ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 248

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 8 (с. 248)–14 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події

Завдання 8 (с. 248)

Пиріжки Олега

Олег спік пиріжки і два відразу з’їв сам. Половину пиріжків, що залишилися, він віддав батькам, а половину остачі — подругам. Три пиріжки, що після цього залишилися, він віддав молодшому брату. Скільки пиріжків спік Олег?

Розв’язання

Перед тим як віддати 3 пиріжки брату, у Олега було $3 + остача$ . Оскільки ці 3 пиріжки — це половина остачі після батьків, то остача перед цим етапом була $2 \cdot 3 = 6$ пирожків.
Отже, після того як віддали батькам, у Олега залишилось 6 пирожків. Це означає, що половина від батьків становила 6 пирожків, тобто перед цим етапом було $6 \cdot 2 = 12$ пирожків.
Ці 12 пирожків — це половина від усіх пирожків після того, як Олег з’їв два сам. Отже, загальна кількість була $12 + 2 = 14$ .

Відповідь:

Завдання 9 (с. 248)

Нові підручники

У понеділок учні взяли половину всіх нових підручників, у вівторок — половину остачі, у середу — половину нової остачі. Після цього в бібліотеці залишилося 25 нових підручників. Скільки нових підручників було в бібліотеці?

Розв’язання

Після того як учні взяли половину нової остачі (у середу), залишилось 25 підручників. Значить, перед цим етапом було $25 \cdot 2 = 50$ підручників.
Ці 50 підручників — це половина від остачі після вівторка. Отже, перед віддачею у вівторок було $50 \cdot 2 = 100$ підручників.
Ці 100 підручників — це половина від усіх нових підручників, взятих у понеділок. Отже, загальна кількість була $100 \cdot 2 = 200$ .

Відповідь:

200

Завдання 10 (с. 248)

Робота двох ковалів

Два ковалі, працюючи разом, виконують певну роботу за 8 днів. За скільки днів виконав би цю роботу другий коваль, якщо перший може виконати її за 12 днів?

Розв’язання

Нехай робота дорівнює 1. Швидкість першого коваля $v_{1} = \frac{1}{12}$ (роботи за день). Сумарна швидкість обох ковалів $v_{разом} = \frac{1}{8}$ .
Знайдемо швидкість другого коваля: $v_{2} = v_{разом} - v_{1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{1}{24}$ .
Час, за який другий коваль виконає роботу сам, дорівнює $\frac{1}{v _{2}} = 24$ дні.

Відповідь:

Завдання 11

Робота бригад та автомобілів

а) Бригада 1 робить роботу за 3 год, бригада 2 — за 5 год. Знайти час спільної роботи.
б) Труба 1 наповнює басейн за 3 год, труба 2 — за 5 год. Знайти час спільного наповнення.
в) Автомобіль 1 долає відстань AB за 3 год, автомобіль 2 — за 5 год. Знайти час зустрічі при одночасному виїзді з протилежних кінців.

Розв’язання

а) Швидкість першої бригади $\frac{1}{3}$ роботи/год, другої — $\frac{1}{5}$ роботи/год. Спільна швидкість: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15}$ роботи/год. Час спільної роботи: $1 : \frac{8}{15} = 1, 875$ год (або $1 год 52, 5 хв$ ).
б) Швидкість першої труби $\frac{1}{3}$ басейну/год, другої — $\frac{1}{5}$ басейну/год. Спільна швидкість: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$ басейну/год. Час наповнення: $1 : \frac{8}{15} = 1, 875$ год.
в) Швидкість першого автомобіля $\frac{1}{3}$ відстані/год, другого — $\frac{1}{5}$ відстані/год. Спільна швидкість зустрічі: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$ відстані/год. Час зустрічі: $1 : \frac{8}{15} = 1, 875$ год.

Відповідь:

а) $1, 875$ год; б) $1, 875$ год; в) $1, 875$ год.

Завдання 12

Розміри кубів з золота та срібла

Злитки у формі куба мають масу $3 кг$ ( $3000 г$ ). Густина золота $ρ_{A u} = 19, 3 г / см^{3}$ , густина срібла $ρ_{A g} = 10, 5 г / см^{3}$ . Знайти довжину ребра куба для кожного металу.

