Сторінки 23–28

Розв’язання

1. Запишемо просту числову подвійну нерівність: $3<x<4$.

2. Запишемо нерівність зі змінними та коефіцієнтами: $2a+3<x+3⩽5c$.

3. Запишемо нерівність з від'ємними числами: $-3<x<3$.

Розв’язання

1. а) Помножимо всі частини нерівності $10<x<12$ на 3: $3\cdot 10<3x<3\cdot 12$, отже, $30<3x<36$.

2. Віднімемо від усіх частин отриманої нерівності число 5: $30-5<3x-5<36-5$, що дає $25<3x-5<31$.

3. б) Оскільки числа в інтервалі $(10,12)$ додатні, піднесемо всі частини нерівності до квадрата: $10^2<x^2<12^2$, тобто $100<x^2<144$.

Розв’язання

1. Помножимо всі частини нерівності $5<a<15$ на 0,2: $5\cdot 0,2<0,2a<15\cdot 0,2$, тобто $1<0,2a<3$.

2. Помножимо всі частини нерівності $2<b<7$ на -1 (або віднімемо від обох боків): знаки змінюються, отже $-7<-b<-2$.

3. Додамо почленно отримані нерівності: нижня межа $1+(-7)=-6$, верхня межа $3+(-2)=1$. Отримуємо $-6<0,2a-b<1$.

Розв’язання

1. а) Число $a$ більше 4 і менше 7.

2. б) Число 0,5 більше 0 і менше 1.

3. в) Число $x$ більше -3 і менше 3.

Розв’язання

1. Перевіримо варіант А ($-7<0<7$): $-7<0$ — вірно, $0<7$ — вірно. Нерівність правильна.

2. Перевіримо варіант Б ($-1<-2<-3$): порівнюємо $-1$ і $-2$. Оскільки $-1>-2$, перша частина нерівності хибна. Отже, вся подвійна нерівність хибна.

3. Перевіримо варіант В ($0<5<10$): $0<5$ — вірно, $5<10$ — вірно. Нерівність правильна.

4. Перевіримо варіант Г ($-4,4<-4<-3,9$): $-4,4<-4$ — вірно (бо $-4,4$ лівіше від $-4$ на координатній прямій), $-4<-3,9$ — вірно. Нерівність правильна.

Розв’язання

1. Розглянемо $x=3$:
   а) Ліва частина $0$, права $2\cdot 3=6$. Отже, $0<3<6$ — вірно.
   б) Ліва $-3$, середня $3^2=9$, права $3\cdot 3=9$. Отже, $-3<9<9$ — хибно (бо $9$ не менше за $9$).
   в) Ліва $-3$, середня $9$, права $-(3{)}^3=-27$. Отже, $-3<9<-27$ — хибно.

2. Розглянемо $x=-3$:
   а) Ліва $0$, права $2\cdot (-3)=-6$. Отже, $0<-3<-6$ — хибно.
   б) Ліва $-(-3)=3$, середня $(-3{)}^2=9$, права $3\cdot (-3)=-9$. Отже, $3<9<-9$ — хибно.
   в) Ліва $-(-3)=3$, середня $(-3{)}^2=9$, права $-(-3{)}^3=-(-27)=27$. Отже, $3<9<27$ — вірно.

Розв’язання

1. Для а) $-1<a<1$: Між $-1$ і $1$ знаходиться лише одне ціле число — $0$.

2. Для б) $-2<a<2$: Між $-2$ і $2$ знаходяться цілі числа $-1,0,1$.

3. Для в) $0,1<a<1$: Між $0,1$ і $1$ немає жодного цілого числа, оскільки найближче ціле число до $1$ — це саме $1$, яке не менше за $1$ (а строго менше).

Розв’язання

1. Переведемо дроби у десятковий вигляд: $\frac{8}{9}\approx 0,88\dots$ та $\frac{6}{7}\approx 0,85\dots$.

2. Порівнюємо отримані числа: $0,88\cdots >0,85\dots$, тобто $\frac{8}{9}>\frac{6}{7}$.

3. Оскільки ліва межа більша за праву, проміжок між ними не існує (це порожня множина).

Розв’язання

1. Оскільки вік менший за 20 і більший за 10, це число має вигляд $1d$, тобто десяткова цифра дорівнює 1.

2. Запишемо умову про цифри: кількість одиниць ($o$) на 6 більша за кількість десятків ($d=1$). Отже, $o=1+6$.

