ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 69

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 69)–9 (с. 69) · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 1 (с. 69)

Розв'язання лінійної нерівності

Знайти розв'язок нерівності $7 x + 7 < 3 x + 3$ і обрати правильний варіант з відповідями: А $(- \infty; 1)$ , Б $(- \infty; - 1)$ , В $(1; + \infty)$ , Г $(- 1; + \infty)$ .

Розв’язання

Перенесемо $3 x$ у ліву частину (віднімаємо), а $7$ — у праву (віднімаємо): $7 x - 3 x < 3 - 7$ .
Спростимо вираз: $4 x < - 4$ .
Поділимо обидві частини на $4$ : $x < - 1$ .

Відповідь:

Б $(- \infty; - 1)$

Завдання 2 (с. 69)

Оцінка периметра прямокутника

Знайти діапазон значень периметра $P$ прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ , якщо $7 < a < 9$ та $11 < b < 12$ .

Розв’язання

Знайдемо найменше можливе значення суми сторін: $7 + 11 = 18$ .
Знайдемо найбільше можливе значення суми сторін: $9 + 12 = 21$ .
Отже, сума сторін лежить у проміжку $(18; 21)$ . Помножимо цей проміжок на $2$ : $18 \cdot 2 < P < 21 \cdot 2$ , тобто $36 < P < 42$ .

Відповідь:

Г $36 < P < 42$

Завдання 3 (с. 69)

Розв'язання системи нерівностей

Знайти найбільший цілий розв'язок системи ${3 x - 2, 8 \leq x + 2 2 x + 7 > 5 x - 8$ .

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $3 x - x \leq 2 + 2, 8 \Rightarrow 2 x \leq 4, 8 \Rightarrow x \leq 2, 4$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $7 + 8 > 5 x - 2 x \Rightarrow 15 > 3 x \Rightarrow 5 > x$ (або $x < 5$ ).
Знаходимо спільну множину розв'язків: $x \leq 2, 4$ і $x < 5$ . Оскільки $2, 4 < 5$ , то спільна множина — це $x \leq 2, 4$ .

Відповідь:

найбільший цілий розв'язок — це $2$ (варіант А).

Завдання 4 (с. 69)

Відповідність нерівностей і розв'язків

Потрібно встановити відповідність між трьома нерівностями (1–3) та їхніми множинами розв'язків (А–Д).

Розв’язання

Розв'яжемо нерівність 3: $- 1 < 3 x + 5 \leq 17$ . Віднімемо 5 від усіх частин: $- 6 < 3 x \leq 12$ . Поділимо на 3: $- 2 < x \leq 4$ . Записуємо як інтервал $(- 2; 4]$ . Це варіант В.
Розв'яжемо нерівність 1: $4 (x - 2) \geq 2 x$ . Розкриємо дужки: $4 x - 8 \geq 2 x$ . Перенесемо $2 x$ вліво, а $- 8$ вправо: $2 x \geq 8$ . Поділимо на 2: $x \geq 4$ . Це інтервал $[4; + \infty)$ . Це варіант Г.
Розв'яжемо нерівність 2: $16 - (x - 2)^{2} < 7 x - x^{2}$ . Розкриємо дужки в лівій частині: $16 - (x^{2} - 4 x + 4) < 7 x - x^{2}$ , тобто $16 - x^{2} + 4 x - 4 < 7 x - x^{2}$ . Скорочуємо $- x^{2}$ в обох частинах: $12 + 4 x < 7 x$ . Переносимо $4 x$ вправо: $12 < 3 x$ . Ділимо на 3: $4 < x$ , або $x > 4$ . Це інтервал $(4; + \infty)$ . Це варіант Б.

Відповідь:

1 — Г, 2 — Б, 3 — В.

Завдання 5 (с. 69)

Порівняння виразів при умові

x < y

Відомо, що $x < y$ . Потрібно порівняти пари виразів: а) $x - 3$ і $y - 3$ ; б) $1, 3 x$ і $1, 3 y$ ; в) $- 2 x$ і $- 2 y$ ; г) $5 - x$ і $5 - y$ .

Розв’язання

а) Оскільки $x < y$ , то віднімемо 3 від обох частин: $(x - 3) < (y - 3)$ .
б) Множимо на додатне число $1, 3$ : оскільки $x < y$ , то $1, 3 x < 1, 3 y$ .
в) Множимо на від'ємне число $- 2$ : знак нерівності змінюється на протилежний, тому $- 2 x > - 2 y$ .
г) Віднімемо $x$ і додамо 5 до обох частин початкової нерівності: $5 - x > 5 - y$ (бо при відніманні меншого числа $x$ отримують більше).

