Сторінки 62–66

Розв’язання

1. Для доведення треба показати, що нерівність виконується завжди при всіх можних значеннях змінних.

2. Для спростування достатньо знайти хоча б одне значення змінної, при якому нерівність не виконується (контрприклад).

Розв’язання

1. У тексті сказано, що «спростувати нерівність зі змінними означає показати, що дана нерівність хибна хоч би при одному значенні змінної».

2. Отже, щоб довести (спростувати) нерівність, треба знайти конкретний контрприклад.

Розв’язання

1. Середнє арифметичне двох чисел $a$ і $b$ дорівнює $\frac{a+b}{2}$.

2. Середнє геометричне двох чисел $a$ і $b$ дорівнює $\sqrt{ab}$.

Розв’язання

1. Записуємо нерівність, що випливає з властивостей кореня та квадрата: $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

2. Висновуємо, що середнє геометричне менше або дорівнює середньому арифметичному.

Розв’язання

1. Запишемо нерівність для пари чисел $a$ і $2$: $\frac{a+2}{2}\ge \sqrt{a\cdot 2}=\sqrt{2a}$.

2. Запишемо нерівність для пари чисел $b$ і $8$: $\frac{b+8}{2}\ge \sqrt{b\cdot 8}=\sqrt{8b}$.

3. Перемножимо ці дві нерівності (оскільки обидві частини додатні): $(a+2)(b+8)\ge 2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{8b}=4\sqrt{16ab}$.

4. Спростимо вираз у правій частині: $4\sqrt{16ab}=4\cdot 4\sqrt{ab}=16\sqrt{ab}$.

Розв’язання

1. Почнемо з умови $a<b$. Додамо до обох частин число $a$: $a+a<a+b$, тобто $2a<a+b$. Поділимо на 2: $a<\frac{a+b}{2}$.

2. Знову використаємо $a<b$. Додамо до обох частин число $b$: $a+b<b+b$, тобто $a+b<2b$. Поділимо на 2: $\frac{a+b}{2}<b$.

3. Об'єднаємо отримані нерівності в одну подвійну: $a<\frac{a+b}{2}<b$.

Розв’язання

1. а) Арифметичне: $\frac{4+9}{2}=6,5$. Геометричне: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$.

2. б) Арифметичне: $\frac{38+0}{2}=19$. Геометричне: $\sqrt{38\cdot 0}=0$.

3. в) Арифметичне: $\frac{50+8}{2}=29$. Геометричне: $\sqrt{50\cdot 8}=\sqrt{400}=20$.

4. г) Арифметичне: $\frac{0,2+0,8}{2}=0,5$. Геометричне: $\sqrt{0,2\cdot 0,8}=\sqrt{0,16}=0,4$.

Розв’язання

1. Перевіримо варіант А: якщо $x=0$, то $0^2>0\Rightarrow 0>0$ — це неправильно, тому варіант А хибний.

2. Перевіримо варіант Б: якщо $x=0$, то $|0|>0\Rightarrow 0>0$ — це неправильно, тому варіант Б хибний.

3. Перевіримо варіант Г: вираз $0x$ завжди дорівнює $0$. Нерівність $0>0$ є хибною, тому варіант Г неправильний.

4. Перевіримо варіант В: якщо помножити будь-яке число на $-1$, воно стане не більше нуля (бо квадрат завжди $\ge 0$, тоді $-\text{квадрат}\le 0$). Отже, нерівність $-x^2\le 0$ виконується для будь-якого $x$.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: $a^2-1<a^2$. Віднімаємо $a^2$ від обох частин: $-1<0$. Це завжди істина, але оскільки умовою є суто «менше» (не «менше або дорівнює»), а при $a=1$ ліва частина стає рівною правій ($0=0$), то нерівність не виконується для всіх випадків. Однак, якщо розглядати як твердження про властивість виразу: оскільки $-1<0$, то нерівність вірна для будь-якого дійсного числа $a$.

2. Пункт б): Записуємо вираз у вигляді повного квадрата: $(3-2a{)}^2\ge 0$. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не від'ємний, ця нерівність виконується завжди. Рівність досягається при $3-2a=0$, тобто $a=1,5$.

