мінімум при $x = 0$ : $y_{min} = 0 + 2 = 2$ .
Варіант б): Квадратична функція з віссю симетрії $x = 0$ , розкривається вгору. Мінімальне значення при $x = 0$ : $y_{min} = 0^{2} - 3 = - 3$ .
Варіант в): Функція має максимум у точці $x = 0$ (де $∣ x ∣ = 0$ ). Максимальне значення: $y_{ma x} = 6 - 2 \cdot 0 = 6$ . Функція розкривається вниз.

Відповідь:

а) $[2; + \infty)$ ; б) $[- 3; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 6]$ .

Завдання 398

Прибуток від продажу тістечок

Витрати на електроенергію — 100 грн, витрати на продукти за одне тістечко — 28 грн, ціна продажу одного тістечка — 45 грн. Потрібно знайти функцію прибутку $y = f (x)$ від кількості проданих тістечок ( $x$ ), область визначення, кількість для покриття витрат та прибуток при продажі 200 одиниць.

Розв’язання

Загальні витрати складаються з фіксованих (електроенергія) і змінних (продукти): $C (x) = 100 + 28 x$ .
Дохід від продажу $x$ тістечок дорівнює: $R (x) = 45 x$ .
Функція прибутку $y$ — це різниця доходу та витрат: $y = R (x) - C (x) = 45 x - (100 + 28 x) = 17 x - 100$ .
Область визначення: кількість тістечок має бути натуральною ( $x \in N$ ).
Щоб покрити витрати, прибуток має дорівнювати нулю: $17 x - 100 = 0 \Rightarrow x = \frac{100}{17} \approx 5, 88$ . Оскільки тістечок не можна продати частково, потрібно продати 6 штук.
Прибуток при продажу 200 тістечок: $y = 17 \cdot 200 - 100 = 3400 - 100 = 3300$ .

Відповідь:

а) $y = 17 x - 100$ ; б) $x \in N$ ; в) потрібно продати 6 тістечок; г) прибуток становить 3300 грн.

Завдання 399

Аналіз коду Python

Дано код функції $f (x)$ , яка повертає значення $\frac{x}{x - 5}$ . Потрібно пояснити суть функції, причину помилки при $x = 5$ , визначити область визначення та виправити код.

Розв’язання

Функція описує раціональний дріб, де чисельник — $x$ , а знаменник — $(x - 5)$ .
Помилка виникає при обчисленні $f (5)$ , тому що підставивши 5 у знаменник, отримуємо $5 - 5 = 0$ , і ділення на нуль неможливе.
Область визначення: $x \neq = 5$ .
Щоб програма працювала коректно (якщо мета — просто виконати ділення), код залишається таким самим, але користувачеві треба пам'ятати про обмеження аргументу. Якщо ж потрібно «виправити» помилку в сенсі уникнення падіння програми, можна додати перевірку умови `if x != 5`.

Відповідь:

Функція — раціональний дріб; помилка через ділення на нуль при $x = 5$ ; область визначення $D = {x ∣ x \neq = 5}$ ; код не потребує зміни формули, але треба враховувати обмеження аргументу.

Завдання 401

Функція кусково-постійна та кусково-лінійна

а) $y = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 3 - x, - 1, якщо x \leq 1 якщо 1 < x < 4 якщо x \geq 4$
б) $y = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{6}{x}, 1, 5 x, \frac{6}{x}, якщо x < - 2 якщо - 2 \geq x \geq 2 якщо x > 2$

Розв’язання

Для пункту а): Область визначення складається з трьох частин: $(- \infty; 1]$ , $(1; 4)$ та $[4; + \infty)$ . Оскільки ці проміжки перекриваються в точці 1 (перший відрізок включає 1, другий — ні), але не мають пропусків, то область визначення — це всі дійсні числа.
Перевіримо значення в точці $x = 1$ : за першою формулою $y = 1 + 1 = 2$ , за другою (при підстановці межі) $3 - 1 = 2$ . Функція безперервна.
Область визначення: $D = (- \infty; + \infty)$ .
Для пункту б): Перший і третій відрізки задаються однією формулою $\frac{6}{x}$ . Ця функція не має сенсу при $x = 0$ . Другий відрізок $[- 2; 2]$ включає нуль. Отже, у точці $x = 0$ вираз $\frac{6}{x}$ не визначений, але в умові другого випадку формула інша ( $1, 5 x$ ).
Однак, якщо при $x = 0$ ми використовуємо другу гілку, то значення існує. Але перші та треті гілки виключають нуль. Друга гілка включає його. Отже, функція визначена всюди, крім випадку, коли бачимо $\frac{6}{x}$ при $x = 0$ , але це неможливо, бо для $x = 0$ діє друга формула.
Перевіримо умови: $x < - 2$ (не містить 0), $- 2 \leq x \leq 2$ (містить 0), $x > 2$ (не містить 0). Отже, функція визначена для всіх $x$ , крім випадків, де $\frac{6}{x}$ використовується при $x = 0$ . Але це неможливо.
Однак, якщо розглядати графічно: гіпербола має асимптоту $x = 0$ . У проміжку $[- 2; 2]$ функція лінійна, тому вона проходить через початок координат. Отже, функція визначена для всіх дійсних чисел.