3. Знаходимо значення $o$: $1+6=7$. Число дорівнює $17$. Перевірка: $17>10$, $17<20$, різниця цифр $7-1=6$.

Розв’язання

1. Оцінимо нижню межу теоретичної частини: $A\ge 80$. Нижня межа практичної частини: $B\ge 40$.

2. Додамо ці нерівності почленно: мінімальна сума балів дорівнює $80+40=120$.

3. Максимальна сума балів дорівнює сумі максимальних балів за кожну частину: $100+60=160$.

Розв’язання

1. Оцінимо периметр $P$: помножимо всі частини $1,8<a<2,1$ на 4. Отримуємо $7,2<P<8,4$.

2. Оцінимо площу $S$: піднесемо всі частини нерівності до квадрата ($a>0$). $1,8^2<a^2<2,1^2$, тобто $3,24<S<4,41$.

3. Порівняємо отриманий діапазон площі з числом 4: оскільки $3,24<4<4,41$, площа може дорівнювати $4{\text{м}}^2$.

Розв’язання

1. Для пункту а): нижня межа $3$, верхня $12$. Записуємо як $3<x<12$.

2. Для пункту б): нижня межа $-2$, верхня $2$. Записуємо як $-2<x<2$.

3. Для пункту в): нижня межа $-0,3$, верхня $30$. Записуємо як $-0,3<x<30$.

Розв’язання

1. Позначимо розмір монітора через $d$, а відстань — через $x$.

2. Для розміру монітора діапазон 19–24 дюйми записуємо як $19\le d\le 24$.

3. Для відстані від очей до монітора діапазон 50–70 см записуємо як $50\le x\le 70$.

Розв’язання

1. Атракціон «Веселий дракон»: $m\le 40$ кг.

2. Атракціон «Коловорот»: допустимий проміжок між забороненими значеннями, тобто $35<m\le 120$ кг.

3. а) Кататися на кожному можна, якщо виконується умова хоча б для одного з них: $m\le 40$ або $35<m\le 120$. Це об'єднання проміжків: $m\le 120$, але не включаючи заборонені частини. Точніше, це сума множин: $(-\infty ,40]\cup (35,120]=(-\infty ,120]$.

4. б) Кататися на обох можна лише там, де перетинаються умови: $m\le 40$ і $35<m\le 120$. Перетин цих множин — це проміжок $(35,40]$.

Розв’язання

1. Оцінимо $\sqrt{9}=3$, отже $\sqrt{10}$ трохи більше за $3$ (приблизно $3,16$). Тоді $-\sqrt{10}\approx -3,16$.

2. Порівняємо числа: $-3,16<-3$, тому нерівність $-3>c>-\sqrt{10}$ має сенс і записується як $-\sqrt{10}<c<-3$.

3. Для другої частини: $10^{-2}=0,01$, а $10^2=100$. Оскільки $0,01<100$, таке число існує.

Розв’язання

1. Для $n+3$: додаємо 3 до обох кінців нерівності $4<n<5$, отримуючи $7<n+3<8$.

2. Для $n-5$: віднімаємо 5 від обох кінців, отримуючи $-1<n-5<0$.

3. Для $2n$: множимо всі частини нерівності на 2: $8<2n<10$.

4. Для $-3n$: множимо на -3 і змінюємо знаки нерівностей місцями: $-25>-3n>-15$, що записується як $-15<-3n<-25$ (хоча краще: $-25<-3n<-15$ — ні, при множенні на від'ємне знак змінюється: $4\cdot (-3)=-12$, $5\cdot (-3)=-15$, отже $-12>-3n>-15$, тобто $-15<-3n<-12$). Перевіримо: при $n=4.5$, $-3n=-13.5$. Отже, правильна оцінка: $-15<-3n<-12$.

5. Для $n^2$: підносимо межі до квадрата (функція $y=x^2$ зростає для додатних $x$): $16<n^2<25$.

Розв’язання

1. Для $2x+3$: множимо на 2 ($-6\le 2x\le 10$), додаємо 3 ($-3\le 2x+3\le 13$).

2. Для $0,1x-2$: множимо на 0,1 ($-0,3\le 0,1x\le 0,5$), віднімаємо 2 ($-2,3\le 0,1x-2\le -1,5$).

3. Для $2-x$: множимо на -1 і змінюємо знаки ($3\ge x\ge -5$, тобто $-5\le -x\le 3$), додаємо 2 ($0\le 2-x\le 5$).

4. Для $10-0,1x$: множимо на -0,1 і змінюємо знаки ($-0,5\ge 0,1x\ge -3$, тобто $-3\le 0,1x\le 0,5$ — ні, краще так: віднімемо $0,1x$ від 10. З умови $-3\le x\le 5$ помножимо на -0,1: $0,3\ge -0,1x\ge -0,5$, тобто $-0,5\le -0,1x\le 0,3$. Додамо 10: $9,5\le 10-0,1x\le 10,3$).

Розв’язання

1. Для $2+\sqrt{3}$: додаємо 2 до меж ($1,7+2<2+\sqrt{3}<1,8+2$), отже $3,7<2+\sqrt{3}<3,8$.

2. Для $\sqrt{3}-1$: віднімаємо 1 ($1,7-1<\sqrt{3}-1<1,8-1$), отже $0,7<\sqrt{3}-1<0,8$.

3. Для $-\sqrt{3}$: множимо на -1 і змінюємо знаки ($-1,8<-\sqrt{3}<-1,7$).

4. Для $2\sqrt{3}$: множимо на 2 ($2\cdot 1,7<2\sqrt{3}<2\cdot 1,8$), отже $3,4<2\sqrt{3}<3,6$.

Розв’язання

1. Оглянь умову зберігання на етикетці: «при температурі від $0^{\circ }\text{C}$ до мінус $5^{\circ }\text{C}$ включно не більше ніж 35 діб».

2. Запиши це як подвійну нерівність для температури $t$: $-5\le t\le 0$.

3. Для жирності, яка зазначена як $73,0\%$, можна вказати діапазон, наприклад: $72,5<p<73,5$ (де $p$ — відсоток жиру).

Розв’язання

1. а) Додаємо нерівності: $12+5<x+y<13+6\Rightarrow 17<x+y<19$. Віднімаємо: $12-6<x-y<13-5\Rightarrow 6<x-y<8$.

2. б) Додаємо: $0,32+0,25<x+y<0,33+0,27\Rightarrow 0,57<x+y<0,60$. Віднімаємо: $0,32-0,27<x-y<0,33-0,25\Rightarrow 0,05<x-y<0,08$.

Розв’язання

1. а) Сума: $7,2+3<x+y<7,4+4\Rightarrow 10,2<x+y<11,4$. Різниця: $7,2-4<x-y<7,4-3\Rightarrow 3,2<x-y<4,4$.

2. б) Сума: $6,42+3,15<x+y<6,45+3,22\Rightarrow 9,57<x+y<9,67$. Різниця: $6,42-3,22<x-y<6,45-3,15\Rightarrow 3,20<x-y<3,30$.

Розв’язання

1. Перевіряємо знаки: $x>0$ і $y>0$, тому множення не змінює напрямку нерівності.

2. Знаходимо нижню межу: $3\cdot 5=15$.

3. Знаходимо верхню межу: $4\cdot 7=28$.

Розв’язання

1. Обчислюємо нижню межу: $2\cdot 3=6$.

2. Обчислюємо верхню межу: $4\cdot 3,5=14$.

Розв’язання

1. Знаходимо нижню межу частки: $\frac{12}{6}=2$.

2. Знаходимо верхню межу частки: $\frac{15}{5}=3$.

Розв’язання

1. Для нижньої межі частки ділимо найменше $x$ на найбільше $y$: $\frac{16}{4}=4$.

2. Для верхньої межі частки ділимо найбільше $x$ на найменше $y$: $\frac{18}{3}=6$.

Розв’язання

1. Запишіть дві подвійні нерівності для змінних $a$ та $b$.

2. Оберіть одну з чотирьох дій над ними (наприклад, знайти суму $a+b$).

3. Оцініть отриманий вираз, використовуючи правила додавання подвійних нерівностей.

Розв’язання

1. Знайдемо межі для суми сторін: додаємо почленно нерівності $1,3<a<1,4$ і $0,6<b<0,8$, отримуючи $1,9<a+b<2,2$.

2. Знайдемо периметр: множимо кожну частину нерівності на 2, отримуємо $3,8<P<4,4$.

3. Знайдемо межі для площі: множимо найменші числа ($1,3\cdot 0,6=0,78$) та найбільші ($1,4\cdot 0,8=1,12$).

Розв’язання

1. Знайдемо межі для периметру $P$: оскільки $4,2<a<4,3$, то $4\cdot 4,2<4a<4\cdot 4,3$, отже $16,8<P<17,2$.

