ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 249

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 16–28 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 16

Робота з нормативом

Заводу замовили 105 двигунів. Щодня робили на 6 більше, ніж планували, і закінчили роботу на 2 дні раніше терміну. Знайти щоденний обсяг виробництва.

Розв’язання

Позначимо планову щоденну виробність через $x$ двигунів. Тоді фактична щоденна виробність становить $x + 6$ .
Планували виготовити 105 двигунів за час $\frac{105}{x}$ днів. Фактично роботу виконано на 2 дні раніше, тобто за час $\frac{105}{x} - 2$ .
Запишемо рівняння для фактичної виробності: $(x + 6) \cdot (\frac{105}{x} - 2) = 105$ . Розкриваємо дужки: $105 - 2 x + \frac{630}{x} - 12 = 105$ .
Спрощуємо рівняння: $- 2 x + \frac{630}{x} - 12 = 0$ , або $2 x^{2} + 12 x - 630 = 0$ . Ділимо на 2: $x^{2} + 6 x - 315 = 0$ .
Знаходимо корені квадратного рівняння: $D = 36 - 4 \cdot (- 315) = 1296$ , $D = 36$ . $x_{1} = \frac{- 6 + 36}{2} = 15$ , $x_{2} = \frac{- 6 - 36}{2} = - 21$ (відкидаємо, оскільки кількість двигунів не може бути від'ємною).

Відповідь:

Завод виготовляв щодня 15 двигунів.

Завдання 17

Турнірна система

У турнірі зіграно 55 матчів, де кожна команда грала з кожним іншою по одному разу. Знайти кількість команд.

Розв’язання

Кількість матчів дорівнює сумі чисел від 1 до $(n - 1)$ , де $n$ — кількість команд. Запишемо рівняння: $1 + 2 + \dots + (n - 1) = 55$ .
Сума арифметичної прогресії дорівнює $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Отже, $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 55$ , звідки $n (n - 1) = 110$ .
Розглядаємо рівняння $n^{2} - n - 110 = 0$ . Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 110) = 1 + 440 = 441$ .
Корені: $n = \frac{1 \pm 441}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}$ . Отримуємо $n_{1} = \frac{22}{2} = 11$ і $n_{2} = \frac{- 20}{2} = - 10$ (відкидаємо).

Відповідь:

У розіграші брало участь 11 команд.

Завдання 18

Задача Фібоначчі про птахів

Дві вежі висотою 40 футів і 30 футів стоять на відстані 50 футів одна від одної. Між ними, на відстані $x$ від першої вежі, знаходиться криниця. Два птахи летять одночасно з однаковою швидкістю до криниці. Знайти відстань від криниці до кожної вежі.

Розв’язання

Нехай криниця знаходиться на відстані $x$ футів від першої вежі (висота 40 футів). Тоді відстань до другої вежі (висота 30 футів) становить $(50 - x)$ футів.
За теоремою Піфагора, квадрат відстані польоту птаха з першої вежі дорівнює $4 0^{2} + x^{2}$ . З другої вежі — $3 0^{2} + (50 - x)^{2}$ .
Оскільки швидкості однакові, ці відстані рівні: $4 0^{2} + x^{2} = 3 0^{2} + (50 - x)^{2}$ .
Розкриваємо дужки і спрощуємо: $1600 + x^{2} = 900 + 2500 - 100 x + x^{2}$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $1600 = 3400 - 100 x$ .
Переносимо члени: $100 x = 3400 - 1600$ , отже $100 x = 1800$ . Звідси $x = 18$ . Відстань до другої вежі: $50 - 18 = 32$ .

Відповідь:

Відстань від криниці до першої вежі — 18 футів, до другої — 32 фути.

Завдання 19

Робота бригад

Дві бригади мулярів, працюючи разом, виконують роботу за 4 дні. Перша бригада робить цю роботу на 6 днів раніше, ніж друга. За скільки днів кожна бригада окремо могла б виконати роботу?

Розв’язання

Нехай перша бригада робить роботу за $x$ днів, тоді друга — за $(x + 6)$ днів.
За 4 дні перша бригада виконує частину роботи $\frac{4}{x}$ , а друга — $\frac{4}{x + 6}$ . Разом вони виконують всю роботу (1).
Складемо рівняння: $\frac{4}{x} + \frac{4}{x + 6} = 1$ . Помножимо на $x (x + 6)$ : $4 (x + 6) + 4 x = x (x + 6)$ .
Розкриємо дужки і спростимо: $4 x + 24 + 4 x = x^{2} + 6 x \Rightarrow x^{2} - 2 x - 24 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння: $D = 4 - 4 (1) (- 24) = 100$ , $x_{1} = \frac{2 + 10}{2} = 6$ , $x_{2} = \frac{2 - 10}{2} = - 4$ (не підходить).

Відповідь:

Перша бригада робить роботу за 6 днів, друга — за 12 днів.

