ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 258

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1239–1251 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 1239

Розклад на множники

а) $x^{3} + x^{2} y + 2 x^{2} + 2 x y$ ; б) $a^{3} c^{2} - a^{2} c^{2} + a^{3} - a^{2}$ ; в) $6 a^{2} b - 18 a^{2} - 3 ab + 9 a$ ; г) $x y z - 4 x z - 5 x y + 20 x$ .

Розв’язання

а) Виділяємо спільний множник $x$ : $x (x^{2} + x y + 2 x + 2 y)$ . Групуємо доданки в дужках: $x [x (x + y) + 2 (x + y)] = x (x + 2) (x + y)$ .
б) Виділяємо спільний множник $a^{2}$ : $a^{2} (a c^{2} - c^{2} + a - 1)$ . Групуємо: $a^{2} [c^{2} (a - 1) + (a - 1)] = a^{2} (a + 1) (c^{2} - 1)$ . Далі розкладаємо різницю квадратів: $a^{2} (a + 1) (c - 1) (c + 1)$ .
в) Виділяємо спільний множник $3 a$ : $3 a (2 ab - 6 a - b + 3)$ . Групуємо: $3 a [2 b (a - 3) - 1 (a - 3)] = 3 a (b - 1) (2 a - 1)$ .
г) Виділяємо спільний множник $x$ : $x (y z - 4 z - 5 y + 20)$ . Групуємо: $x [z (y - 4) - 5 (y - 4)] = x (z - 5) (y - 4)$ .

Відповідь:

а) $x (x + 2) (x + y)$ ; б) $a^{2} (a + 1) (c - 1) (c + 1)$ ; в) $3 a (b - 1) (2 a - 1)$ ; г) $x (z - 5) (y - 4)$ .

Завдання 1240

Розклад на множники

а) $a^{2} - b^{2} - a + b$ ; б) $x + y + x^{2} - y^{2}$ ; в) $4 a^{2} - 9 - 2 a - 3$ ; г) $5 - 3 x + 25 - 9 x^{2}$ .

Розв’язання

а) Групуємо перші два доданки: $(a^{2} - b^{2}) - (a - b) = (a - b) (a + b) - 1 (a - b)$ . Виділяємо $(a - b)$ : $(a - b) (a + b - 1)$ .
б) Групуємо квадрати: $(x^{2} - y^{2}) + (x + y) = (x - y) (x + y) + 1 (x + y)$ . Виділяємо $(x + y)$ : $(x + y) (x - y + 1)$ .
в) Спочатку згрупуємо числа: $(4 a^{2} - 9) - (2 a + 3) = (2 a - 3) (2 a + 3) - 1 (2 a + 3)$ . Виділяємо $(2 a + 3)$ : $(2 a + 3) (2 a - 3 - 1) = (2 a + 3) (2 a - 4)$ . Випускаємо спільний множник $2$ : $2 (2 a + 3) (a - 2)$ .
г) Спочатку згрупуємо числа: $(5 + 25) - (3 x + 9 x^{2}) = 30 - 3 x (1 + 3 x)$ . Тут не виходить простої різниці квадратів, перевіримо умову. У тексті завдання г) написано $5 - 3 x + 25 - 9 x^{2}$ . Складання: $(5 + 25) - (3 x + 9 x^{2}) = 30 - 3 x (1 + 3 x)$ . Якщо це помилка в умові і мало бути $4 a^{2} - 9 - 2 a - 3$ , то відповідь як у пункті в). Якщо ж саме так, то спільного множника немає, окрім $1$ . Перевіримо ще раз: можливо, мається на увазі $(5 - 3 x) + (25 - 9 x^{2})$ ? Ні, це не підходить. Можливо, це $(5 + 25) - (3 x + 9 x^{2}) = 30 - 3 x (1 + 3 x)$ . Це не розкладається на множники надзвичайно просто без додаткових умов. Але якщо припустити, що в умові було $4 a^{2} - 9 - 2 a - 3$ (як у пункті в), то відповідь $(2 a + 3) (2 a - 4)$ . Якщо ж це саме $5 - 3 x + 25 - 9 x^{2}$ , то спільного множника немає, окрім $1$ , і розкладати далі не можна. Однак, часто такі завдання мають вигляд $(5 - 3 x) - (9 x^{2} - 25)$ ? Ні. Давайте припустимо, що це просто сума: $30 - 3 x (1 + 3 x)$ .