2. Знайдемо межі для площі $S$: оскільки $4,2<a<4,3$, то $4,2^2<a^2<4,3^2$, що дає $17,64<S<18,49$.

Розв’язання

1. Оцінимо периметр $P$: $3\cdot 1,8<3a<3\cdot 2,1$, отже $5,4\text{м}<P<6,3\text{м}$.

2. Оцінимо площу $S$: оскільки $1,8^2<a^2<2,1^2$, то $3,24<a^2<4,41$. Помножимо на $\frac{\sqrt{3}}{4}$: $\frac{3,24\sqrt{3}}{4}<S<\frac{4,41\sqrt{3}}{4}$.

3. Перевіримо умову $S=\sqrt{3}$: оскільки $\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0,43$, то мінімальна площа приблизно $0,43\cdot 3,24\approx 1,4$ м². Оскільки $\sqrt{3}\approx 1,73$, і ця величина знаходиться між знайденими межами ($1,4<1,73<1,9$), то така площа можлива.

Розв’язання

1. Переведемо межі довжини ребра в сантиметри або залишимо в міліметрах для зручності (залишаємо мм): $130<c<140$.

2. а) Сума довжин усіх 12 ребер дорівнює $12c$. Оцінимо: $12\cdot 130=1560$ і $12\cdot 140=1680$, отже, сума між $1560$ і $1680$ мм.

3. б) Площа поверхні дорівнює $6c^2$. Оцінимо: $6\cdot 130^2=6\cdot 16900=101400$ і $6\cdot 140^2=6\cdot 19600=117600$, отже, площа між $101400$ і $117600$ мм${}^2$.

4. в) Об'єм дорівнює $c^3$. Оцінимо: $130^3=2197000$ і $140^3=2744000$, отже, об'єм між $2197000$ і $2744000$ мм${}^3$.

Розв’язання

1. Вітальня — квадрат зі стороною $x$. Площа $S_{\text{віт}}=x^2$. Оцінка: $4,9^2=24,01$ і $5,1^2=26,01$. Отже, $24,01<S_{\text{віт}}<26,01$ м${}^2$.

2. Спальня — прямокутник зі сторонами $x$ і $y$. Площа $S_{\text{сп}}=x\cdot y$. Оцінка: мінімум $4,9\cdot 2,9=14,21$, максимум $5,1\cdot 3,1=15,81$. Отже, $14,21<S_{\text{сп}}<15,81$ м${}^2$.

3. Санблок — квадрат зі стороною $y$. Площа $S_{\text{сан}}=y^2$. Оцінка: $2,9^2=8,41$ і $3,1^2=9,61$. Отже, $8,41<S_{\text{сан}}<9,61$ м${}^2$.

4. Кухня — прямокутник зі сторонами $x$ і $(y-\text{ширина коридору?})$. Увага: На малюнку кухня має сторону $x$ (внизу) та сторону, що дорівнює різниці між верхньою частиною ($y$) та санблоком. Простіше: площа всієї квартири $S_{\text{кв}}=x\cdot y$. Оцінка: $4,9\cdot 2,9=14,21$ і $5,1\cdot 3,1=15,81$. Отже, $14,21<S_{\text{кв}}<15,81$ м${}^2$.

Розв’язання

1. а) Сума $\sqrt{2}+\sqrt{5}$. Мінімум: $1,4+2,2=3,6$. Максимум: $1,5+2,3=3,8$. Отже, $3,6<\sqrt{2}+\sqrt{5}<3,8$.

2. б) Різниця $\sqrt{5}-\sqrt{2}$. Мінімум: $2,2-1,5=0,7$. Максимум: $2,3-1,4=0,9$. Отже, $0,7<\sqrt{5}-\sqrt{2}<0,9$.

3. в) Різниця $2-\sqrt{2}$. Мінімум: $2-1,5=0,5$. Максимум: $2-1,4=0,6$. Отже, $0,5<2-\sqrt{2}<0,6$.

4. г) Частка $\sqrt{5}:\sqrt{2}$. Мінімум: найменший чисельник / найбільший знаменник = $2,2:1,5\approx 1,47$. Максимум: найбільший чисельник / найменший знаменник = $2,3:1,4\approx 1,64$. Отже, $1,47<\sqrt{5}:\sqrt{2}<1,64$.

Розв’язання

1. Переведемо максимальну допустиму масу з тонн у кілограми: $1,8\text{т}=1800\text{кг}$.