Розв’язання

Об'єм золотого злитка: $V_{A u} = \frac{3000}{19 , 3} \approx 155, 44 см^{3}$ . Довжина ребра куба золота: $a_{A u} = 3 155, 44 \approx 5, 38 см$ .
Об'єм срібного злитка: $V_{A g} = \frac{3000}{10 , 5} \approx 285, 71 см^{3}$ . Довжина ребра куба срібла: $a_{A g} = 3 285, 71 \approx 6, 59 см$ .

Відповідь:

Ребро золотого куба приблизно $5, 4 см$ ; ребро срібного куба приблизно $6, 6 см$ .

Завдання 13

Задача Маклорена про обід

За обід треба було заплатити $175$ шилінгів. Дві людини не мали грошей, тому решта людей заплатила на $10$ шилінгів більше, ніж їм належало. Знайти кількість людей.

Розв’язання

Складемо рівняння: сума переплати дорівнює сумі часток відсутніх людей. $(x - 2) \cdot 10 = \frac{175}{x} \cdot 2$ .
Розкриємо дужки та спростимо: $10 x - 20 = \frac{350}{x}$ .
Помножимо на $x$ : $10 x^{2} - 20 x = 350$ , або $10 x^{2} - 20 x - 350 = 0$ . Поділимо на $10$ : $x^{2} - 2 x - 35 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35) = 4 + 140 = 144$ . $D = 12$ . Корені: $x_{1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$ , $x_{2} = \frac{2 - 12}{2} = - 5$ (не підходить).
Перевірка: якщо людей $7$ , кожен має заплатити $25$ . Відсутніх $2$ , їхня частка $50$ . Присутніх $5$ , вони платили $175$ , тобто по $35$ шилінгів. Різниця $35 - 25 = 10$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Обідали $7$ людей.

Завдання 14

Порівняння залишку води у резервуарах

Два резервуари мають об'єми $V_{1}$ та $V_{2}$ . Перший наповнено на $\frac{3}{5}$ , другий — на $\frac{3}{4}$ . З першого щодня знімають 112 л води, з другого — 31 л.

Розв’язання

Знайдемо об'єми резервуарів з малюнка (розміри в метрах):
Перший резервуар: довжина $2$ , ширина $1, 5$ , висота $1$ .
$V_{1} = 2 \cdot 1, 5 \cdot 1 = 3 (м^{3}) = 3000 л$ .
Другий резервуар: довжина $2$ , ширина $0, 5$ , висота $1$ .
$V_{2} = 2 \cdot 0, 5 \cdot 1 = 1 (м^{3}) = 1000 л$ .
Запишемо вирази для залишку води через $x$ днів:
Залишок у першому: $V_{1}^{'} = \frac{3}{5} \cdot 3000 - 112 x = 1800 - 112 x$ .
Залишок у другому: $V_{2}^{'} = \frac{3}{4} \cdot 1000 - 31 x = 750 - 31 x$ .
Складемо дріб, що показує відношення залишків ( $\frac{V _{1}^{'}}{V _{2}^{'}}$ ):
$\frac{1800 - 112 x}{750 - 31 x}$ . Це відповідь на пункт а).
Обчислимо значення для $x = 9$ :
Чисельник: $1800 - 112 \cdot 9 = 1800 - 1008 = 792$ .
Знаменник: $750 - 31 \cdot 9 = 750 - 279 = 471$ .
Відношення: $\frac{792}{471} = \frac{264}{157}$ . Це відповідь на пункт б).
Розглянемо рівняння $\frac{1800 - 112 x}{750 - 31 x} = 3$ (пункт в):
Спростимо чисельник і знаменник, поділивши перший на 4 ( $1800/4 = 450$ , $112/4 = 28$ ) та другий на... краще розв'язати без спрощень:
$1800 - 112 x = 3 (750 - 31 x)$
$1800 - 112 x = 2250 - 93 x$
Перенесемо змінні в одну частину, числа в іншу:
$- 112 x + 93 x = 2250 - 1800$
$- 19 x = 450 \Rightarrow x = - \frac{450}{19}$ . Оскільки час не може бути від'ємним, рівняння не має фізичного сенсу в даному контексті (перший резервуар опорожниться раніше).

Відповідь:

а) $\frac{1800 - 112 x}{750 - 31 x}$ ; б) $\frac{264}{157}$ (приблизно $1, 9$ рази); в) Рівняння не має кореня $x \geq 0$ , що означає, що момент часу, коли залишок у першому буде в 3 рази більшим за другий, не настає в межах даного процесу (перший резервуар опорожниться швидше).