Відповідь:

а) $(a - b) (a + b - 1)$ ; б) $(x + y) (x - y + 1)$ ; в) $2 (2 a + 3) (a - 2)$ ; г) $30 - 3 x (1 + 3 x)$ (якщо неможливо розкласти далі).

Завдання 1241

Подача у вигляді добутку

а) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}$ ; б) $a^{2} + 2 a + 1 - b^{2}$ ; в) $x^{2} - y^{2} + 8 y - 16$ ; г) $a^{2} - b^{2} - 14 b - 49$ .

Розв’язання

а) Групуємо перші три доданки: $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) - z^{2} = (x - y)^{2} - z^{2}$ . Це різниця квадратів: $((x - y) - z) ((x - y) + z) = (x - y - z) (x - y + z)$ .
б) Групуємо перші три доданки: $(a^{2} + 2 a + 1) - b^{2} = (a + 1)^{2} - b^{2}$ . Різниця квадратів: $((a + 1) - b) ((a + 1) + b) = (a - b + 1) (a + b + 1)$ .
в) Групуємо квадрати: $(x^{2} - y^{2}) + (8 y - 16) = (x - y) (x + y) + 8 (y - 2)$ . Тут не виходить простої різниці квадратів. Перевіримо групування: $(x^{2} - 16) - (y^{2} - 8 y)$ ? Ні. Спробуємо інше групування: $(x^{2} - y^{2} + 8 y - 16) = (x - y) (x + y) + 8 (y - 2)$ . Не виходить. Можливо, це $(x^{2} - 16) - (y^{2} - 8 y)$ ? Ні. Спробуємо: $x^{2} - (y^{2} - 8 y + 16) = x^{2} - (y - 4)^{2}$ . Так! Це різниця квадратів: $(x - (y - 4)) (x + (y - 4)) = (x - y + 4) (x + y - 4)$ .
г) Групуємо квадрати: $(a^{2} - b^{2}) - (14 b + 49) = (a - b) (a + b) - 7 (2 b + 7)$ . Не виходить. Спробуємо інше групування: $(a^{2} - 49) - (b^{2} + 14 b)$ . Ні. Спробуємо: $(a^{2} - b^{2}) - (14 b + 49) = (a - b) (a + b) - 7 (2 b + 7)$ . Не виходить. Перевіримо ще раз: $a^{2} - (b^{2} + 14 b + 49) = a^{2} - (b + 7)^{2}$ . Так! Це різниця квадратів: $(a - (b + 7)) (a + (b + 7)) = (a - b - 7) (a + b + 7)$ .

Відповідь:

а) $(x - y - z) (x - y + z)$ ; б) $(a - b + 1) (a + b + 1)$ ; в) $(x - y + 4) (x + y - 4)$ ; г) $(a - b - 7) (a + b + 7)$ .

Завдання 1242

Розклад на множники

Подай у вигляді добутку трьох множників: а) $a b^{2} - 4 a - b^{3} + 4 b$ ; б) $x^{3} + x^{2} y - 9 x - 9 y$ .

Розв’язання

а) Групуємо перші два та наступні два доданки: $a (b^{2} - 4) - b (b^{2} - 4)$ . Виділяємо спільний множник $(b^{2} - 4)$ , отримуючи $(b^{2} - 4) (a - b)$ . Дужку $b^{2} - 4$ розкладаємо як різницю квадратів: $(b - 2) (b + 2)$ . Відповідь: $(b - 2) (b + 2) (a - b)$ .
б) Групуємо перші два та наступні два доданки: $x (x^{2} + x y - 9) - 9 y$ — не підходить. Спробуємо групування за іншим принципом: $(x^{3} - 9 x) + (x^{2} y - 9 y)$ . Виділяємо $x$ з першої групи і $y$ з другої: $x (x^{2} - 9) + y (x^{2} - 9)$ .
Виходить спільний множник $(x^{2} - 9)$ , який розкладається на $(x - 3) (x + 3)$ . Відповідь: $(x - 3) (x + 3) (x + y)$ .

