Сторінка 247

Розв’язання

1. Довжина мотузки становить 8 м, отже, радіус кола $r=8$ м.

2. Площа круга обчислюється за формулою $S=\pi r^2$.

3. Підставимо значення радіуса: $S=\pi \cdot 8^2=64\pi$ м${}^2$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину шляху за один оберт коловорота (довжину кола): $l=\pi \cdot d=3,14\cdot 24\text{см}=75,36\text{см}$.

2. Знайдемо загальну довжину мотузки (глибину криниці), помноживши довжину одного оберту на кількість обертів: $H=l\cdot n=75,36\text{см}\cdot 12=904,32\text{см}$.

Розв’язання

1. Визначимо часові відрізки для кожного об'єкта. Мотоцикліст їде від 10 год до 13 год (разом 3 год або 180 хв). Автомобіль їде від 12 год 30 хв до 13 год (30 хв) і зустрічається з мотоциклістом, коли той вже їхав певний час.

2. За графіком ліворуч видно, що автомобіль виїхав о 12 год 30 хв і прибув о 13 год. Мотоцикліст виїхав о 10 год і прибув о 13 год.

3. Оскільки графіки перетинаються, а ми бачимо часові точки на осі $t$, можна визначити момент зустрічі, проаналізувавши симетрію або поділивши інтервал часу. Простіше: мотоцикліст їхав 3 год (180 хв), автомобіль — 30 хв. Але це не повне розв'язання без швидкостей.

4. Давайте скористаємося даними з графіка. На графіку видно, що зустріч відбувається в момент $x$. Мотоцикліст їхав від 10 год до 13 год (разом 3 год). Автомобіль їхав від 12 год 30 хв до 13 год (30 хв).

5. З умови задачі та графіка видно, що автомобіль виїхав назустріч через 30 хв після мотоцикліста. Мотоцикліст їхав 3 год. Автомобіль їхав 30 хв. Це не збігається з графіком, де автомобіль приїхав о 12:30, а зустріч була раніше.

6. Перевіримо умову ще раз: мотоцикліст виїхав о 10:00, прибув о 13:00 (разом 3 год). Автомобіль виїхав о 12:30, прибув о 13:00? Ні, в умові сказано "до $A$ приїхав о 12 год 30 хв". Тобто автомобіль їхав від $B$ до $A$.

7. Отже, мотоцикліст їхав від $A$ до $B$ (10:00 — 13:00). Автомобіль їхав від $B$ до $A$ (12:30 — ?). Умовою сказано "до $A$ приїхав о 12 год 30 хв". Тоді автомобіль їхав від $B$ до $A$.

8. Графік показує, що зустріч відбувається в момент $x$. Мотоцикліст їхав від 10 до 13 год. Автомобіль їхав від 12:30 до 13 год? Ні, на графіку видно, що автомобіль прибув о 12:30 (точка на осі $t$). Тоді зустріч відбулася раніше.

9. Давайте розглянемо графік уважніше. На графіку ліворуч: синя лінія (мотоцикліст) йде від 10 до 12,5 год? Ні, на осі $t$ позначено 10, $x$, 12,5. Розфарбовано: рожева лінія (мотоцикліст) — від 10 до 13. Синя лінія (автомобіль) — від 12,5 до 10? Ні, синя лінія йде вниз від $B$ до $A$.

10. Правильне тлумачення графіка: Мотоцикліст рухається від $A$ (відстань 0) о 10 год до $B$ о 13 год. Автомобіль рухається від $B$ (відстань $S$) о 12 год 30 хв до $A$ о 10 год? Ні, це неможливо.

11. Давайте використаємо логіку задачі про зустріч. Мотоцикліст їхав 3 год (від 10:00 до 13:00). Автомобіль виїхав о 12:30 і прибув о 12:30? Ні, в умові сказано "до $A$ приїхав о 12 год 30 хв". Тобто автомобіль їхав від $B$ до $A$.

12. Якщо мотоцикліст їхав від 10:00 до 13:00 (разом 3 год), а автомобіль виїхав о 12:30 і прибув о 12:30? Це неможливо.

13. Перечитаємо умову уважно: "О 10 год з міста $A$ до міста $B$ виїхав мотоцикліст, а через 30 хв йому назустріч з $B$ виїхав автомобіль". Тобто автомобіль виїхав о 10:30. "Автомобіль до $A$ приїхав о 12 год 30 хв, а мотоцикліст до $B$ — о 13 год".

14. Отже, мотоцикліст їхав від 10:00 до 13:00 (разом 3 год). Автомобіль їхав від 10:30 до 12:30 (разом 2 год).

Розв’язання

1. Мотоцикліст виїхав о 10 год і прибув о 14 год, тому його час у дорозі становить $14-10=4$ год.

2. Автомобіль виїхав о 11 год і прибув о 13 год, тому його час у дорозі становить $13-11=2$ год.

3. Нехай відстань між містами $S$. Тоді швидкість мотоцикліста $v_m=\frac{S}{4}$, а швидкість автомобіля $v_a=\frac{S}{2}$.

4. Автомобіль виїхав на 1 год пізніше за мотоцикліста. Нехай через час $t$ після 11 год автомобіль наздоганяє мотоцикліста.

5. За цей час автомобіль проїде відстань $v_a\cdot t$, а мотоцикліст — $v_m\cdot (t+1)$. У момент наздогону ці відстані рівні: $v_a\cdot t=v_m\cdot (t+1)$.

6. Підставимо швидкості: $\frac{S}{2}\cdot t=\frac{S}{4}\cdot (t+1)$. Поділимо на $S$: $\frac{t}{2}=\frac{t+1}{4}$.

7. Помножимо на 4: $2t=t+1$.

8. Знайдемо $t$: $t=1$ год.

9. Час наздогону від моменту виїзду автомобіля (11 год) становить 1 год, тобто о 12 год.

Розв’язання

1. Нехай на другому складі було $x$ тонн вугілля, тоді на першому — $2x$ тонн.

2. Після доставки маса на першому складі стане $(2x+80)$, а на другому — $(x+145)$. За умовою ці величини рівні: $2x+80=x+145$.

3. Розв'яжемо рівняння: віднімемо $x$ від обох частин ($x=65$), а потім знайдемо масу на першому складі: $2\cdot 65=130$.

Розв’язання

1. Нехай з першого мішка взяли $x\text{кг}$, тоді з другого — $3x\text{кг}$.

2. Залишок у першому мішку: $60-x$. Залишок у другому мішку: $80-3x$.

3. За умовою залишок у першому вдвічі більший за другий: $(60-x)=2(80-3x)$. Розкриємо дужки: $60-x=160-6x$. Перенесемо змінні: $5x=100$, звідси $x=20$.

4. Знайдемо кількість цукру, взятого з другого мішка: $3\cdot 20=60\text{кг}$.

Розв’язання

1. Перед останнім взяттям половини було $10\cdot 2=20$ яєць.

2. Перед третім взяттям (перед тим, як отримали 20) було $20\cdot 2=40$ яєць.

3. Перед другим взяттям (перед тим, як отримали 40) було $40\cdot 2=80$ яєць.

4. Перед першим взяттям (початкова кількість) було $80\cdot 2=160$ яєць.