ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 68

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 68)–10 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities

Завдання 1 (с. 68)

Порівняння чисел та виразів

Вибери правильну нерівність серед варіантів: А $0, 2 > 2$ ; Б $- 1 < - 2$ ; В $5 \geq 5$ ; Г $2^{- 1} \leq 2^{- 2}$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: $2 \approx 1, 41$ , отже $0, 2 < 1, 41$ , нерівність хибна.
Перевіримо варіант Б: число $- 1$ більше за $- 2$ , тому $- 1 > - 2$ , а не $- 1 < - 2$ , нерівність хибна.
Перевіримо варіант Г: $2^{- 1} = 0, 5$ , $2^{- 2} = 0, 25$ . Оскільки $0, 5 > 0, 25$ , то $2^{- 1} \leq 2^{- 2}$ хибна.
Перевіримо варіант В: число $5$ дорівнює $5$ , отже $5 \geq 5$ є істиною.

Відповідь:

Завдання 2 (с. 68)

Властивості нерівностей при діях над змінними

Відомо, що $2 < a < 5$ та $3 < b < 4$ . Яка нерівність хибна? Варіанти: А $5 < a + b < 9$ ; Б $- 2 < a - b < 2$ ; В $6 < ab < 20$ ; Г $\frac{2}{3} < \frac{a}{b} < \frac{5}{4}$ .

Розв’язання

Розглянемо А: мінімум $2 + 3 = 5$ , максимум $5 + 4 = 9$ , отже $5 < a + b < 9$ — істина.
Розглянемо Б: мінімум $2 - 4 = - 2$ , максимум $5 - 3 = 2$ , отже $- 2 < a - b < 2$ — істина.
Розглянемо В: мінімум $2 \cdot 3 = 6$ , максимум $5 \cdot 4 = 20$ , отже $6 < ab < 20$ — істина.
Розглянемо Г: найменше значення $\frac{a}{b}$ буде при найменшому чисельнику і найбільшому знаменнику ( $\frac{2}{4} = 0, 5$ ), найбільше — при найбільшому чисельнику і найменшому знаменнику ( $\frac{5}{3} \approx 1, 67$ ). Оскільки $0, 5 < \frac{2}{3}$ (бо $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ ), то нижня межа порушена.

Відповідь:

Завдання 3 (с. 68)

Властивості нерівностей при множенні на від'ємне число

Відомо, що $a < b$ . Яка нерівність хибна? Варіанти: А $2 a < 2 b$ ; Б $- 0, 3 a > - 0, 3 b$ ; В $- 5 a + 2 < - 5 b + 2$ ; Г $5 a - 2 < 5 b - 2$ .

Розв’язання

Варіант А: $2 > 0$ , отже $2 a < 2 b$ — істина.
Варіант Б: множення на $- 0, 3$ (від'ємне) змінює знак на протилежний, тому $- 0, 3 a > - 0, 3 b$ — істина.
Варіант В: множимо $a < b$ на $- 5$ , отримуємо $- 5 a > - 5 b$ . Додаємо $2$ : $- 5 a + 2 > - 5 b + 2$ . У варіанті написано знак $<$ , отже це хибна нерівність.
Варіант Г: множимо на $5$ (додатне), знак не змінюється, додаємо $- 2$ , отже $5 a - 2 < 5 b - 2$ — істина.

Відповідь:

Завдання 4 (с. 68)

Розв'язування квадратної нерівності

Знайти число, яке задовольняє нерівність $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ . Варіанти відповідей: А) 2, Б) 1, В) 0, Г) –1.

Розв’язання

Перетворимо ліву частину на повний квадрат: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ .
Нерівність $(x + 1)^{2} \leq 0$ можлива лише в тому випадку, якщо $(x + 1)^{2} = 0$ , оскільки квадрат не може бути від'ємним.
Знаходимо корінь рівняння: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ .
Перевіряємо варіанти: число –1 є розв'язком, інші числа (2, 1, 0) дають значення більше нуля.

