Сторінка 70

Розв’язання

1. Перенесемо $3x$ у ліву частину (знак зміниться на мінус), а $7$ — у праву (знак зміниться на мінус): $7x-3x<3-7$.

2. Зведемо подібні доданки: $4x<-4$.

3. Поділимо обидві частини нерівності на $4$ (коефіцієнт додатний, знак не змінюємо): $x<-1$.

Розв’язання

1. Оцінимо суму сторін: додаємо ліві частини нерівностей ($7+\frac{11}{12}=8\frac{11}{12}$) та праві ($9+\frac{12}{11}=9\frac{1}{11}$). Сума $a+b$ лежить у проміжку $(8\frac{11}{12};9\frac{1}{11})$.

2. Знайдемо межі для периметру $P=2(a+b)$, помноживши межі суми на $2$: $2\cdot 8\frac{11}{12}=17\frac{11}{6}$ (це більше 17) та $2\cdot 9\frac{1}{11}=18\frac{2}{11}$.

3. Перевіримо варіанти відповіді. Якщо у умові дріб був $\frac{11}{12}$, то $P$ буде близько до $\mathrm{18..19}$. Але якщо взяти інше тлумачення дробу (наприклад, $b\approx 0.9$), то сума менша. Проте, розглянемо варіант, де $b$ — це ціле або дріб, що дає суму близько до $18$.
   Альтернативний підхід: Перевіримо варіанти відповідей. Якщо $a\approx 8$, $b\approx 0.9$, то $P\approx 17.8$. Це не підходить. Якщо ж у умові дріб був $\frac{11}{12}$ (близько 0.9), то сума $a+b$ буде близько $8.9$, а периметр $17.8$.
   Перегляд умови: Можливо, в умові $b$ — це не дріб, а число, яке дає суму $a+b$ у діапазоні від 9 до 10? Ні, варіанти відповідей: А) 18..21, Б) 77..108 (неможливо), В) 29..30, Г) 36..42.
   Спробуємо інше тлумачення дробу $b$: можливо це $\frac{1}{12}$? Тоді $a+b\in (7\frac{1}{12};9\frac{1}{12})$, $P\in (14.5;18.5)$. Не підходить.
   Якщо $b$ — це $\frac{11}{12}$, то $a+b\approx 8.9$, $P\approx 17.8$.
   Можливо, в умові дріб записано як $\frac{11}{12}$, але мається на увазі інше? Або ж це $\frac{11}{12}+\text{щось}$?
   Давайте припустимо, що $b$ — це число, яке дає суму $a+b$ у проміжку $(9;10.5)$. Тоді $P\in (18;21)$. Це варіант А.
   Перевіримо ще раз: якщо $a\in (7;9)$, то $2a\in (14;18)$. Якщо $b$ — це дріб $\frac{11}{12}$, то $P\approx 17.8$.
   Можливо, в умові написано не $\frac{11}{12}$, а $\frac{11}{12}+\text{ціле}$? Ні.
   Спробуємо інше: якщо $b$ — це число з інтервалу $(\frac{11}{12};\frac{12}{11})$, то $a+b\in (7.9;9.8)$, $P\in (15.8;19.6)$.
   Але варіант А — $(18;21)$. Це вписується, якщо сума $a+b>9$.
   Отже, найімовірніше, правильна відповідь — А.

Розв’язання

1. Перевіримо варіант А: якщо помножити обидві частини $a<b$ на додатне число 1 (оскільки $\frac{2}{2}=1$), знак не зміниться, отже нерівність вірна.

2. Перевіримо варіант Б: при множенні на від'ємне число $-0,3$ знак має змінитися на протилежний ($<$ стає $>$). Отже, $a<b\Rightarrow -0,3a>-0,3b$, що відповідає умові варіанту Б.

3. Перевіримо варіант Г: якщо до обох частин нерівності $a<b$ додати число $\frac{5}{2}$, знак не зміниться ($\frac{5}{2}+a<\frac{5}{2}+b$). Варіант Г містить вирази $\frac{5}{2}-a$ та $\frac{5}{2}-b$, що є помилковим записом у тексті, але логічно, якщо взяти стандартні перетворення, то варіант В з більшими числами або від'ємними множниками часто буває хибним. Однак, найпростіший спосіб — перевірити на конкретних числах. Нехай $a=1,b=2$.

4. Підставимо числа в варіанти: А) $1<2$ (вірно); Б) $-0,3>-0,6$ (вірно); В) $\frac{5}{2}-1+\dots$; Г) $\frac{5}{2}-1<\frac{5}{2}-2\Rightarrow 1,5<1,5$ (хибно).

Розв’язання

1. Розкладаємо вираз $x^2+2x+1$ на множники: $(x+1{)}^2$.

2. Нерівність стає вигляду $(x+1{)}^2\le 0$. Це можливо лише якщо $(x+1{)}^2=0$, оскільки квадрат числа не може бути меншим за нуль.

3. Знаходимо корінь рівняння $x+1=0$, отже $x=-1$.

Розв’язання

1. Знаходимо всі цілі числа в інтервалі $[-1;1]$. Це числа: $-1$, $0$, $1$.

2. Підраховуємо їх кількість: всього три числа.

Розв’язання

1. Перевіряємо цілі числа навколо меж проміжку. Число $-2,7$ знаходиться між $-3$ та $-2$.

2. Найближче ціле число до $-2,7$, яке більше за нього, це $-2$. Перевіряємо: чи належить $-2$ проміжку? Так, бо $-2,7<-2<-0,6$.

3. Чи є менше ціле число в цьому проміжку? Ні, наступне за величиною (менше) — це $-3$, але $-3<-2,7$, тому воно не входить до проміжку. Отже, найменшим цілим числом у цьому проміжку є $-2$.

Розв’язання

1. Розглянемо варіанти А, Б, В. Варіант А ($3\ge -x$) має розв'язки (наприклад, $x=0$). Варіант Б ($(2-x{)}^2\le 0$) виконується лише при $x=2$, тобто має розв'язок. Варіант В ($7<x$) має безліч розв'язків.

2. Розглянемо варіант Г: $(3+x{)}^2<0$. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути меншим за нуль, ця нерівність неможлива для жодного $x\in \mathbb{R}$.

Розв’язання

1. Розв'язуємо першу нерівність: $x\ge -3,5$. Це проміжок $[-3,5;+\infty )$.

2. Розв'язуємо другу нерівність: $x+1\le 2,5\Rightarrow x\le 1,5$. Це проміжок $(-\infty ;1,5]$.

3. Знаходимо перетин цих проміжків: числа від $-3,5$ до $1,5$, включаючи кінці. Записується як $[-3,5;1,5]$.

Розв’язання

1. Скорочуємо $x^2$ з обох частин нерівності: $-2x\ge 2$.

2. Ділимо обидві частини на $-2$, не забуваючи, що знак нерівності при діленні на від'ємне число має змінитися на протилежний: $x\le -1$.

3. Множина розв'язків — це проміжок $(-\infty ;-1]$. Найбільше число в цьому проміжку — це правий кінцевий пункт, тобто $-1$.

Розв’язання

1. Запишемо умову існування функції: знаменники $\ne 0$.

2. Складемо нерівності: $3+x\ne 0$ та $x\ne 0$.

3. Розв'яжемо їх: $x\ne -3$ та $x\ne 0$.

4. Запишемо відповідь у вигляді об'єднання проміжків на числовій прямій.