Відповідь:

а) $(b - 2) (b + 2) (a - b)$ ; б) $(x - 3) (x + 3) (x + y)$ .

Завдання 1243

Діапазон значень змінної

Визначити, які значення змінної допустимі для дробу (знаменник не може дорівнювати нулю): а) $\frac{a + 2}{a ( 3 - a )}$ ; б) $\frac{x + 1}{( x - 2 ) ( x + 3 )}$ ; в) $\frac{x + 7}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} - 9 )}$ .

Розв’язання

а) Знаменник $a (3 - a) = 0$ , коли $a = 0$ або $3 - a = 0 \Rightarrow a = 3$ . Допустимі значення: $a \neq = 0, 3$ .
б) Знаменник $(x - 2) (x + 3) = 0$ , коли $x = 2$ або $x = - 3$ . Допустимі значення: $x \neq = 2, - 3$ .
в) Знаменник $(x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0$ , коли $x = 2, - 2, 3, - 3$ . Допустимі значення: $x \neq = \pm 2, \pm 3$ .

Відповідь:

а) $a \neq = 0, 3$ ; б) $x \neq = 2, - 3$ ; в) $x \neq = \pm 2, \pm 3$ .

Завдання 1244

Скорочення дробів

Скороти дріб: а) $\frac{( a + x ) ^{2}}{( a + x ) ^{3}}$ ; б) $\frac{x ^{2} y ( 2 - x ) ^{7}}{( x y ^{2} ( 2 - x ) ) ^{6}}$ ; в) $\frac{( 3 + c ) ^{5}}{( c ^{2} + 6 c + 9 ) ^{4}}$ ; г) $\frac{( a ^{2} - 1 ) ^{3}}{( a - 1 ) ^{5}}$ .

Розв’язання

а) Скорочуємо $(a + x)^{2}$ у чисельнику та знаменнику, залишається один $(a + x)$ у знаменнику. Відповідь: $\frac{1}{a + x}$ .
б) Розкриваємо дужки в знаменнику: $(x y^{2} (2 - x))^{6} = x^{6} y^{12} (2 - x)^{6}$ . Скорочуємо $x^{2}$ і $(2 - x)^{7}$ з чисельника. Залишається $x^{- 4} y^{5} (2 - x)^{1}$ , що записується як $\frac{2 - x}{x ^{4} y ^{5}}$ .
в) Розкладаємо знаменник: $c^{2} + 6 c + 9 = (c + 3)^{2}$ . Піднесемо до степеня 4: $((c + 3)^{2})^{4} = (c + 3)^{8}$ . Скорочуємо $(3 + c)^{5}$ , залишається $(c + 3)^{3}$ у знаменнику. Відповідь: $\frac{1}{( c + 3 ) ^{3}}$ .
г) Розкладаємо $a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)$ . Піднесемо до куба: $(a - 1)^{3} (a + 1)^{3}$ . Скорочуємо з $(a - 1)^{5}$ , залишається $(a - 1)^{2}$ у знаменнику. Відповідь: $\frac{( a + 1 ) ^{3}}{( a - 1 ) ^{2}}$ .

Відповідь:

а) $\frac{1}{a + x}$ ; б) $\frac{2 - x}{x ^{4} y ^{5}}$ ; в) $\frac{1}{( c + 3 ) ^{3}}$ ; г) $\frac{( a + 1 ) ^{3}}{( a - 1 ) ^{2}}$ .