Відповідь:

Завдання 5

Підрахунок цілих чисел у подвійній нерівності

Знайти кількість цілих чисел, що задовольняють умову $- 1 \leq x \leq 1$ . Варіанти відповідей: А) одне, Б) два, В) три, Г) чотири.

Розв’язання

Знайдемо перше ціле число, що задовольняє умову: $- 1$ .
Наступне ціле число: $0$ .
Останнє ціле число згідно з умовою: $1$ .
Перелічимо їх: $- 1, 0, 1$ . Це три числа.

Відповідь:

Завдання 6

Знаходження найменшого цілого числа в проміжку

Укажи найменше ціле число, яке належить проміжку $[- 2, 7; - 0, 6]$ . Варіанти відповідей: А) –3, Б) –2, В) –1, Г) 0.

Розв’язання

Знайдемо цілі числа, що входять у проміжок $[- 2, 7; - 0, 6]$ . Це числа: $- 2$ та $- 1$ . (Число –3 менше за –2,7, число 0 більше за –0,6).
Порівняємо отримані цілі числа: $- 2 < - 1$ .
Найменшим серед них є число –2.

Відповідь:

Завдання 7

Нерівність без розв'язків

Вибери нерівність, яка не має розв'язків (варіанти: А $∣ x ∣ \geq - 3$ , Б $(x - 2)^{2} \leq 0$ , В $7 - ∣ x ∣ < 0$ , Г $(x + 3)^{2} < 0$ ).

Розв’язання

Розглянемо варіанти А, Б, В, Г.
У варіантах А, Б, В ліві частини можуть бути більші або дорівнювати правій (наприклад, квадрат може дорівнювати нулю).
У варіанті Г маємо $(x + 3)^{2} < 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, ця нерівність ніколи не виконується.

Відповідь:

Завдання 8

Система нерівностей

Знайти множину розв'язків системи ${2 x \leq 3 x + 1 \leq 2$ . Варіанти відповідей: А $(- \infty; 1]$ , Б $[1; 5)$ , В $(- \infty; 1, 5]$ , Г $[1; 1, 5]$ .

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $2 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1, 5$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $x + 1 \leq 2 \Rightarrow x \leq 1$ .
Знаходимо спільну частину розв'язків: числа, які менші або дорівнюють $1$ (оскільки $1 < 1, 5$ , то обмеженням є $x \leq 1$ ).

Відповідь:

Завдання 9

Розв'язок нерівності зі змінними

Знайти найбільше число, яке є розв'язком нерівності $x^{2} - 2 x \geq x^{2} + 2$ . Варіанти відповідей: А 2, Б 1, В –1, Г –2.

Розв’язання

Скорочуємо $x^{2}$ у обох частинах: $- 2 x \geq 2$ .
Ділимо обидві частини на $- 2$ , змінюючи знак нерівності на протилежний: $x \leq - 1$ .
Розв'язком є проміжок $(- \infty; - 1]$ , найбільшим числом у якому є $- 1$ .

Відповідь:

Завдання 10

Область визначення функції

Знайти область визначення функції $y = \frac{1}{x ^{2}} + x + 3$ , де варіанти відповідей: А $(- \infty; - 3]$ , Б $(- \infty; 0) \cup (0; - 3]$ , В $[- 3; \infty)$ , Г $[- 3; 0) \cup (0; \infty)$ .

Розв’язання

Запишемо умови визначення функції: $x^{2} \neq = 0$ та $x + 3 \geq 0$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x \geq - 3$ , що дає проміжок $[- 3; + \infty)$ .
Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} \neq = 0$ означає, що $x \neq = 0$ .
Знайдемо спільну частину множин: проміжок від $- 3$ до $+ \infty$ , виключаючи точку $0$ , записується як $[- 3; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь: