Сторінка 257

Розв’язання

1. Складемо число за умовою: $x278$, де $x$ — це невідома цифра.

2. Знайдемо суму відомих цифр: $2+7+8=17$.

3. Знайдемо найменше натуральне число, яке більше за 17 і ділиться на 9 (це 18).

4. Визначимо пропущену цифру: $x=18-17=1$.

Розв’язання

1. Для числа 240: $240:2=120$; $120:2=60$; $60:2=30$; $30:2=15$; $15:3=5$; $5:5=1$. Отже, $240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^4\cdot 3\cdot 5$.

2. Для числа 350: $350:2=175$; $175:5=35$; $35:5=7$; $7:7=1$. Отже, $350=2\cdot 5\cdot 5\cdot 7=2\cdot 5^2\cdot 7$.

Розв’язання

1. Для чисел 18 і 32: $18=2\cdot 3^2$, $32=2^5$. Спільний множник — лише 2 (степінь 1). НСД(18, 32) = 2. НСК(18, 32) = $2\cdot 3^2\cdot 2^4=2^5\cdot 3^2=288$.

2. Для чисел 42 і 105: $42=2\cdot 3\cdot 7$, $105=3\cdot 5\cdot 7$. Спільні множники — 3 і 7. НСД(42, 105) = $3\cdot 7=21$. НСК(42, 105) = $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$.

3. Для чисел 60, 80 і 140: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, $80=2^4\cdot 5$, $140=2^2\cdot 5\cdot 7$. Спільні множники для всіх трьох — 2 (степінь 2) і 5 (степінь 1). НСД(60, 80, 140) = $2^2\cdot 5=20$. Для НСК беремо найбільші степені всіх простих множників: $2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7=16\cdot 3\cdot 5\cdot 7=1680$.

Розв’язання

1. Розкладаємо числа на прості множники: $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$.

2. Знаходимо НСД (беремо спільні множники з найменшими степенями): $\text{НСД}(36,48)=2^2\cdot 3=12$.

3. Знаходимо НСК (беремо всі множники з найбільшими степенями): $\text{НСК}(36,48)=2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144$.

4. Ділимо НСК на НСД: $144:12=12$.

Розв’язання

1. Розклади на прості множники: $140=2^2\cdot 5\cdot 7$, $175=5^2\cdot 7$, $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.

2. а) Знаходимо НСД пар і трійки: $\text{НСД}(140,175)=5\cdot 7=35$; $\text{НСД}(140,210)=2^2\cdot 5=20$; $\text{НСД}(140,175,210)=5\cdot 7=35$.

3. б) Знаходимо НСК пар і трійки: $\text{НСК}(140,175)=2^2\cdot 5^2\cdot 7=700$; $\text{НСК}(175,210)=2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7=1050$; $\text{НСК}(140,175,210)=2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7=2100$.

4. в) Прості дільники числа 210: $2,3,5,7$. Сума: $2+3+5+7=17$.

5. г) Дільники числа 175 ($175=5^2\cdot 7$): $(2+1)(1+1)=6$ дільників. Перелічимо: $1,5,7,25,35,175$. Сума: $1+5+7+25+35+175=248$.

Розв’язання

1. Перелічуємо всі числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

2. Парні числа (кінчаються на 2): 132, 312 — всього 2 числа.

3. Непарні числа (кінчаються на 1 або 3): 123, 213, 231, 321 — всього 4 числа.

4. Сума цифр будь-якого з цих чисел дорівнює $1+2+3=6$, яке ділиться на 3. Отже, всі 6 чисел кратні 3.

5. Кратні 6: мають бути парними і кратними 3. З усіх парних (2 числа) обидва кратні 3, отже 2 числа.

6. Кратні 9: сума цифр має ділитися на 9. $1+2+3=6$ не ділиться на 9. Жодне число не є кратним 9.

Розв’язання

1. Знайдемо дільники числа 20: $1,2,4,5,10,20$.

2. Перевіримо кожен натуральний число від 1 до 19 на взаємну простоту з 20 (тобто воно не повинно ділитися на 2, 4, 5 або 10):
   - $1$ — підходить;
   - $3$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить;
   - $7$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить;
   - $9$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить;
   - $11$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить;
   - $13$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить;
   - $17$ — не ділиться на 2 чи 5; підходить.
   (Числа 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 відкидаємо, бо діляться на 2; числа 5, 10, 15 — відкидаємо, бо діляться на 5).

3. Додамо знайдені числа: $1+3+7+9+11+13+17$.
   Сума: $4+7=11$; $11+9=20$; $20+11=31$; $31+13=44$; $44+17=61$.

Розв’язання

1. Знайдемо прості множники числа 60: $2,3,5$. Число має не ділитися на ці три числа.

2. Перевіримо числа від 1 до 39:
   - Парні числа ($2,4,\dots$) відкидаємо.
   - Кратні 3 ($3,6,9,\dots$) відкидаємо.
   - Кратні 5 ($5,10,\dots$) відкидаємо.

3. Перелічимо залишилися числа:
   $1$ (не ділиться ні на що);
   $7$ (просте);
   $11$ (просте);
   $13$ (просте);
   $17$ (просте);
   $19$ (просте);
   $23$ (просте);
   $29$ (просте);
   $31$ (просте);
   $37$ (просте).

Розв’язання

1. Знайдемо перше таке число: $7\cdot 2=14$.

2. Знайдемо наступні чотири числа, додаючи до попереднього 14 (оскільки кожне наступне парне кратне 7 відрізняється на НСК(2, 7) = 14):
   - $14+14=28$;
   - $28+14=42$;
   - $42+14=56$;
   - $56+14=70$.