3. Пункт в): Розглядаємо квадратне тричлен $a^2+6a+10$. Знаходимо дискримінант: $D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4$. Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $a^2$ додатний, тричлен завжди додатний. Отже, $a^2+6a+10>0$ для всіх $a$.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки: $4a^2-1<4a^2$. Віднімаємо $4a^2$ від обох частин: $-1<0$. Це вірно, отже нерівність справджується.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $3a-3-2a+4<a+5\Rightarrow a+1<a+5$. Віднімаємо $a$ від обох частин: $1<5$. Це вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+2a-8<a^2+2a+1$. Скорочуємо $a^2$ і $2a$: $-8<1$. Це вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $a^2-3a-10<a^2-3a-4$. Скорочуємо $a^2$ і $-3a$: $-10<-4$. Це вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $a^2-6a+9>a^2-6a$. Скорочуємо $a^2$ і $-6a$: $9>0$. Це вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дужки: $a^2+2a+1-5a>a^2-3a\Rightarrow a^2-3a+1>a^2-3a$. Скорочуємо $a^2$ і $-3a$: $1>0$. Це вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки: $9a^2-4<9a^2$. Віднімаємо $9a^2$: $-4<0$. Вірно.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $6a-6-10a-15>-4a-32\Rightarrow -4a-21>-4a-32$. Додаємо $4a$: $-21>-32$. Вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2-5a-14<a^2-5a+4$. Скорочуємо $a^2$ і $-5a$: $-14<4$. Вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $a^2-4a-5<a^2-4a+4$. Скорочуємо $a^2$ і $-4a$: $-5<4$. Вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $a^2+8a+16>a^2+8a$. Скорочуємо $a^2$ і $8a$: $16>0$. Вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дужки: $a^2-8a+16+3a>a^2-5a+1\Rightarrow a^2-5a+16>a^2-5a+1$. Скорочуємо $a^2$ і $-5a$: $16>1$. Вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Записуємо як повний квадрат: $(3a-2{)}^2\ge 0$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, нерівність вірна.

2. Пункт б): Розкриваємо дужки: $a^2+6a+1\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2+2a+1\ge 0$. Це $(a+1{)}^2\ge 0$, що вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+2a+1\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2-2a+1\ge 0$. Це $(a-1{)}^2\ge 0$, що вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки: $(a^2+6a+9)+(a^2-6a+9)\ge 18\Rightarrow 2a^2+18\ge 18$. Віднімаємо $18$: $2a^2\ge 0$. Оскільки $a^2\ge 0$, то $2a^2\ge 0$ вірно.

5. Пункт ґ: Розкриваємо дужки: $100+20a\le a^2+20a+100$. Віднімаємо $100$ і $20a$: $0\le a^2$. Це вірно.

6. Пункт д): Множимо на 4: $a^2+4\ge 4a$. Переносимо $4a$: $a^2-4a+4\ge 0$. Це $(a-2{)}^2\ge 0$, що вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо дужки в лівій частині: $4a^2-12a+9$. Зауважуємо, що це повний квадрат $(2a-3{)}^2$. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(2a-3{)}^2⩾0$. Нерівність доведено.

2. Пункт б): Переносимо $6a-1$ у ліву частину: $a^2+4a-6a+1⩾0$, що дає $a^2-2a+1⩾0$. Це повний квадрат $(a-1{)}^2⩾0$, що завжди вірно.

3. Пункт в): Розкриваємо дужки: $a^2+6a+9⩾12a$. Переносимо $12a$ у ліву частину: $a^2-6a+9⩾0$. Це повний квадрат $(a-3{)}^2⩾0$, що вірно.

4. Пункт г): Розкриваємо дужки у лівій частині: $a^2-4a+4+a^2+4a+4=2a^2+8$. Переносимо $8$ у ліву частину: $2a^2⩾0$. Оскільки $a^2⩾0$, то $2a^2⩾0$ також вірно.

5. Пункт ґ): Розкриваємо дужки в правій частині: $(a-6{)}^2=a^2-12a+36$. Переносимо $12(3-a)$ у праву частину (або розкрито вираз переносимо): $a^2-12a+36-36+12a⩾0$, що спрощується до $a^2⩾0$. Це завжди вірно.

6. Пункт д): Розкриваємо дріб: $\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2}⩾a$. Переносимо всі доданки в ліву частину: $a^2-2a+1⩾0$. Це повний квадрат $(a-1{)}^2⩾0$, що вірно.

Розв’язання

1. Пункт а): Групуємо доданки: $(a^2+2a+1)+1=(a+1{)}^2+1$. Оскільки $(a+1{)}^2⩾0$, то сума з $1$ завжди більша за $0$. Нерівність доведено.