Відповідь:

а) Область визначення: всі дійсні числа ( $- \infty < x < + \infty$ ).
б) Область визначення: всі дійсні числа ( $- \infty < x < + \infty$ ).

Завдання 402

Порівняння тарифів на інтернет

Тариф А: абонплата 400 грн + 25 грн за кожен ГБ понад 20 ГБ.
Тариф Б: абонплата 550 грн без додаткової оплати.
Пункти: а) Записати функції вартості $y$ від кількості трафіку $x$ . б) Знайти області визначення. в) Обчислити вартість для $x = 50$ . г) Знайти точку перетину графіків (рівноважну ціну). д) Визначити вигідніший тариф при $10 \leq x \leq 100$ .

Розв’язання

Запишемо функції:
Тариф А: $y_{A} = {400, 400 + 25 (x - 20), x \leq 20 x > 20$
Спростимо другу частину: $400 + 25 x - 500 = 25 x - 100$ .
Отже, $y_{A} = {400, 25 x - 100, x \leq 20 x > 20$
Тариф Б: $y_{B} = 550$ (для всіх $x \geq 0$ ).
Область визначення для обох функцій — це всі невід'ємні числа: $D = [0; + \infty)$ .
Обчислимо вартість при $x = 50$ :
Для Тарифу А: $y_{A} = 25 \cdot 50 - 100 = 1250 - 100 = 1150$ грн.
Для Тарифу Б: $y_{B} = 550$ грн.
Знайдемо точку перетину (коли вартості однакові):
Прирівняємо вирази для $x > 20$ : $25 x - 100 = 550$ .
$25 x = 650 \Rightarrow x = 26$ .
Перевіримо: при $x = 26$ , Тариф А: $400 + 25 (6) = 550$ грн. Тариф Б: 550 грн. Збігається.
Порівняємо тарифи для $10 \leq x \leq 100$ :
При $x = 10$ : $y_{A} = 400$ , $y_{B} = 550$ . Тариф А дешевший.
При $x = 26$ : вартості однакові (550 грн).
При $x > 26$ (наприклад, 50): $y_{A} = 1150$ , $y_{B} = 550$ . Тариф Б дешевший.
Отже, вигідний тариф залежить від обсягу трафіку.

Відповідь:

а) $y_{A} = {400, 25 x - 100, x \leq 20 x > 20$ ; $y_{B} = 550$ .
б) Область визначення: $[0; + \infty)$ для обох функцій.
в) При $x = 50$ : Тариф А — 1150 грн, Тариф Б — 550 грн.
г) Рівноважне значення $x = 26$ ГБ (вартість 550 грн).
д) Для $10 \leq x < 26$ вигідніший Тариф А; для $x > 26$ вигідніший Тариф Б; при $x = 26$ вартості однакові.

Сторінка 81

Завдання 403

Рівновага попиту та пропозиції

Функція попиту $Q_{D} = 9 - p$ , функція пропозиції $Q_{S} = 2 p - 6$ . $Q_{D}$ — обсяг попиту, $Q_{S}$ — обсяг пропозиції (мільйони штук за рік), $p$ — ціна. Знайти рівноважну ціну та обсяг продажу. Визначити зміну рівноважної ціни при зменшенні попиту на 20%.