2. Знайдемо найбільшу можливу загальну масу вантажу, додавши максимальні маси окремих частин: $1690+95=1785\text{кг}$.

3. Порівняємо отриману суму з допустимою межею: $1785<1800$.

Розв’язання

1. Знайдемо діапазон значень суми кутів $\alpha +\beta$: додаємо нижню межу до нижньої ($62+95=157$) та верхню до верхньої ($63+96=159$), отже $157^{\circ }<\alpha +\beta <159^{\circ }$.

2. Знайдемо діапазон третього кута $\gamma$, віднявши суму від $180^{\circ }$: $180-159<\gamma <180-157$.

3. Обчислимо межі: $21^{\circ }<\gamma <23^{\circ }$.

Розв’язання

1. Оцінимо $r^2$: $2,5^2=6,25$, $2,6^2=6,76$, отже $6,25<r^2<6,76$.

2. Оцінимо площу $S$: нижня межа $3,14\cdot 6,25=19,625$, верхня межа $3,15\cdot 6,76=21,294$. Отже $19,6{\text{дм}}^2<S<21,3{\text{дм}}^2$ (з округленням).

3. Оцінимо довжину паркану $L=2\pi r$: нижня межа $2\cdot 3,14\cdot 2,5=15,7$, верхня межа $2\cdot 3,15\cdot 2,6=16,38$. Отже $15,7\text{дм}<L<16,4\text{дм}$.

Розв’язання

1. Знайдемо межі для площі: мінімальна площа $\approx \frac{8,4\cdot 6,5}{2}=27,3$, максимальна $\approx \frac{8,5\cdot 6,6}{2}=28,05$. Отже, $27,3<S<28,1$.

2. Оцінимо гіпотенузу $c$: мінімальна $\approx \sqrt{8,4^2+6,5^2}\approx 10,49$, максимальна $\approx \sqrt{8,5^2+6,6^2}\approx 10,73$.

3. Знайдемо межі для периметру: мінімальний $\approx 8,4+6,5+10,49=25,39$, максимальний $\approx 8,5+6,6+10,73=25,83$.

Розв’язання

1. Оцінимо зарплату проджект-менеджера за 3 місяці: $50000\cdot 3=150000$ грн (мін.) і $70000\cdot 3=210000$ грн (макс.).

2. Оцінимо витрати на сценариста: від $5000$ до $10000$ грн.

3. Витрати на продакшн: від $200000$ до $400000$ грн.

4. Складемо загальний бюджет: мінімум $=150000+5000+200000=355000$ грн; максимум $=210000+10000+400000=620000$ грн.

Розв’язання

1. Переведемо межі ваги в кілограми: $201\cdot 0,4536\approx 91,17\text{кг}$ і $224\cdot 0,4536\approx 101,61\text{кг}$.

2. Перевіримо масу Олександра Усика: він має вагу близько $109\text{кг}$ (за офіційними даними WBA).

3. Порівняємо: $109>101,61$, отже, його вага перевищує верхню межу категорії.

Розв’язання

1. Обираємо масу, наприклад, $50\text{кг}$.

2. Знаходимо в таблиці рядок для 50 кг (це жовтий блок).

3. Дивимось на діапазон зросту в цьому блоці: від 155 до 160 см.

4. Записуємо нерівність: $155<\text{Зріст}<160$.

Розв’язання

1. Знайдемо мінімальну швидкість течії: $\frac{40-37}{2}=\frac{3}{2}=1,5\text{км/год}$.

2. Знайдемо максимальну швидкість течії: $\frac{45-34}{2}=\frac{11}{2}=5,5\text{км/год}$.

Розв’язання

1. Цілі значення $x$: 11, 12.

2. а) Для $2x$: $2\cdot 11=22$, $2\cdot 12=24$. Відповідь: 22, 24.

3. б) Для $\frac{x^2}{5}$: при $x=11$ отримуємо $\frac{121}{5}=24,2$ (не ціле); при $x=12$ отримуємо $\frac{144}{5}=28,8$ (не ціле). Відповідь: немає цілих значень.

4. в) Для $3x-5$: при $x=11$ отримуємо $3\cdot 11-5=28$; при $x=12$ отримуємо $3\cdot 12-5=31$. Відповідь: 28, 31.

5. г) Для $\frac{12}{x}$: при $x=11$ отримуємо $\frac{12}{11}\approx 1,09$; при $x=12$ отримуємо $\frac{12}{12}=1$. Відповідь: 1.

