ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 255

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 15–36 · 20 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 15

Зміна кількості робітників

Обсяг робіт збільшився на $50%$ , продуктивність праці — на $20%$ . Потрібно знайти, як змінилася кількість робітників.

Розв’язання

Нехай початковий обсяг робіт $V_{1} = 1$ і початкова продуктивність $P_{1} = 1$ . Тоді початкова кількість робітників $N_{1} = \frac{V _{1}}{P _{1}} = 1$ .
Новий обсяг робіт збільшився на $50%$ , отже $V_{2} = 1 + 0, 5 = 1, 5$ . Продуктивність зросла на $20%$ , тобто $P_{2} = 1 + 0, 2 = 1, 2$ .
Нова кількість робітників $N_{2} = \frac{V _{2}}{P _{2}} = \frac{1 , 5}{1 , 2} = \frac{15}{12} = 1, 25$ .
Порівняємо нову кількість з початковою: $N_{2} = 1, 25 N_{1}$ , що означає збільшення на $25%$ .

Відповідь:

Кількість робітників збільшилася на $25%$ .

Завдання 16 (с. 255)

Розрахунок концентрації розчину

До $18$ кг $10$ -відсоткового розчину кислоти долили $2$ кг води. Потрібно визначити відсоткову концентрацію нового розчину.

Розв’язання

Знайдемо масу кислоти в початковому розчині: $m_{кислоти} = 18 \cdot 0, 1 = 1, 8$ кг.
Визначимо нову масу розчину після додавання води: $m_{новий} = 18 + 2 = 20$ кг.
Обчислимо нову концентрацію: $C = \frac{1 , 8}{20} \cdot 100% = 0, 09 \cdot 100% = 9%$ .

Відповідь:

Концентрація нового розчину дорівнює $9%$ .

Завдання 17 (с. 255)

Змішування розчинів різної концентрації

Потрібно знайти маси $10$ -відсоткового та $20$ -відсоткового розчинів солі, щоб отримати суміш вагою $1$ кг з концентрацією $12%$ .

Розв’язання

Нехай $x$ — маса $10$ -відсоткового розчину, тоді $(1 - x)$ — маса $20$ -відсоткового розчину (в кг).
Складемо рівняння балансу солі: $0, 1 x + 0, 2 (1 - x) = 0, 12 \cdot 1$ .
Розкриємо дужки та спростимо: $0, 1 x + 0, 2 - 0, 2 x = 0, 12 \Rightarrow - 0, 1 x = - 0, 08 \Rightarrow x = 0, 8$ .
Знаходимо другу масу: $1 - 0, 8 = 0, 2$ кг.

Відповідь:

Треба взяти $0, 8$ кг $10$ -відсоткового розчину і $0, 2$ кг $20$ -відсоткового розчину.

Завдання 18 (с. 255)

Змішування розчинів різної концентрації

Потрібно знайти масу 7-відсоткового розчину, яку треба долити до 5 кг 5-відсоткового розчину, щоб отримати суміш з концентрацією 6%.

Розв’язання

Масу солі в 5 кг 5-відсоткового розчину знайдемо: $5 \cdot 0, 05 = 0, 25$ кг.
Масу солі в $x$ кг 7-відсоткового розчину запишемо як $0, 07 x$ .
Загальна маса суміші становитиме $(5 + x)$ кг, а концентрація має бути 6%, отже маса солі в суміші: $0, 06 (5 + x)$ .
Складемо рівняння збереження маси солі: $0, 25 + 0, 07 x = 0, 06 (5 + x)$ . Розкриємо дужки: $0, 25 + 0, 07 x = 0, 3 + 0, 06 x$ .
Перенесемо змінні в одну частину, числа в іншу: $0, 07 x - 0, 06 x = 0, 3 - 0, 25$ , звідки $0, 01 x = 0, 05$ .
Знайдемо $x$ : $x = 0, 05 : 0, 01 = 5$ кг.

Відповідь:

5 кг

Завдання 19 (с. 255)

Розведення розчину прісною водою

Знайти масу прісної води для додавання до 100 кг морської води (5% солі), щоб отримати розчин з концентрацією 1,5%.