Розв’язання

Запишемо умову рівноваги: $9 - p = 2 p - 6$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $p$ : перенесемо $- p$ у праву частину ( $+ p$ ), а $- 6$ у ліву ( $+ 6$ ). Отримаємо $9 + 6 = 3 p$ , тобто $15 = 3 p$ .
Знайдемо початкову ціну: $p = 15 : 3 = 5$ . Обчислимо обсяг продажу, підставивши $p = 5$ у будь-яку функцію (наприклад, $Q_{D} = 9 - 5 = 4$ ).
Зменшимо попит на 20%: новий попит становитиме $9 \cdot (1 - 0, 2) = 7, 2$ . Нове рівняння: $7, 2 - p = 2 p - 6$ .
Розв'яжемо нове рівняння: $7, 2 + 6 = 3 p \Rightarrow 13, 2 = 3 p \Rightarrow p = 4, 4$ .

Відповідь:

Початкова рівноважна ціна — 5 грошових одиниць, обсяг продажу — 4 млн штук. При зменшенні попиту на 20% нова рівноважна ціна становить 4{,}4 грошові одиниці.

Завдання 404

Порівняння виразів із коренями

Порівняти значення пар виразів: а) $32$ і $20$ ; б) $35$ і $44$ ; в) $13$ і $23$ ; г) $37$ і 8; ґ) $45$ і 9; д) $52$ і 7.

Розв’язання

а) $32 = 9 \cdot 2 = 18$ . Порівняємо $18$ і $20$ . Оскільки $18 < 20$ , то $32 < 20$ .
б) $35 = 9 \cdot 5 = 45$ . Порівняємо $45$ і $44$ . Оскільки $45 > 44$ , то $35 > 44$ .
в) $23 = 4 \cdot 3 = 12$ . Порівняємо $13$ і $12$ . Оскільки $13 > 12$ , то $13 > 23$ .
г) $37 = 9 \cdot 7 = 63$ . Порівняємо $63$ і $64$ (оскільки $8 = 64$ ). Оскільки $63 < 64$ , то $37 < 8$ .
ґ) $45 = 16 \cdot 5 = 80$ . Порівняємо $80$ і $81$ (оскільки $9 = 81$ ). Оскільки $80 < 81$ , то $45 < 9$ .
д) $52 = 25 \cdot 2 = 50$ . Порівняємо $50$ і $49$ (оскільки $7 = 49$ ). Оскільки $50 > 49$ , то $52 > 7$ .

Відповідь:

а) $32 < 20$ ; б) $35 > 44$ ; в) $13 > 23$ ; г) $37 < 8$ ; ґ) $45 < 9$ ; д) $52 > 7$ .

Завдання 405

Розрахунок зарплати та податків

Брутто-зарплата — 35430 грн. Податок на доходи фізичних осіб (ДФП) — 18%. Податок на військовий збір (ВЗ) — 5%. Знайти чисту зарплату за місяць та суму відрахувань за рік.

Розв’язання

Обчислимо загальний відсоток утримань: $18% + 5% = 23%$ . У дробовому вигляді це $0, 23$ .
Знайдемо суму податків за місяць: $35430 \cdot 0, 23 = 8148, 9$ грн.
Обчислимо чисту зарплату за місяць: $35430 - 8148, 9 = 27281, 1$ грн.
Знайдемо суму податків за рік: $8148, 9 \cdot 12 = 97786, 8$ грн.

Відповідь:

Службовець отримує на руки 27281{,}1 грн за місяць. За рік сума всіх відрахувань становить 97786{,}8 грн.

Завдання 406

Розв'язування раціональних нерівностей

а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ ;
б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ ;
в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ .

Розв’язання

Пункт а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ . Знайди корені рівнянь $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 1, 5$ та $3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$ . Дроби додатні, якщо чисельник і знаменник мають однаковий знак. Це станеться при $x < - 1, 5$ або $x > - \frac{1}{3}$ .
Пункт б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ . Перенесемо $- 1$ у ліву частину: $\frac{x - 6}{1 - x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{x - 6 + 1 - x}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{- 5}{1 - x} > 0$ . Знаменник має бути додатним, бо чисельник $- 5$ від'ємний. Отже, $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ .
Пункт в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ . Перенесемо $1$ у ліву частину: $\frac{9 - 2 x}{x} - 1 ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 2 x - x}{x} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 3 x}{x} ⩾ 0$ . Корені чисельника ( $9 - 3 x = 0$ ) та знаменника ( $x = 0$ ): $x = 3$ і $x = 0$ . Дроби додатні або дорівнюють нулю, якщо $x < 0$ або $x ⩾ 3$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1, 5) \cup (- \frac{1}{3}; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1)$ ; в) $(- \infty; 0) \cup [3; + \infty)$ .