Завдання 1245

Спрощення раціонального виразу

$\frac{2 x ^{2} + 7 x y - 9 y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} + \frac{9 x ^{2} - 7 x y - 2 y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}$

Розв’язання

Складемо чисельники: $2 x^{2} + 7 x y - 9 y^{2} + 9 x^{2} - 7 x y - 2 y^{2} = 11 x^{2} - 11 y^{2}$ .
Отримаємо дріб $\frac{11 ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} - y ^{2}}$ .
Скорочуємо спільний множник $(x^{2} - y^{2})$ , залишаючи $11$ (за умови $x \neq = \pm y$ ).

Відповідь:

$11$

Завдання 1246

Спрощення суми дробів

$\frac{x + 2 y}{2 x - y} + \frac{2 x - 2 y}{2 x - y} + \frac{6 x - 3 y}{2 x - y} + \frac{x - 2 y}{2 x - y}$

Розв’язання

Складемо чисельники: $(x + 2 y) + (2 x - 2 y) + (6 x - 3 y) + (x - 2 y) = 10 x - 3 y$ .
Отримаємо дріб $\frac{10 x - 3 y}{2 x - y}$ .
Перевіряємо на можливість скорочення: $10 x - 3 y$ не містить множника $(2 x - y)$ , тому скоротити нічого.

Відповідь:

$\frac{10 x - 3 y}{2 x - y}$

Завдання 1247

Спрощення різниці дробів

а) $\frac{1}{m} - \frac{5}{4 m}$ ; б) $\frac{a}{2 x} - \frac{4 a}{x}$ ; в) $\frac{1}{0 , 5 c} - \frac{2}{c}$

Розв’язання

а) Спільний знаменник $4 m$ . Перетворюємо $\frac{1}{m} = \frac{4}{4 m}$ . Віднімаємо: $\frac{4 - 5}{4 m} = - \frac{1}{4 m}$ .
б) Спільний знаменник $2 x$ . Перетворюємо $\frac{4 a}{x} = \frac{8 a}{2 x}$ . Віднімаємо: $\frac{a - 8 a}{2 x} = - \frac{7 a}{2 x}$ .
в) Спільний знаменник $c$ (оскільки $0, 5 c = \frac{1}{2} c$ ). Перетворюємо $\frac{1}{0 , 5 c} = \frac{2}{c}$ . Віднімаємо: $\frac{2 - 2}{c} = 0$ .

Відповідь:

а) $- \frac{1}{4 m}$ ; б) $- \frac{7 a}{2 x}$ ; в) $0$

Завдання 1248

Спрощення раціональних виразів

а) $\frac{1}{3 a x ^{2}} + \frac{2}{5 a z ^{2}}$ ; б) $\frac{4 m}{3 p ^{2} x} - \frac{1}{5 m ^{2} x}$ ; в) $\frac{4}{a} - \frac{3}{2 a c ^{2} x}$ .

Розв’язання

Для пункту а) знаходимо ССЗ $ССЗ (3 a x^{2}; 5 a z^{2}) = 15 a x^{2} z^{2}$ . Перетворюємо дріб на перший: $\frac{1 \cdot 5 z ^{2}}{15 a x ^{2} z ^{2}}$ , на другий: $\frac{2 \cdot 3 x ^{2}}{15 a x ^{2} z ^{2}}$ . Складаємо чисельники: $5 z^{2} + 6 x^{2}$ . Відповідь: $\frac{5 z ^{2} + 6 x ^{2}}{15 a x ^{2} z ^{2}}$ .
Для пункту б) знаходимо ССЗ $ССЗ (3 p^{2} x; 5 m^{2} x) = 15 m^{2} p^{2} x$ . Перетворюємо дріб на перший: $\frac{4 m \cdot 5 m ^{2}}{15 m ^{2} p ^{2} x} = \frac{20 m ^{3}}{15 m ^{2} p ^{2} x}$ , на другий: $\frac{1 \cdot 3 p ^{2}}{15 m ^{2} p ^{2} x} = \frac{3 p ^{2}}{15 m ^{2} p ^{2} x}$ . Віднімаємо чисельники: $20 m^{3} - 3 p^{2}$ . Відповідь: $\frac{20 m ^{3} - 3 p ^{2}}{15 m ^{2} p ^{2} x}$ .
Для пункту в) знаходимо ССЗ $ССЗ (a; 2 a c^{2} x) = 2 a c^{2} x$ . Перетворюємо дріб на перший: $\frac{1 \cdot 2 c ^{2} x}{2 a c ^{2} x}$ , на другий: $\frac{3 \cdot a}{2 a c ^{2} x} = \frac{3 a}{2 a c ^{2} x}$ . Віднімаємо чисельники: $2 c^{2} x - 3 a$ . Відповідь: $\frac{2 c ^{2} x - 3 a}{2 a c ^{2} x}$ .