Розв’язання

Знайдемо масу солі в 100 кг морської води: $100 \cdot 0, 05 = 5$ кг.
Позначимо масу прісної води через $x$ . Загальна маса нового розчину буде $(100 + x)$ кг.
Масу солі в новому розчині виразимо через його концентрацію: $0, 015 (100 + x)$ .
Складемо рівняння: $5 = 0, 015 (100 + x)$ .
Розкриємо дужки: $5 = 1, 5 + 0, 015 x$ . Перенесемо число 1,5 вліво: $3, 5 = 0, 015 x$ .
Знайдемо $x$ : $x = 3, 5 : 0, 015 = \frac{3500}{15} = \frac{700}{3} \approx 233, 3$ кг.

Відповідь:

приблизно 233,3 кг

Завдання 20 (с. 255)

Розрахунок складу сплаву (латуні)

Визначити масу міді та цинку для виготовлення 500 т латуні, яка складається з 60% міді і 40% цинку.

Розв’язання

Знайдемо масу міді: $500 \cdot 0, 6 = 300$ т.
Знайдемо масу цинку: $500 \cdot 0, 4 = 200$ т.
Перевірка суми: $300 + 200 = 500$ т (збігається з умовою).

Відповідь:

300 т міді та 200 т цинку

Завдання 21 (с. 255)

Визначення відсотку міді в сплаві

Бронза — сплав міді й олова. Знайти відсоток міді у злитку, який містить 17 кг міді та 3 кг олова.

Розв’язання

Знайдемо загальну масу бронзового злитка: $17 кг + 3 кг = 20 кг$ .
Обчислимо частку міді від загальної маси: $\frac{17}{20} \cdot 100% = 85%$ .

Відповідь:

$85%$

Завдання 24 (с. 255)

Сплав золота різних проб

Потрібно знайти масу золота 375-ї проби, яку треба додати до 30 г золота 750-ї проби, щоб отримати сплав 500-ї проби.

Розв’язання

Переведемо проби в десяткові дроби: 750-я проба — $0, 75$ , 375-я проба — $0, 375$ , 500-я проба — $0, 5$ .
Складемо рівняння балансу чистого золота: $30 \cdot 0, 75 + x \cdot 0, 375 = (30 + x) \cdot 0, 5$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $22, 5 + 0, 375 x = 15 + 0, 5 x$ .
Перенесемо змінну в одну частину, число — в іншу: $0, 375 x - 0, 5 x = 15 - 22, 5$ , звідки $- 0, 125 x = - 7, 5$ .
Знайдемо значення $x$ : $x = \frac{- 7 , 5}{- 0 , 125} = 60$ .

Відповідь:

60 г золота 375-ї проби.

Завдання 25 (с. 255)

Виробництво сиру з молока

Із молока жирністю $5%$ виготовляють сир жирністю $15, 5%$ , при цьому залишається сироватка жирністю $0, 5%$ . Потрібно знайти масу отриманого сиру з 100 кг молока.

Розв’язання

Обчислимо кількість чистих жирів у 100 кг молока: $100 \cdot 5% = 5$ кг.
Виразимо масу чистих жирів через частину сиру та сироватки: $x \cdot 15, 5% + (100 - x) \cdot 0, 5% = 5$ .
Переведемо відсотки у десяткові дроби і розкриємо дужки: $0, 155 x + 0, 5 - 0, 005 x = 5$ .
Зведемо подібні доданки: $0, 15 x = 4, 5$ .
Знайдемо $x$ : $x = \frac{4 , 5}{0 , 15} = 30$ .

Відповідь:

30 кг сиру.

Завдання 26 (с. 255)

Розрахунок площі полів

На першому полі житом засіяно $65%$ його площі, на другому — $45%$ . Разом житом засіяно $53%$ від загальної площі обох полів. Потрібно знайти, яку частину всієї засіяної площі становить перше поле.