Розв’язання

1. Позначимо чотири послідовні натуральні числа як $n,n+1,n+2,n+3$.

2. Складемо їхню суму: $S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$.

3. Запишемо вираз у вигляді добутку: $S=2(2n+3)$.

4. Оскільки $n\ge 1$, то $2n+3>1$, отже, сума є добутком двох чисел, більших за 1.

Розв’язання

1. а) Ділимо на 20: $20:60=1:3$.
   б) Помножимо на 10: $4:12$, ділимо на 4: $1:3$.
   в) Перетворимо на дріб: $\frac{1}{0,125}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$, отже $1:0,125=1:\frac{1}{8}=8:1$.
   г) Поділимо дріб на дріб: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{9}$, отже $10:9$.
   д) Перетворимо змішані числа на неправильні: $\frac{9}{5}:\frac{5}{2}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{18}{25}$, отже $18:25$.

Розв’язання

1. Перевіримо добутки пар: $2\cdot 3=6$, $4\cdot 1,5=6$. Отже, можна сформувати пропорцію $\frac{2}{4}=\frac{1,5}{3}$ або $\frac{2}{1,5}=\frac{4}{3}$.

2. Перевіримо інші комбінації: $2\cdot 4=8$, $3\cdot 1,5=4.5$ (не підходить). $2\cdot 1,5=3$, $4\cdot 3=12$ (не підходить).

3. Зверніть увагу, що числа можна ставити в будь-якому порядку, зберігаючи рівність добутків крайніх і середніх членів. Наприклад: $\frac{3}{1,5}=\frac{4}{2}$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $x\cdot 6=3\cdot 7\Rightarrow x=\frac{21}{6}=3,5$.

2. Для пункту б): $x\cdot 5=1,2\cdot 15\Rightarrow x=\frac{18}{5}=3,6$.

3. Для пункту в): $x\cdot 11=0,3\cdot 1001\Rightarrow x=\frac{300,3}{11}=27,3$.

4. Для пункту г): $x\cdot 3,5=7\cdot 2\Rightarrow x=\frac{14}{3,5}=4$.

5. Для пункту д): $9\cdot x=16,2\Rightarrow x=\frac{16,2}{9}=1,8$.

6. Для пункту е): $x\cdot 1,2=18\cdot 5\Rightarrow x=\frac{90}{1,2}=75$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $(0,4a^2{)}^2-2\cdot (0,4a^2)\cdot (5ab)+(5ab{)}^2=0,16a^4-4a^{3}b+25a^2{b}^2$.

2. Для пункту б): $(6,5xy{)}^2+2\cdot (6,5xy)\cdot (8y^2)+(8y^2{)}^2=42,25x^2{y}^2+104x{y}^3+64y^4$.

3. Для пункту в): $(x^2{y}^2{)}^2-2\cdot (x^2{y}^2)\cdot 1+1^2=x^4{y}^4-2x^2{y}^2+1$.

4. Для пункту г): $2^2+2\cdot 2\cdot (a^6{b}^4)+(a^6{b}^4{)}^2=4+4a^6{b}^4+a^{12}{b}^8$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $(-x{)}^2+2\cdot (-x)\cdot y^2+(y^2{)}^2=x^2-2x{y}^2+y^4$.

2. Для пункту б): ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot (-3x^5)+(-3x^5{)}^2=\frac{1}{9}+2x^5+9x^{10}$.

3. Для пункту в): $(-2a^2{)}^2+2\cdot (-2a^2)\cdot (3y^3)+(3y^3{)}^2=4a^4-12a^2{y}^3+9y^6$.

4. Для пункту г): ${\left(-\frac{1}{2}{m}^3\right)}^2+2\cdot \left(-\frac{1}{2}{m}^3\right)\cdot (-0,2n)+(-0,2n{)}^2=0,25m^6+0,2m^{3}n+0,04n^2$.

5. Для пункту д): $(-6x^{2}y{)}^2+2\cdot (-6x^{2}y)\cdot (-0,5y)+(-0,5y{)}^2=36x^4{y}^2+6x{y}^2+0,25y^2$.

Розв’язання

1. Пункт а): Розкриваємо $(3x-5y{)}^2=9x^2-30xy+25y^2$. Розкриваємо $-3x(3x-10y)=-9x^2+30xy$. Додаємо: $9x^2-30xy+25y^2-9x^2+30xy=25y^2$.

2. Пункт б): Розкриваємо $8a(b-2a)=8ab-16a^2$. Розкриваємо $(4a+b{)}^2=16a^2+8ab+b^2$. Додаємо: $8ab-16a^2+16a^2+8ab+b^2=16ab+b^2$.

3. Пункт в): Розкриваємо $(4x+y)(3x+4y)=12x^2+16xy+3xy+4y^2=12x^2+19xy+4y^2$. Розкриваємо $-(2y+3x{)}^2=-(4y^2+12xy+9x^2)=-4y^2-12xy-9x^2$. Додаємо: $12x^2+19xy+4y^2-4y^2-12xy-9x^2=3x^2+7xy$.

4. Пункт г): Розкриваємо $(3a+6b{)}^2=9a^2+36ab+36b^2$. Розкриваємо $-(2a+9b)(3a+4b)=-(6a^2+8ab+27ab+36b^2)=-6a^2-35ab-36b^2$. Додаємо: $9a^2+36ab+36b^2-6a^2-35ab-36b^2=3a^2+ab$.