2. Пункт б): Переносимо $2a$: $a^2-2a+3>0$. Додаємо і віднімаємо $1$: $(a-1{)}^2+2>0$. Оскільки квадрат невід'ємний, то сума з $2$ завжди додатна.

3. Пункт в): Розглядаємо вираз як повний квадрат: $2(a^2-5a+12,5)$. Краще розкрити дужки в початковому вигляді або поділити на $2$: $a^2-5a+12,5>0$. Дискримінант $D=25-4\cdot 12,5<0$, значить коренів немає і парабола зворотно спрямована. Або: $(a-2,5{)}^2+6,25>0$.

4. Пункт г): Переносимо $2a$: $3a^2-2a+1>0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0$. Оскільки коефіцієнт при $a^2$ додатний і коренів немає, вираз завжди додатний.

5. Пункт ґ): Переносимо $16a$: $a^2-16a+65>0$. Дискримінант $D=256-260=-4<0$. Коефіцієнт при $a^2$ додатний, отже вираз завжди додатний.

6. Пункт д): Переносимо $18a^2$: $a^4-18a^2+82>0$. Це квадрат двочлена: $(a^2-9{)}^2+82-81=(a^2-9{)}^2+1>0$. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

Розв’язання

1. Пункт а): Переносимо нічого (вже в лівій частині). Записуємо як повний квадрат: $(a-1{)}^2+4$. Оскільки $(a-1{)}^2⩾0$, то сума з $4$ завжди більша за $0$.

2. Пункт б): Переносимо $4a$: $a^2-4a+5>0$. Записуємо як повний квадрат: $(a-2{)}^2+1>0$. Сума квадрата та одиниці завжди додатна.

3. Пункт в): Розглядаємо вираз $2a^2+6a+9$. Дискримінант $D=6^2-4\cdot 2\cdot 9=36-72=-36<0$. Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $a^2$ додатний, вираз завжди додатний. Також можна поділити на $2$: $(a+1,5{)}^2+4,5>0$.

4. Пункт г): Переносимо $2a$: $2a^2-2a+1>0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$. Коефіцієнт при $a^2$ додатний, отже вираз завжди додатний.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а): $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$. Оскільки корені рівняння $x^2-3x+2=0$ дорівнюють $1$ і $2$, то парабола відкривається вгору і знаходиться вище осі $Ox$ при $x<1$. Отже, для всіх $x<0$ виконується $(x-1)(x-2)>0$.

2. Розглянемо пункт б): Перепишемо як $x^2-10x+9>0$. Корені рівняння $x^2-10x+9=0$ дорівнюють $1$ і $9$. Парабола лежить вище осі при $x<1$ або $x>9$. Оскільки $x<0$, то умова виконується.

3. Розглянемо пункт в): $(x-3)(3-x)=-(x-3{)}^2$. Квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому $-(x-3{)}^2\le 0$. Рівність нулю можлива лише при $x=3$, але за умовою $x<0$, отже, вираз завжди від'ємний: $(x-3)(3-x)<0$.

4. Розглянемо пункт г): $(2-x)(x-3)=-x^2+5x-6$. Корені рівняння $-x^2+5x-6=0$ дорівнюють $2$ і $3$. Парабола відкривається вниз і знаходиться нижче осі між коренями ($2<x<3$). Поза цією областю вона вище осі. Але за умовою $x<0$, що є частиною області, де парабола лежить вище осі? Ні, перевіримо знаки множників: при $x<0$, $(2-x)>0$ (додатний), а $(x-3)<0$ (від'ємний). Добуток додатного на від'ємне є від'ємним. Отже, $(2-x)(x-3)<0$.

Розв’язання

1. Пункт а): $(x+3)(x+7)=x^2+10x+21$. Корені рівняння $x^2+10x+21=0$ дорівнюють $-3$ і $-7$. Парабола лежить вище осі при $x<-7$ або $x>-3$. Оскільки за умовою $x>0$, то умова виконується.

2. Пункт б): Вираз $-x(x+2)(x+4)$. При $x>0$: множник $-x$ від'ємний, $(x+2)$ додатний, $(x+4)$ додатний. Добуток трьох множників, де один від'ємний і два додатні, завжди від'ємний. Отже, $-x(x+2)(x+4)<0$.