Розв’язання

Нехай площа першого поля дорівнює $x$ , а другого — $y$ . Загальна площа $S = x + y$ .
Площа, засіяна житом на обох полях разом, становить $0, 65 x + 0, 45 y$ .
За умовою ця сума дорівнює $0, 53 (x + y)$ . Складемо рівняння: $0, 65 x + 0, 45 y = 0, 53 (x + y)$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $0, 65 x + 0, 45 y = 0, 53 x + 0, 53 y$ .
Перенесемо доданки з $x$ вліво, а з $y$ — вправо: $0, 65 x - 0, 53 x = 0, 53 y - 0, 45 y$ , звідки $0, 12 x = 0, 08 y$ .
Знайдемо відношення площ: $\frac{x}{y} = \frac{0 , 08}{0 , 12} = \frac{2}{3}$ . Отже, $x = \frac{2}{5}$ , а $y = \frac{3}{5}$ (якщо взяти загальну частку 1).
Знайдемо частку першого поля від загальної: $\frac{x}{x + y} = \frac{0 , 4}{0 , 4 + 0 , 6} = 0, 4$ .

Відповідь:

Перше поле становить $40%$ всієї засіяної площі.

Завдання 27 (с. 255)

Масова частина масла у вершках та молоці

З молока одержують $20 %$ вершків, а з вершків — $25 %$ масла. Знайти масу молока для отримання $10 кг$ масла.

Розв’язання

Знайдемо необхідну масу вершків: $m_{вершки} = 10 : 0, 25 = 40 (кг)$ .
Знайдемо масу молока для отримання цих вершків: $m_{молоко} = 40 : 0, 20 = 200 (кг)$ .

Відповідь:

$200 кг$

Завдання 28 (с. 255)

Визначення маси руди для виплавки чавуну

Руда містить $60 %$ заліза. З неї виплавляють чавун, який містить $98 %$ заліза. Знайти масу руди для виплавки $1000 т$ чавуну.

Розв’язання

Знайдемо масу заліза в чавуні: $m_{залізо} = 1000 \cdot 0, 98 = 980 (т)$ .
Знайдемо масу руди, яка містить $980 т$ заліза: $m_{руда} = 980 : 0, 60 = 1633, 33 (т)$ .

Відповідь:

$1633, 33 т$

Завдання 29

Визначення маси свіжих грибів для отримання сухих

Свіжі гриби містять $90 %$ води, а сухі — $12 %$ . Знайти масу свіжих грибів для отримання $10 кг$ сухих.

Розв’язання

Знайдемо частку сухої речовини у свіжих грибах: $100 % - 90 % = 10 %$ .
Знайдемо частку сухої речовини у сухих грибах: $100 % - 12 % = 88 %$ .
Обчислимо масу сухої речовини в $10 кг$ сухих грибів: $10 \cdot 0, 88 = 8, 8 (кг)$ .
Знайдемо масу свіжих грибів: $8, 8 : 0, 10 = 88 (кг)$ .

Відповідь:

$88 кг$

Завдання 30

Зміна маси грибів при підсушуванні

Вологість свіжих грибів дорівнювала $99%$ . Після підсушування вологість зменшилася до $98%$ . Потрібно визначити, як змінилася маса грибів.

Розв’язання

У свіжих грибах ( $99%$ води) вміст сухої речовини становить $100% - 99% = 1%$ . Якщо початкова маса була $x$ , то маса сухої речовини дорівнює $0, 01 x$ .
У підсушених грибах вологість становить $98%$ , отже вміст сухої речовини — $100% - 98% = 2%$ . Нехай маса сухих грибів дорівнює $y$ , тоді маса сухої речовини становить $0, 02 y$ .
Оскільки маса сухої речовини не змінюється, складаємо рівняння: $0, 01 x = 0, 02 y$ . Звідси $x = 2 y$ , тобто початкова маса була вдвічі більшою за кінцеву.

Відповідь:

Маса грибів зменшилася вдвічі (зменшилася на $50%$ ).

Завдання 31

Кредит із простими відсотками

Фірма взяла кредит $250000$ грн на $5$ років під прості $3%$ . Потрібно знайти: а) суму повернення через $5$ років; б) прибуток банку.

Розв’язання

Знайдемо суму відсотків: $\frac{250 000 \cdot 3 \cdot 5}{100} = 250000 \cdot 0, 15 = 37500$ грн.
Обчислимо загальну суму повернення: $250000 + 37500 = 287500$ грн.

Відповідь:

а) $287500$ грн; б) прибуток банку становить $37500$ грн.

Завдання 32

Вклад із складними відсотками

Підприємець вніс $15000$ грн під складні $5%$ річних. Потрібно знайти суму вкладу через $4$ роки.

