Сторінка 256

Розв’язання

1. а) Спочатку знайдемо суму в дужках: $13843+787=14630$.

2. Далі виконаємо додавання: $40784+846=41630$.

3. Останнім кроком віднімемо отримане значення: $41630-14630=27000$.

4. б) Спочатку виконаємо дії в дужках зліва направо: $52-36=16$; $16+320=336$; $336-96=240$.

5. Потім поділимо отриману суму на 4: $240:4=60$.

Розв’язання

1. а) Знайдемо різницю в дужках: $44,8-38,2=6,6$.

2. Поділимо перше число на результат: $12,54:6,6=1,9$.

3. Обчислимо добуток другого доданка: $5,4\cdot 1,5=8,1$.

4. Додамо частки: $1,9+8,1=10$.

5. б) Спочатку знайдемо різницю в дужках: $21,7-15,8=5,9$.

6. Помножимо на коефіцієнт перед дужками: $0,8\cdot 5,9=4,72$.

7. Поділимо перше число на 36: $507,24:36=14,1$.

8. Додамо частину та добуток: $14,1+4,72=18,82$.

Розв’язання

1. а) Перетворимо мішані дроби на десяткові: $2\frac{3}{4}=2,75$; $2\frac{3}{8}=2,375$.

2. Виконаємо віднімання в дужках: $2,75-2,375-0,3=0,375-0,3=0,075$.

3. Поділимо результат на 6: $0,075:6=0,0125$.

4. б) Перетворимо мішані дроби на десяткові: $5\frac{9}{25}=5,36$; $3\frac{4}{5}=3,8$.

5. Знайдемо значення першого дужкового виразу: $5,36-2,36=3$.

6. Знайдемо значення другого дужкового виразу: $3,8+0,2=4$.

7. Поділимо перше число на друге: $3:4=0,75$.

Розв’язання

1. Пункт а): Спочатку ділимо $0,5$ на $4$, отримуючи $0,12$. Віднімаємо це від $0,3$: $0,3-0,12=0,18$.

2. Множимо результат на $\frac{2}{3}$: $0,18\cdot \frac{2}{3}=0,12\cdot 2=0,24$.

3. Ділимо отримане число на $1,75$: $0,24:1,75=\frac{24}{100}:\frac{175}{100}=\frac{24}{175}$.

4. Віднімаємо $\frac{1}{6}$ від $\frac{24}{175}$: спільний знаменник $175\cdot 6=1050$. Чисельник: $24\cdot 6-1\cdot 175=144-175=-31$. Відповідь: $-\frac{31}{1050}$.
   Увага: Перевіримо розрахунок через звичайні дроби для точності. $0,3=\frac{3}{10}$, $0,5=\frac{1}{2}$. $\frac{1}{2}:4=\frac{1}{8}$. $\frac{3}{10}-\frac{1}{8}=\frac{12-5}{40}=\frac{7}{40}$. $\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{40}=\frac{14}{120}=\frac{7}{60}$. $\frac{7}{60}:1,75=\frac{7}{60}:\frac{7}{4}=\frac{7}{60}\cdot \frac{4}{7}=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$. Тепер віднімаємо $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{15}-\frac{1}{6}=\frac{2-5}{30}=-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}$.
   Відповідь для а): $-\frac{1}{10}$ (або $-0,1$).

5. Пункт б): Спочатку перетворимо змішані числа на неправильні: $2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$, $2\frac{3}{5}=\frac{13}{5}$.

6. Ділимо $\frac{13}{6}$ на $13$: $\frac{13}{6}:13=\frac{1}{6}$.

7. У дужках додаємо: $3,25+2\frac{1}{6}=\frac{13}{4}+\frac{13}{6}$. Спільний знаменник $12$: $\frac{39+26}{12}=\frac{65}{12}$.

8. Ділимо суму на $\frac{13}{5}$: $\frac{65}{12}:\frac{13}{5}=\frac{65}{12}\cdot \frac{5}{13}=\frac{5\cdot 5}{12}=\frac{25}{12}$.

9. Додаємо частки: $\frac{1}{6}+\frac{25}{12}=\frac{2+25}{12}=\frac{27}{12}$. Скорочуємо на $3$: $\frac{9}{4}$.
   Відповідь для б): $2\frac{1}{4}$ (або $2,25$).

Розв’язання

1. Пункт а): Чисельник: $(47-41)(47+41)=6\cdot 88$. Знаменник: $(28-16)(28+16)=12\cdot 44$.

2. Дріб стає $\frac{6\cdot 88}{12\cdot 44}$. Скорочуємо $6$ і $12$ на $6$: отримуємо $\frac{1\cdot 88}{2\cdot 44}$.

3. Скорочуємо $88$ і $44$ на $44$: $\frac{1\cdot 2}{2\cdot 1}=1$.

4. Пункт б): Чисельник: $(57-42)(57+42)=15\cdot 99$. Знаменник: $(29-26)(29+26)=3\cdot 55$.

5. Дріб: $\frac{15\cdot 99}{3\cdot 55}$. Скорочуємо $15$ і $3$ на $3$: $\frac{5\cdot 99}{1\cdot 55}$.

6. Скорочуємо $5$ і $55$ на $5$: $\frac{1\cdot 99}{1\cdot 11}=\frac{99}{11}=9$.

7. Пункт в): Чисельник: $(51-12)(51+12)=39\cdot 63$. Знаменник: $(90-9)(90+9)=81\cdot 99$.

8. Дріб: $\frac{39\cdot 63}{81\cdot 99}$. Скорочуємо $63$ і $99$ на $9$: $\frac{39\cdot 7}{9\cdot 11}$.

9. Скорочуємо $39$ і $9$ на $3$: $\frac{13\cdot 7}{3\cdot 11}=\frac{91}{33}$.

10. Пункт г): Чисельник: $(61-11)(61+11)=50\cdot 72$. Знаменник: $(36-24)(36+24)=12\cdot 60$.

11. Дріб: $\frac{50\cdot 72}{12\cdot 60}$. Скорочуємо $50$ і $60$ на $10$: $\frac{5\cdot 72}{12\cdot 6}$.

12. Скорочуємо $72$ і $6$ на $6$: $\frac{5\cdot 12}{12\cdot 1}=5$.

Розв’язання

1. Пункт а): Перетворимо перший доданок: $6^{32}\cdot 4^{32}=(6\cdot 4{)}^{32}=24^{32}$.

2. Другий доданок є різницею квадратів: $(24^{16}{)}^2-5^2=24^{32}-25$.

3. Віднімаємо другий доданок від першого: $24^{32}-(24^{32}-25)=24^{32}-24^{32}+25=25$.

4. Пункт б): Перший доданок є різницею квадратів: $(56^{10}{)}^2-7^2=56^{20}-49$.

5. Другий доданок перетворюємо на степінь: $7^{20}\cdot 8^{20}=(7\cdot 8{)}^{20}=56^{20}$.

6. Віднімаємо другий доданок від першого: $(56^{20}-49)-56^{20}=56^{20}-56^{20}-49=-49$.

Розв’язання

1. Розкласти кожне число під знаком кореня на множники або знайти цілі числа, які при множенні дають це число (наприклад, $64=8^2$, $900=30^2$).

2. Застосувати властивість $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ для кожного підпункту.

3. Помножити знайдені значення окремих коренів: $8\cdot 30=240$, $5\cdot 14=70$, $7\cdot 26=182$.

Розв’язання

1. Для першого виразу розкладемо множники на квадрати: $\sqrt{0,01\cdot 121}=\sqrt{0,1^2\cdot 11^2}$.

2. Застосуємо властивість кореня з добутку і знайдемо значення: $0,1\cdot 11=1,1$.

3. Для другого виразу аналогічно: $\sqrt{0,04\cdot 169}=\sqrt{0,2^2\cdot 13^2}=0,2\cdot 13=2,6$.

4. Для третього виразу: $\sqrt{0,09\cdot 441}=\sqrt{0,3^2\cdot 21^2}=0,3\cdot 21=6,3$.

Розв’язання

1. а) Розкладаємо на множники: $6=2\cdot 3$, $10=2\cdot 5$, $15=3\cdot 5$. Добуток дорівнює $(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 5)\cdot (3\cdot 5)=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2$. Витягаємо за знак кореня: $\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5^2}=2\cdot 3\cdot 5=30$.

2. б) Розкладаємо на множники: $15=3\cdot 5$, $21=3\cdot 7$, $35=5\cdot 7$. Добуток дорівнює $(3\cdot 5)\cdot (3\cdot 7)\cdot (5\cdot 7)=3^2\cdot 5^2\cdot 7^2$. Витягаємо за знак кореня: $\sqrt{3^2\cdot 5^2\cdot 7^2}=3\cdot 5\cdot 7=105$.

3. в) Розкладаємо на множники: $20=4\cdot 5$, $28=4\cdot 7$, $35=5\cdot 7$. Добуток дорівнює $(4\cdot 5)\cdot (4\cdot 7)\cdot (5\cdot 7)=4^2\cdot 5^2\cdot 7^2$. Витягаємо за знак кореня: $\sqrt{4^2\cdot 5^2\cdot 7^2}=4\cdot 5\cdot 7=140$.

Розв’язання

1. а) Перемножуємо дріби: $\frac{1\cdot 4\cdot 10}{6\cdot 15\cdot 49}=\frac{40}{4410}$. Скорочуємо на 10: $\frac{4}{441}$. Знаходимо корінь: $\sqrt{\frac{4}{441}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{441}}=\frac{2}{21}$.

2. б) Перемножуємо дріби: $\frac{3\cdot 7\cdot 35}{5\cdot 36\cdot 27}$. Скорочуємо $3$ і $36$, а також $7$ і $27$ (на $3$). Отримуємо $\frac{1\cdot 1\cdot 5}{5\cdot 12\cdot 9}=\frac{5}{540}$. Скорочуємо на $5$: $\frac{1}{108}$. Це не квадрат. Перевіримо скорочення ще раз: чисельник $3\cdot 7\cdot 35=735$, знаменник $5\cdot 36\cdot 27=4860$. Дріб $\frac{735}{4860}=\frac{147}{972}=\frac{49}{324}$. Корінь: $\sqrt{\frac{49}{324}}=\frac{7}{18}$.

3. в) Переводимо мішані числа в неправильні: $1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$, $2\frac{7}{10}=\frac{27}{10}$. Добуток: $\frac{6}{5}\cdot \frac{27}{10}=\frac{162}{50}=\frac{81}{25}$. Знаходимо корінь: $\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$.

Розв’язання

1. а) Перемножуємо числа: $44,1\cdot 12,1=533,61$. Знаходимо корінь: $\sqrt{533,61}=23,1$. (Перевірка: $23,1^2=(23+0,1{)}^2=529+4,6+0,01=533,61$).

2. б) Перемножуємо числа: $28,9\cdot 32,4$. Розкладаємо на множники: $28,9=2,9^2$, $32,4=3,24\cdot 10=(1,8{)}^2\cdot 10$. Добуток: $2,9^2\cdot 1,8^2\cdot 10=5,29\cdot 3,24\cdot 10=17,136\cdot 10=171,36$. Корінь із $171,36$ дорівнює $13,1$. (Перевірка: $13,1^2=171,61$ — помилка в обчисленні добутку. Правильний добуток: $28,9\cdot 32,4=936,36$. Корінь із $936,36$ дорівнює $30,6$).

Розв’язання

1. Пункт а): Перетворимо $\frac{12}{25}\cdot \frac{80}{135}$ на неправильний дріб. Скорочуємо чисельник і знаменник на 5 ($\frac{12\cdot 16}{5\cdot 27}$), далі скорочуємо на 3 ($\frac{4\cdot 16}{5\cdot 9}=\frac{64}{45}$). Отримуємо $\sqrt{\frac{64}{45}}$.

2. Пункт б): Перетворюємо змішані числа: $8\frac{1}{9}=\frac{73}{9}$, $1\frac{8}{73}=\frac{81}{73}$. Множимо під коренем: $\frac{73}{9}\cdot \frac{81}{73}=\frac{81}{9}=9$.

Розв’язання

1. Розглядаємо числа послідовно: 17 (просте), 18 (ділиться на 2, 3), 19 (просте), 20 (на 2), 21 (на 3), 22 (на 2), 23 (просте), 24 (на 2), 25 (на 5), 26 (на 2), 27 (на 3), 28 (на 2), 29 (просте), 30 (на 2), 31 (просте), 32 (на 2), 33 (на 3), 34 (на 2).

Розв’язання

1. Перелічимо всі натуральні числа від 22 до 30 (оскільки умовою є $x>21$ і $x<31$).

2. Виключаємо з цього переліку прості числа, знайдені в завданні 1221 (це 23 та 29).