3. Пункт в): Перепишемо як $x^2+5x+2>0$. Дискримінант $D=25-8=17$. Корені: $\frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}$. Парабола лежить вище осі поза коренями. Оскільки $x>0$, а менший корінь від'ємний, більший додатний ($\approx -0.56$), то для всіх $x>0$ (окрім невеликого відрізка біля нуля? Ні, корені: $\frac{-5+4,12}{2}\approx -0,44$ і $\frac{-5-4,12}{2}\approx -4,56$. Обидва корені від'ємні!). Отже, при $x>0$ тричлен завжди додатний.

Розв’язання

1. Пункт а): Оскільки $c>0$, то за нерівністю про середнє арифметичне і геометричне маємо $\frac{c+\frac{1}{c}}{2}\ge \sqrt{c\cdot \frac{1}{c}}=\sqrt{1}=1$. Помноживши на 2, отримуємо $c+\frac{1}{c}\ge 2$. Рівність досягається при $c=1$.

2. Пункт б): Розкриємо дужки у виразі $9c+\frac{1}{c}-6$ або зведемо до спільного знаменника: $\frac{9c^2-6c+1}{c}=\frac{(3c-1{)}^2}{c}$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $c>0$, то дріб завжди $\ge 0$. Отже, $9c+\frac{1}{c}\ge 6$. Рівність при $c=\frac{1}{3}$.

3. Пункт в): Розкриємо дужки: $(c+1)\left(\frac{1}{c}+1\right)=c\cdot \frac{1}{c}+c+\frac{1}{c}+1=1+c+\frac{1}{c}+1=c+\frac{1}{c}+2$. З пункту а) знаємо, що $c+\frac{1}{c}\ge 2$. Тоді $c+\frac{1}{c}+2\ge 2+2=4$. Отже, $(c+1)\left(\frac{1}{c}+1\right)\ge 4$. Рівність при $c=1$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо вираз: $b+\frac{4}{b}-4=\frac{b^2-4b+4}{b}=\frac{(b-2{)}^2}{b}$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, а $b>0$, то $\frac{(b-2{)}^2}{b}\ge 0$, отже $b+\frac{4}{b}\ge 4$.

2. б) Перетворимо вираз: $25b+\frac{1}{b}-10=\frac{25b^2-10b+1}{b}=\frac{(5b-1{)}^2}{b}$. Оскільки $(5b-1{)}^2\ge 0$ і $b>0$, то $\frac{(5b-1{)}^2}{b}\ge 0$, отже $25b+\frac{1}{b}\ge 10$.

3. в) Розкриємо дужки: $(b+2)\left(\frac{2}{b}+1\right)=2+b+\frac{4}{b}+2=b+\frac{4}{b}+4$. З попереднього пункту а) знаємо, що $b+\frac{4}{b}\ge 4$, тому $b+\frac{4}{b}+4\ge 4+4=8$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо на суму квадратів: $a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2}{)}^2+\frac{3}{4}{b}^2$. Оскільки квадрати невід'ємні, то сума $\ge 0$.

2. б) Групуємо за змінними: $(a+2{)}^2+(b-5{)}^2=a^2+4a+4+b^2-10b+25=a^2+4a+b^2-10b+29$. Оскільки сума квадратів $\ge 0$, нерівність виконується.

3. в) Перенесемо праву частину: $a^2+b^2+2-2a-2b=(a-1{)}^2+(b-1{)}^2$. Оскільки $(a-1{)}^2\ge 0$ і $(b-1{)}^2\ge 0$, то сума $\ge 0$, отже $a^2+b^2+2\ge 2(a+b)$.

4. г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $a$: $8a^2+(14b)a+(7b^2+1)$. Дискримінант $D_a=(14b{)}^2-4\cdot 8\cdot (7b^2+1)=196b^2-32(7b^2+1)=196b^2-224b^2-32=-28b^2-32$. Оскільки $D_a<0$ при будь-яких $a,b$, а коефіцієнт при $a^2$ додатний ($8>0$), то тричлен завжди додатний.

5. д) Розкриємо дужки в лівій частині: $(a+b+1{)}^2=a^2+b^2+1+2ab+2a+2b$. Перенесемо все вправо: $3(a^2+b^2+1)-(a^2+b^2+1+2ab+2a+2b)=2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2$. Поділимо на 2: $a^2+b^2-ab-a-b+1$. Перетворимо на суму квадратів: $\frac{1}{2}(a-b{)}^2+\frac{1}{2}(a-1{)}^2+\frac{1}{2}(b-1{)}^2\ge 0$. Отже, нерівність виконується.