Відповідь:

а) $x - 3 < y - 3$ ; б) $1, 3 x < 1, 3 y$ ; в) $- 2 x > - 2 y$ ; г) $5 - x > 5 - y$ .

Завдання 6 (с. 69)

Розв'язання системи нерівностей

а) ${\frac{x - 3}{5} - \frac{3 x - 1}{10} \geq 4 3 x + 16 \geq 8 x - 4$ ; б) ${x (x + 7) \geq (x - 7)^{2} - 7 (3 - x) (x + 3) \geq 0, 5 x - x^{2}$ .

Розв’язання

а) Перша нерівність: помножимо на 10: $2 (x - 3) - (3 x - 1) \geq 40 \Rightarrow 2 x - 6 - 3 x + 1 \geq 40 \Rightarrow - x \geq 45 \Rightarrow x \leq - 45$ . Друга нерівність: $3 x + 16 \geq 8 x - 4 \Rightarrow 20 \geq 5 x \Rightarrow x \leq 4$ . Перетин множин ( $x \leq - 45$ і $x \leq 4$ ) — це $x \leq - 45$ , або $(- \infty; - 45]$ .
б) Перша нерівність: $x^{2} + 7 x \geq x^{2} - 14 x + 49 - 7 \Rightarrow 21 x \geq 42 \Rightarrow x \geq 2$ . Друга нерівність: розкриємо дужки $3 x + 9 - x^{2} - 3 x \geq 0, 5 x - x^{2}$ , скорочуємо $- x^{2}$ : $9 \geq 0, 5 x \Rightarrow 18 \geq x \Rightarrow x \leq 18$ . Перетин множин ( $x \geq 2$ і $x \leq 18$ ) — це проміжок $[2; 18]$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 45]$ ; б) $[2; 18]$ .

Завдання 7 (с. 69)

Область визначення функції

а) $y = 15 - 3 x$ ; б) $y = 2 x + 6 - \frac{9}{9 - 2 x}$ .

Розв’язання

а) Підкореневий вираз має бути невід'ємним: $15 - 3 x \geq 0$ . Розв'язуємо: $- 3 x \geq - 15$ , отже $x \leq 5$ . Область визначення: $(- \infty; 5]$ .
б) Перший корінь вимагає $2 x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3$ . Другий корінь у знаменнику вимагає $9 - 2 x > 0$ (знак суворий, бо дріб не може мати нульовий знаменник): $- 2 x > - 9 \Rightarrow x < 4, 5$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; 5]$ ; б) $[- 3; 4, 5)$ .

Завдання 8 (с. 69)

Параметр рівняння з додатним коренем

Знайти всі $a$ , при яких рівняння $3 (2 x + a) = 5 + a - 4 x$ має додатний розв'язок.

Розв’язання

Розкриваємо дужки: $6 x + 3 a = 5 + a - 4 x$ . Переносимо $- 4 x$ вліво, а $3 a$ і $5$ — вправо: $6 x + 4 x = 5 - 3 a + a$ , тобто $10 x = 5 - 2 a$ .
Знаходимо корінь: $x = \frac{5 - 2 a}{10}$ . Оскільки потрібно, щоб корінь був додатним ( $x > 0$ ), пишемо $\frac{5 - 2 a}{10} > 0$ . Оскільки знаменник додатний, множимо на 10: $5 - 2 a > 0$ .
Розв'язуємо нерівність по $a$ : $- 2 a > - 5$ , ділимо на $- 2$ (знак нерівності змінюється): $a < 2, 5$ .

Відповідь:

$a \in (- \infty; 2, 5)$ .

Завдання 9 (с. 69)

Доведення нерівності

Довести, що $2 a (a + 5) + 15 > (a + 2)^{2}$ для будь-якого $a$ .

Розв’язання

Розкриваємо дужки зліва: $2 a^{2} + 10 a + 15$ . Розкриваємо дужки справа (квадрат суми): $a^{2} + 4 a + 4$ .
Переносимо праву частину в ліву, щоб отримати різницю: $(2 a^{2} + 10 a + 15) - (a^{2} + 4 a + 4) = a^{2} + 6 a + 11$ .
Доводимо, що $a^{2} + 6 a + 11 > 0$ . Знаходимо дискримінант квадратного тричлена: $D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = - 8$ . Оскільки $D < 0$ і коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), парабола цілісним образом лежить вище осі $O x$ , тобто значення завжди додатні.

Відповідь:

Нерівність доведена (вірна для всіх дійсних $a$ ).