Відповідь:

а) $\frac{5 z ^{2} + 6 x ^{2}}{15 a x ^{2} z ^{2}}$ ; б) $\frac{20 m ^{3} - 3 p ^{2}}{15 m ^{2} p ^{2} x}$ ; в) $\frac{2 c ^{2} x - 3 a}{2 a c ^{2} x}$ .

Завдання 1249

Ділення алгебраїчних дробів

а) $\frac{2 a x}{3 c ^{2}} : \frac{4 a x ^{2}}{9 c ^{3}}$ ; б) $\frac{a ^{3} c ^{2}}{5 x y} : \frac{2 a ^{2} c ^{3}}{3 x ^{2} y}$ ; в) $\frac{12 m n ^{3}}{5 a c ^{2}} : \frac{3 m n ^{2}}{10 a ^{2}}$ .

Розв’язання

Для пункту а) $\frac{2 a x}{3 c ^{2}} \cdot \frac{9 c ^{3}}{4 a x ^{2}}$ . Скорочуємо $2$ і $4$ на $2$ , $a x$ скорочуються, $c^{2}$ і $c^{3}$ дають $c$ . Залишається $\frac{1}{1} \cdot \frac{9 c}{2 x} = \frac{9 c}{2 x}$ .
Для пункту б) $\frac{a ^{3} c ^{2}}{5 x y} \cdot \frac{3 x ^{2} y}{2 a ^{2} c ^{3}}$ . Скорочуємо $a^{3}$ і $a^{2}$ на $a^{2}$ , $c^{2}$ і $c^{3}$ на $c^{2}$ , $x$ і $x^{2}$ на $x$ , $y$ скорочуються. Залишається $\frac{1}{5} \cdot \frac{3 x}{2 c} = \frac{3 x}{10 c}$ .
Для пункту в) $\frac{12 m n ^{3}}{5 a c ^{2}} \cdot \frac{10 a ^{2}}{3 m n ^{2}}$ . Скорочуємо $12$ і $3$ на $3$ , $10$ і $5$ на $5$ , $m$ скорочуються, $n^{3}$ і $n^{2}$ на $n^{2}$ , $a$ і $a^{2}$ на $a$ . Залишається $\frac{4 \cdot 2 \cdot n}{1 \cdot 1 \cdot c} = \frac{8 n}{c}$ .

Відповідь:

а) $\frac{9 c}{2 x}$ ; б) $\frac{3 x}{10 c}$ ; в) $\frac{8 n}{c}$ .

Завдання 1250

Множення та ділення дробів зі зведенням до спільного знаменника

а) $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{( a + b ) ^{2}} \cdot \frac{3 a + 3 b}{4 a - 4 b}$ ; б) $\frac{5 - 5 a}{( 1 + a ) ^{2}} : \frac{10 - 10 a ^{2}}{3 + 3 a}$ .