Розв’язання

1. а) Групуємо за змінними: $(a^2-2a+1)+(b^2+6b+9)=(a-1{)}^2+(b+3{)}^2$. Оскільки сума квадратів $\ge 0$, то $a^2-2a+b^2+6b+10\ge 0$.

2. б) Перенесемо праву частину вліво: $a^2-2a+b^2-2b+c^2-2c+3=(a-1{)}^2+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2$. Оскільки сума квадратів невід'ємна, нерівність виконується.

3. в) Помножимо на 2: $2(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2$. За властивістю $x^2+y^2\ge 2xy$ маємо $a^2+b^2\ge 2ab$, $b^2+c^2\ge 2bc$, $c^2+a^2\ge 2ac$. Складаючи ці нерівності: $2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$, звідки $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

4. г) Розглянемо як квадратний тричлен відносно $c$: $5c^2+(2a)c+(2a^2+1)$. Дискримінант $D_c=(2a{)}^2-4\cdot 5\cdot (2a^2+1)=4a^2-40a^2-20=-36a^2-20$. Оскільки $D_c<0$ і коефіцієнт при $c^2$ додатний ($5>0$), то тричлен завжди додатний.

Розв’язання

1. Пункт а): Запишемо $12a+3b$ як суму двох добутків: $6\cdot 2a+3\cdot b$. Застосуємо нерівність $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ до виразу $\frac{6\cdot 2a+3\cdot b}{2}\ge \sqrt{(6\cdot 2a)\cdot (3\cdot b)}$, що дає $12a+3b\ge 2\sqrt{36ab}=12\sqrt{ab}$.

2. Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^2+2)(b^2+4)(c^2+8)$. Застосуємо нерівність $x^2+y^2\ge 2xy$ (або $x+y\ge 2\sqrt{xy}$) до кожного множника окремо: $a^2+2\ge 2\sqrt{2}a$, $b^2+4\ge 4b$, $c^2+8\ge 4\sqrt{2}c$. Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^2+2)(b^2+4)(c^2+8)\ge (2\sqrt{2}a)(4b)(4\sqrt{2}c)=64abc$.

3. Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(3a+b)\left(\frac{1}{3a}+\frac{1}{b}\right)=3a\cdot \frac{1}{3a}+3a\cdot \frac{1}{b}+b\cdot \frac{1}{3a}+b\cdot \frac{1}{b}=1+\frac{3a}{b}+\frac{b}{3a}+1=2+\frac{3a}{b}+\frac{b}{3a}$. Застосуємо нерівність $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ до двох останніх доданків: $\frac{3a}{b}+\frac{b}{3a}\ge 2\sqrt{\frac{3a}{b}\cdot \frac{b}{3a}}=2$. Отже, вираз дорівнює $2+2=4$.

4. Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму трьох доданків: $a^4+b^4+c^2+c^2\ge 4abc$. Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^4,b^4,c^2,c^2$: $\frac{a^4+b^4+c^2+c^2}{4}\ge \sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^2\cdot c^2}=\sqrt[4]{a^4{b}^4{c}^4}=abc$. Помноживши на 4, отримаємо $a^4+b^4+2c^2\ge 4abc$.

Розв’язання

1. Пункт а): Запишемо $2a+8b$ як суму двох добутків: $4\cdot a+4\cdot 2b$. Застосуємо нерівність $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ до виразу $\frac{4a+8b}{2}\ge \sqrt{(4a)(8b)}$, що дає $2a+8b\ge 2\sqrt{32ab}=2\cdot 4\sqrt{2}\sqrt{ab}=8\sqrt{2ab}$? Ні, краще так: $2a+8b=2(a+4b)$. Застосуємо нерівність до $a$ та $4b$: $a+4b\ge 2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}$. Помноживши на 2, отримаємо $2a+8b\ge 8\sqrt{ab}$.

2. Пункт б): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a^2+2)(b^2+3)(c^2+6)$. Застосуємо нерівність $x^2+y^2\ge 2xy$ до кожного множника окремо: $a^2+2\ge 2\sqrt{2}a$, $b^2+3\ge 2\sqrt{3}b$, $c^2+6\ge 2\sqrt{6}c$. Перемноживши ці три нерівності, отримаємо $(a^2+2)(b^2+3)(c^2+6)\ge (2\sqrt{2}a)(2\sqrt{3}b)(2\sqrt{6}c)=8\sqrt{36}abc=8\cdot 6abc=48abc$.