Завдання 20

Робота екскаваторів

Двома екскаваторами виконують роботу (котлован) за 6 год. Якби одним вирили половину, а другим решту, то б зайняло 12,5 год. За скільки годин кожен екскаватор окремо виконає всю роботу?

Розв’язання

Нехай перший екскаватор робить роботу за $x$ год, другий — за $y$ год.
Складемо систему рівнянь: ${\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \frac{x /2}{x} + \frac{y /2}{y} = 12, 5$ . Друге рівняння спрощується до $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , що суперечить умові (12,5 год). Перепишемо умову: час роботи першого на половині об'єму — це $0, 5 x$ , другого — $0, 5 y$ . Сума цих часів дорівнює 12,5.
Отже, система: ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} 0, 5 x + 0, 5 y = 12, 5$ .
З другого рівняння: $x + y = 25 \Rightarrow y = 25 - x$ . Підставимо в перше: $\frac{1}{x} + \frac{1}{25 - x} = \frac{1}{6}$ .
Помножимо на $6 x (25 - x)$ : $6 (25 - x) + 6 x = x (25 - x) \Rightarrow 150 - 6 x + 6 x = 25 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} - 25 x + 150 = 0$ .
Корені: $D = 625 - 600 = 25$ , $x_{1} = \frac{25 + 5}{2} = 15$ , $x_{2} = \frac{25 - 5}{2} = 10$ . Відповідно $y_{1} = 10$ , $y_{2} = 15$ .

Відповідь:

Один екскаватор робить роботу за 10 год, інший — за 15 год.

Завдання 21

Робота насосів

Двома насосами наповнюють танкер за 5 год. Якщо потужність першого удвічі менша, а другого вдвічі більша, то наповнюють за 4 год. За скільки годин кожен насос окремо наповнить танкер?

Розв’язання

Нехай перший насос робить роботу за $x$ год, другий — за $y$ год.
Початкова швидкість сумарна: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ .
Змінена швидкість (перший вдвічі повільніший, другий вдвічі швидший): $\frac{1}{2 x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}$ .
Помножимо перше рівняння на 2: $\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{5}$ . Віднімемо друге рівняння: $(\frac{2}{x} + \frac{2}{y}) - (\frac{1}{2 x} + \frac{2}{y}) = \frac{2}{5} - \frac{1}{4}$ .
Спростимо: $\frac{3}{2 x} = \frac{8 - 5}{20} = \frac{3}{20} \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = 10$ .
Підставимо $x = 10$ у перше рівняння: $\frac{1}{10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \Rightarrow y = 10$ .

Відповідь:

Перший насос робить роботу за 10 год, другий — за 10 год.

Завдання 22

Змішування розчинів

Мають 10-відсотковий і 15-відсотковий розчини солі. Потрібно отримати 100 г 12-відсоткового розчину. Знайти масу кожного розчину.

Розв’язання

Складемо систему рівнянь: ${x + y = 100 0, 1 x + 0, 15 y = 0, 12 \cdot 100$ .
З першого рівняння виразимо $x$ : $x = 100 - y$ . Підставимо у друге: $0, 1 (100 - y) + 0, 15 y = 12$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $10 - 0, 1 y + 0, 15 y = 12 \Rightarrow 0, 05 y = 2 \Rightarrow y = 40$ .
Знайдемо $x$ : $x = 100 - 40 = 60$ .

Відповідь:

треба взяти 60 г 10-відсоткового розчину і 40 г 15-відсоткового розчину.

Завдання 23

Порівняння концентрацій розчинів

Перший розчин має концентрацію $0, 25$ , другий — $0, 4$ . Потрібно отримати 100 кг розчину з концентрацією $0, 37$ . Знайти різницю мас цих розчинів.

Розв’язання

Складемо систему: ${x + y = 100 0, 25 x + 0, 4 y = 37$ .
Помножимо друге рівняння на 4, щоб позбутися десяткових дробів: $x + 1, 6 y = 148$ .
Віднімемо перше рівняння від отриманого: $(x + 1, 6 y) - (x + y) = 148 - 100 \Rightarrow 0, 6 y = 48 \Rightarrow y = 80$ .
Знайдемо $x$ : $x = 100 - 80 = 20$ . Різниця мас: $80 - 20 = 60$ кг.

Відповідь:

треба взяти на 60 кг більше другого розчину (масою 80 кг), ніж першого (масою 20 кг).

Завдання 24

Послідовні знижки ціни

Ціна меблів зменшилася з $12500$ грн до $8000$ грн після двох однакових відсотків знижки. Знайти цей відсоток.