Розв’язання

Записуємо формулу для нашого випадку: $S = 15000 \cdot (1 + 0, 05)^{4} = 15000 \cdot (1, 05)^{4}$ .
Обчислюємо множник: $(1, 05)^{4} \approx 1, 215506$ .
Знаходимо кінцеву суму: $15000 \cdot 1, 215506 \approx 18232, 59$ грн.

Відповідь:

Сума вкладу через $4$ роки становитиме приблизно $18232, 60$ грн.

Завдання 33

Кредит на шість місяців

Підприємству надано 50 000 грн у кредит на шість місяців за ставкою 8 % річних. Потрібно знайти суму, яку підприємство має повернути банку через півроку (3 місяці).

Розв’язання

Початкова сума кредиту $K = 50000$ грн, річна ставка $p = 8%$ , час сплати $t = 3$ місяці (що дорівнює $\frac{3}{12} = 0, 25$ року).
Обчислимо суму відсотків: $S_{відс} = 50000 \cdot 8% \cdot 0, 25 = 50000 \cdot 0, 08 \cdot 0, 25 = 1000$ грн.
Знайдемо загальну суму повернення: $S_{заг} = K + S_{відс} = 50000 + 1000 = 51000$ грн.

Відповідь:

51 000 грн.

Завдання 34

Вклад зі складними відсотками

На вклад у розмірі 90 000 грн строком на 5 років банк нараховує 18 % річних. Потрібно знайти суму на рахунку в кінці строку за двома схемами: а) щопівроку; б) щоквартально.

Розв’язання

За умовою $P = 90000$ , річна ставка $p = 18%$ . Періодичність нарахування відсотків впливає на кількість періодів $n$ та частку ставки за період.
а) Щопівроку: частка ставки $\frac{18}{2} = 9%$ , кількість періодів $n = 5 \cdot 2 = 10$ . Сума $P_{10} = 90000 \cdot (1 + 0, 09)^{10} = 90000 \cdot (1, 09)^{10} \approx 90000 \cdot 2, 36736 \approx 213062$ грн.
б) Щоквартально: частка ставки $\frac{18}{4} = 4, 5%$ , кількість періодів $n = 5 \cdot 4 = 20$ . Сума $P_{20} = 90000 \cdot (1 + 0, 045)^{20} = 90000 \cdot (1, 045)^{20} \approx 90000 \cdot 2, 4117 \approx 217053$ грн.

Відповідь:

а) 213 062 грн; б) 217 053 грн.

Завдання 35

Вклад під відсотки на два роки

Вкладник поклав до банку 200 000 грн під 17 % річних. Потрібно визначити суму відсоткових грошей через два роки (за умовою складних відсотків, оскільки це продовження теми).

Розв’язання

Початковий вклад $P = 200000$ , ставка $p = 17%$ , кількість років $n = 2$ .
Обчислимо множник $(1, 17)^{2} = 1, 3689$ .
Кінцева сума: $P_{2} = 200000 \cdot 1, 3689 = 273780$ грн.
Відсоткові гроші: $273780 - 200000 = 73780$ грн.

Відповідь:

73 780 грн.

Завдання 36

Умова зростання капіталу на 44% за два роки

Знайти умову покладення до банку, при якій капітал через два роки збільшиться на 44 %.

Розв’язання

Перевіримо випадок простих відсотків. Якщо ставка $p = 22%$ на рік, то за два роки приріст становить $22% \cdot 2 = 44%$ . Це підходить.
Розглянемо складні відсотки. Нехай річна ставка $p$ . За умовою $(1 + \frac{p}{100})^{2} = 1, 44$ . Корінь квадратний з $1, 44$ дорівнює $1, 2$ , отже $1 + \frac{p}{100} = 1, 2$ , звідки $p = 20%$ .
Якщо нарахування відбувається щороку за ставкою $20%$ , капітал зросте на $44%$ . Також підходить умовою складних відсотків з частотою нарахування, наприклад, щоквартально або щомісяця при відповідній річній ставці (яка буде трохи меншою за 20%), але найпростіші варіанти — це прості відсотки $22%$ або складні відсотки $20%$ щороку.

Відповідь:

Капітал збільшиться на $44%$ , якщо взяти прості відсотки зі ставкою $22%$ річних або складні відсотки зі ставкою $20%$ річних (нарахування щороку).