Розв’язання

Для пункту а) $\frac{( a - b ) ( a + b )}{( a + b ) ^{2}} \cdot \frac{3 ( a + 1 )}{4 ( a - 1 )}$ . Тут помилка в умові завдання на зображенні (у знаменнику другого дробу має бути $4 a - 4 b = 4 (a - b)$ , а не $4 a - 4$ ). Припускаємо стандартний вигляд: $\frac{( a - b ) ( a + b )}{( a + b ) ^{2}} \cdot \frac{3 ( a + 1 )}{4 ( a - b )}$ . Скорочуємо $(a + b)$ і $(a - b)$ . Залишається $\frac{a + b}{a + b} \cdot \frac{3 ( a + 1 )}{4} = \frac{3 ( a + 1 )}{4}$ . Якщо ж другий дріб $\frac{3 a + 3 b}{4 a - 4 b} = \frac{3 ( a + b )}{4 ( a - b )}$ , то результат $\frac{( a - b ) ( a + b )}{( a + b ) ^{2}} \cdot \frac{3 ( a + b )}{4 ( a - b )} = \frac{3 ( a + b )}{4 ( a + b )} = \frac{3}{4}$ . Перевіримо умову: $4 a - 4 b$ — це логічно. Відповідь $\frac{3}{4}$ .
Для пункту б) $\frac{5 ( 1 - a )}{( 1 + a ) ^{2}} : \frac{10 ( 1 - a ^{2} )}{3 ( 1 + a )}$ . Розкладаємо $1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a)$ . Ділення на множення: $\frac{5 ( 1 - a )}{( 1 + a ) ^{2}} \cdot \frac{3 ( 1 + a )}{10 ( 1 - a ) ( 1 + a )}$ . Скорочуємо $(1 - a)$ , $(1 + a)$ у знаменнику і чисельнику. Залишається $\frac{5}{1} \cdot \frac{3}{10 ( 1 + a )} = \frac{15}{10 ( 1 + a )} = \frac{3}{2 ( 1 + a )}$ .

Відповідь:

а) $\frac{3}{4}$ ; б) $\frac{3}{2 ( 1 + a )}$ .

Завдання 1251

Множення та ділення дробів зі складними виразами

а) $(\frac{a}{4 b} - \frac{b}{4 a}) \cdot (\frac{( a + b ) ^{2}}{( a - b ) ^{2}} - 1)$ ; б) $(\frac{a ^{2} b ^{- 3}}{6 c})^{- 3} : (\frac{a ^{3} b ^{- 5}}{9 c})^{- 2}$

Розв’язання

Розв'язуємо пункт а): Скорочуємо дріб $\frac{a}{4 b} - \frac{b}{4 a}$ до спільного знаменника $4 ab$ , отримуючи $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{4 ab}$ .
Спрощуємо другий множник: $\frac{( a + b ) ^{2}}{( a - b ) ^{2}} - 1 = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a - b ) ^{2}}{( a - b ) ^{2}} = \frac{4 ab}{( a - b ) ^{2}}$ (оскільки $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4 x y$ ).
Перемножуємо результати: $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{4 ab} \cdot \frac{4 ab}{( a - b ) ^{2}} = \frac{( a - b ) ( a + b )}{1} \cdot \frac{1}{( a - b ) ^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$ .
Розв'язуємо пункт б): Спрощуємо перший дріб: $(\frac{a ^{2} b ^{- 3}}{6 c})^{- 3} = (\frac{6 c b ^{3}}{a ^{2}})^{3} = \frac{216 c ^{3} b ^{9}}{a ^{6}}$ .
Спрощуємо другий дріб: $(\frac{a ^{3} b ^{- 5}}{9 c})^{- 2} = (\frac{9 c b ^{5}}{a ^{3}})^{2} = \frac{81 c ^{2} b ^{10}}{a ^{6}}$ .
Виконуємо ділення: $\frac{216 c ^{3} b ^{9}}{a ^{6}} : \frac{81 c ^{2} b ^{10}}{a ^{6}} = \frac{216 c ^{3} b ^{9}}{a ^{6}} \cdot \frac{a ^{6}}{81 c ^{2} b ^{10}}$ .
Скорочуємо числа ( $216 : 81 = 8/3$ ), $c$ , $a$ , $b$ : $\frac{8}{3} \cdot \frac{c ^{3}}{c ^{2}} \cdot \frac{b ^{9}}{b ^{10}} = \frac{8 c}{3 b}$ .

Відповідь:

а) $\frac{a + b}{a - b}$ ; б) $\frac{8 c}{3 b}$