Розв’язання

Складемо рівняння: $12500 \cdot (1 - \frac{r}{100})^{2} = 8000$ .
Поділимо обидві частини на 12 500: $(1 - \frac{r}{100})^{2} = \frac{8 000}{12 500} = \frac{80}{125} = \frac{16}{25} = 0, 64$ .
Візьмемо квадратний корінь: $1 - \frac{r}{100} = 0, 64 = 0, 8$ (беремо додатне значення).
Знайдемо $r$ : $\frac{r}{100} = 1 - 0, 8 = 0, 2 \Rightarrow r = 20$ .

Відповідь:

ціна зменшувалася на 20% щоразу.

Завдання 25

Ціна салату при заміні інгредієнтів

Салат «Екзотика» коштує 24 грн, вартість компонентів становить 50% від ціни. Салат складається на $\frac{3}{4}$ з персиків. Знайти нову ціну салату, якщо замінити: а) персики сливами (дешевші вдвічі); б) персики плодами (дорожчі в $k$ разів).

Розв’язання

Знайдемо загальну вартість компонентів салату: $24 \cdot 0, 5 = 12$ грн.
Вартість персиків у початковому салаті: $12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ грн. Вартість інших інгредієнтів: $12 - 9 = 3$ грн.
а) Слива коштує вдвічі дешевше за персик, тому її вартість у салаті буде $\frac{9}{2} = 4, 5$ грн. Нова загальна вартість компонентів: $4, 5 + 3 = 7, 5$ грн. Нова ціна салату: $7, 5 : 0, 5 = 15$ грн.
б) Плоди коштують у $k$ разів дорожче за персики, тому їх вартість буде $9 \cdot k$ . Нова загальна вартість компонентів: $9 k + 3$ грн. Нова ціна салату: $(9 k + 3) : 0, 5 = (18 k + 6)$ грн.

Відповідь:

а) 15 грн; б) $(18 k + 6)$ грн.

Завдання 26

Рівновага попиту та пропозиції

Попит $Q_{D} = 750 - 23 p$ , пропозиція $Q_{S} = 150 + 97 p$ . Знайти рівноважну ціну $p$ та обсяг продажу. Визначити попит і пропозицію при ціні $p = 6$ грн.

Розв’язання

Прирівнюємо попиту та пропозиції: $750 - 23 p = 150 + 97 p$ .
Переносимо доданки з $p$ вправо, числа вліво: $750 - 150 = 97 p + 23 p \Rightarrow 600 = 120 p$ .
Знаходимо ціну: $p = \frac{600}{120} = 5$ грн. Обсяг продажу: $Q = 750 - 23 \cdot 5 = 750 - 115 = 635$ млн штук.
Для ціни $p = 6$ : Попит $Q_{D} = 750 - 23 \cdot 6 = 750 - 138 = 612$ млн шт. Пропозиція $Q_{S} = 150 + 97 \cdot 6 = 150 + 582 = 732$ млн шт.

Відповідь:

Рівноважна ціна — 5 грн, обсяг продажу — 635 млн шт. При ціні 6 грн попит становить 612 млн шт, а пропозиція — 732 млн шт.

Завдання 27

Поточна вартість устаткування

Вартість устаткування $C_{0} = 200000$ грн, термін експлуатації $T = 10$ років, ліквідна вартість наприкінці $C_{l i q u i d} = 19700$ грн. Знайти поточну вартість через 2 та 5 років за умови сталих амортизаційних відрахувань.

Розв’язання

Загальна амортизація за весь термін: $200000 - 19700 = 180300$ грн.
Річна сума амортизації: $\frac{180 300}{10} = 18030$ грн/рік.
Через 2 роки вартість зменшиться на $2 \cdot 18030 = 36060$ грн. Нова вартість: $200000 - 36060 = 163940$ грн.
Через 5 років вартість зменшиться на $5 \cdot 18030 = 90150$ грн. Нова вартість: $200000 - 90150 = 109850$ грн.

Відповідь:

Через 2 роки вартість становитиме 163 940 грн, через 5 років — 109 850 грн.

Завдання 28

Оптимальна форма загону

Фермер має 600 м металевої сітки, якою він хоче обгородити загін для телят. Яку форму загону слід обрати, щоб він мав найбільшу площу?

Розв’язання

Позначимо довжину та ширину загону через $a$ і $b$ . Периметр прямокутника дорівнює $P = 2 (a + b)$ . За умовою $P = 600 м$ , отже, $a + b = 300 м$ .
Площа загону $S = a \cdot b$ . Щоб знайти максимум площі при фіксованій сумі $a + b$ , скористаємося властивістю середніх арифметичного і геометричного або простою алгеброю: $S = a (300 - a) = 300 a - a^{2}$ .
Функція $S (a)$ є параболою, що розкривається вниз, тому її максимум досягається у вершині, де $a = \frac{300}{2} = 150 м$ . Тоді $b = 300 - 150 = 150 м$ .

Відповідь:

Обмежувальну сітку слід розподілити так, щоб утворити квадрат зі сторонами по $150 м$ (площа $22500 м^{2}$ ).