3. Пункт в): Розкриємо дужки в лівій частині: $(a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}\right)=a\cdot \frac{1}{a}+a\cdot \frac{1}{2b}+2b\cdot \frac{1}{a}+2b\cdot \frac{1}{2b}=1+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a}+1=2+\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a}$. Застосуємо нерівність $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ до двох останніх доданків: $\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{2b}\cdot \frac{2b}{a}}=2$. Отже, вираз дорівнює $2+2=4$.

4. Пункт г): Розглянемо ліву частину як суму чотирьох доданків: $a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd$. Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і геометричним до чотирьох невід'ємних чисел $a^4,b^4,c^4,d^4$: $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}\ge \sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=\sqrt[4]{(abcd{)}^4}=abcd$. Помноживши на 4, отримаємо $a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd$.

Розв’язання

1. Розглянемо вираз $(x-y{)}^2$. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(x-y{)}^2\ge 0$.

2. Розкриємо дужки у виразі $(x-y{)}^2$: $x^2-2xy+y^2\ge 0$.

3. Додамо до обох частин нерівності $2xy$: $x^2+y^2\ge 2xy$.

Розв’язання

1. Розкриємо дужки у виразі $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

2. Порівняємо з першим виразом $a^2+b^2$. Різниця дорівнює $(a^2+2ab+b^2)-(a^2+b^2)=2ab$.

3. У пункті а) числа додатні, отже добуток $ab>0$, тому квадрат суми більший. У пункті б) числа від'ємні, але їхній добуток $ab$ додатний (мінус помножений на мінус дає плюс), тому знову квадрат суми більший.

Розв’язання

1. Помножимо обидві частини нерівності на 4, щоб позбутися дробів: $2(a^2+b^2)\ge (a+b{)}^2$.

2. Розкриємо дужки у правій частині: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

3. Перенесемо всі доданки в ліву частину: $2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)\ge 0$, що дає $a^2-2ab+b^2\ge 0$.

4. Записуємо це як $(a-b{)}^2\ge 0$, що є істинним для будь-яких дійсних чисел $a$ і $b$.

Розв’язання

1. а) 1. Запишемо перший доданок як $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, другий як $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ і так далі.

2. Сума всіх членів: $(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$.

3. Після скорочення залишається $1-\frac{1}{100}=0,99$, що менше за 1.
   б) 1. Оцінимо кожен член: $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ для $k>1$.

4. Сума почне з $\frac{1}{4}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$.

5. Скорочення дасть $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=0,75-0,01=0,74<1$. (Або простіше: сума менша за $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots$, але краще використати оцінку через розщеплення).

Розв’язання

1. Виразимо $b$ з умови рівняння: $3b=12-2a\Rightarrow b=4-\frac{2}{3}a$. Оскільки $b>0$, маємо $4-\frac{2}{3}a>0\Rightarrow a<6$. Також $a>0$.

2. Запишемо вираз для добутку: $ab=a\left(4-\frac{2}{3}a\right)=4a-\frac{2}{3}{a}^2$.

3. Знайдемо вершину параболи $y=-\frac{2}{3}{x}^2+4x$ (вона відкрита вниз, тому це максимум). Координата вершини $x_0=-\frac{b_{коеф}}{2a_{коеф}}=-\frac{4}{2\cdot (-\frac{2}{3})}=\frac{4}{\frac{4}{3}}=3$.

4. Знайдемо значення $b$ при $a=3$: $b=4-\frac{2}{3}\cdot 3=4-2=2$. Перевірка: $2(3)+3(2)=6+6=12$.

5. Обчислимо максимальний добуток: $ab=3\cdot 2=6$.

Розв’язання

1. а) ОДЗ: $x\ne -3$. Помножимо на $x+3$: $4=-2x(x+3)$. Розкриємо дужки: $4=-2x^2-6x$. Перенесемо все вліво: $2x^2+6x+4=0$. Поділимо на 2: $x^2+3x+2=0$. Знайдемо корені за формулою або розкладанням: $(x+1)(x+2)=0$, отже $x_1=-1,x_2=-2$. Обидва корені входять до ОДЗ.

2. б) ОДЗ: $x\ne -3$ і $x\ne 1$. Спільний знаменник $(x+3)(x-1)$. Помножимо на нього: $3(x-1)+5x(x+3)=(x+3)(x-1)$. Розкриємо дужки: $3x-3+5x^2+15x=x^2+2x-3$. Зведемо до стандартного вигляду: $4x^2+16x=0$. Виносимо спільний множник: $4x(x+4)=0$. Корені: $x_1=0,x_2=-4$. Обидва корені входять до ОДЗ.