Розв’язання

1. Знайдемо межі для виразу а) $2m+3n$:
   - Множимо нерівність на $m$ на 2: $-\frac{3}{2}<2m<\frac{5}{3}$ (тобто $-1,5<2m<1,66\dots$).
   - Множимо нерівність на $n$ на 3: $9<3n<30$.
   - Додаємо нерівності: $(-1,5+9)<2m+3n<(1,66\cdots +30)$, отже $7,5<2m+3n<31,66\dots$.

2. Знайдемо межі для виразу б) $4m-n$:
   - Множимо нерівність на $m$ на 4: $-3<4m<\frac{10}{3}$ (тобто $-3<4m<3,33\dots$).
   - Змінюємо знак нерівності на $n$: $-10<-n<-3$.
   - Додаємо нерівності: $(-3+(-10))<4m-n<(3,33\cdots +(-3))$, отже $-13<4m-n<0,33\dots$.

3. Знайдемо межі для виразу в) $m+n^2$:
   - Знаходимо межі квадрата $n$: оскільки $3<n<10$, то $9<n^2<100$.
   - Додаємо нерівність на $m$ ($-\frac{3}{4}<m<\frac{5}{6}$): $(-\frac{3}{4}+9)<m+n^2<(\frac{5}{6}+100)$, отже $8,25<m+n^2<100,83\dots$.

4. Знайдемо межі для виразу г) $n^2-m$:
   - Використовуємо межі квадрата $n$ ($9<n^2<100$).
   - Змінюємо знак нерівності на $m$: $-\frac{5}{6}<-m<\frac{3}{4}$.
   - Додаємо нерівності: $(9+(-\frac{5}{6}))<n^2-m<(100+\frac{3}{4})$, отже $8,17\cdots <n^2-m<100,75$.

Розв’язання

1. Записуємо нерівність $|x|<3$ у вигляді подвійної нерівності: $-3<x<3$.

Розв’язання

1. Розглядаємо пункт а): $2|x|<\pi$. Ділимо все на 2: $|x|<\frac{\pi }{2}$. Перетворюємо в подвійну: $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$.

2. Розглядаємо пункт б): $|x|-7\le -6$. Додаємо 7 до обох частин: $|x|\le -6+7$, тобто $|x|\le 1$. Перетворюємо в подвійну: $-1\le x\le 1$.

Розв’язання

1. Підрахуємо повні квадрати всередині листка: їх 14.

2. Оцінимо частково заповнені квадрати по краях (верхній край, нижній край, лівий і правий): їх площа приблизно дорівнює площі 10–12 повних квадратів.

3. Складемо подвійну нерівність: $14<S<14+12$, тобто $14<S<26$ (або $14<S<27$ залежно від точності оцінки країв).

Розв’язання

1. а) $|2x-1|<3$ записуємо як $-3<2x-1<3$. Додамо 1 до всіх частин: $-2<2x<4$. Поділимо на 2: $-1<x<2$.

2. б) $|2-0,5x|\le 2,5$ записуємо як $-2,5\le 2-0,5x\le 2,5$. Віднімемо 2: $-4,5\le -0,5x\le 0,5$. Поділимо на $-0,5$ (знак нерівності змінюється): $9\ge x\ge -1$, тобто $-1\le x\le 9$.

3. в) $|\sqrt{x}-5|<1$ записуємо як $-1<\sqrt{x}-5<1$. Додамо 5: $4<\sqrt{x}<6$. Піднесемо до квадрату (умови $x\ge 0$ виконуються): $16<x<36$.

Розв’язання

1. а) Доведемо ліву частину: $a<\frac{a+b}{2}$. Помножимо на 2 (знак не змінюється): $2a<a+b$. Віднімемо $a$: $a<b$ — це вірно за умовою. Доведемо праву частину: $\frac{a+b}{2}<b$. Помножимо на 2: $a+b<2b$. Віднімемо $b$: $a<b$ — вірно. Отже, $a<\frac{a+b}{2}<b$.

2. б) Доведемо ліву частину: $a<\sqrt{ab}$. Піднесемо до квадрату (числа додатні): $a^2<ab$. Поділимо на $a$ ($a>0$): $a<b$ — вірно. Доведемо праву частину: $\sqrt{ab}<b$. Піднесемо до квадрату: $ab<b^2$. Поділимо на $b$ ($b>0$): $a<b$ — вірно. Отже, $a<\sqrt{ab}<b$.