Сторінки 211–217

Розв’язання

1. Для пункту а) знайди стовпчик з інтервалом 12–15 км (від 9 до 12 на осі X). Його висота дорівнює 12.

2. Для пункту б) сума людей, що добиратися від 0 до 3 км (висота 10) та від 3 до 6 км (висота 16). Сума: $10+16=26$.

3. Для пункту в) додамо всі значення з осі Y: $10+16+20+12+4=62$.

4. Для пункту г) найвищий стовпчик відповідає інтервалу 6–9 км, отже мода — у цьому діапазоні.

Розв’язання

1. Ряд а) вже впорядкований. Найбільше повторень має число 8 (тричі). Отже, мода = 8. Число елементів $n=15$ (непарне), середина — 8-й елемент, що дорівнює 8. Медіана = 8.

2. Ряд б) також впорядкований. Найбільше повторень має число 12 (тричі). Отже, мода = 12. Число елементів $n=12$ (парне), середина між 6-м і 7-м елементами: $\frac{12+12}{2}=12$. Медіана = 12.

Розв’язання

1. Спочатку впорядкуємо числа за зростанням: $44,46,46,48,48,48,50,52$.

2. Порахуємо частоти кожного значення: число $44$ зустрічається 1 раз, $46$ — 2 рази, $48$ — 3 рази, $50$ — 1 раз, $52$ — 1 раз.

3. Найбільша частота дорівнює 3 і відповідає числу $48$. Отже, мода дорівнює $48$.

Розв’язання

1. Упорядкуємо дані за зростанням: $400,430,450,500,550,600,645$.

2. Визначаємо кількість чисел у вибірці: їх 7 (непарна).

3. Середнє число знаходимо за формулою $\frac{n+1}{2}$, де $n=7$: $\frac{7+1}{2}=4$. Число на четвертому місці — це $500$. Отже, медіана дорівнює $500\text{м}$.

Розв’язання

1. За діаграмою маємо вибірку: $30,20,10$.

2. Модою є найчастіше зустрічається число. У цьому випадку всі числа зустрічаються по одному разу, тому мода відсутня (або не визначена). Однак у контексті шкільних завдань часто шукають значення з найбільшою частотою в інших прикладах; тут жодне число не повторюється. Але якщо розглядати як вибірку величин, то мода відсутня. Перевіримо умову: чи можливо, що це кількість штук одного кольору? Ні, на осі Y — «Кількість листівок». Отже, значення $30$ (сині), $20$ (жовті), $10$ (зелені). Оскільки кожне число зустрічається один раз, мода відсутня. Але часто в таких тестах очікують відповідь «моди немає» або найчастіше значення, якщо є повторення. Тут повторень немає.

3. Знайдемо середнє арифметичне: сума чисел $30+20+10=60$. Кількість чисел — 3. Середнє дорівнює $\frac{60}{3}=20$.

Розв’язання

1. Оглянь вісь абсциси (кількість балів) та вісь ординат (відсоток учасників).

2. Визнач, що найвищий стовпчик відповідає діапазону від 70 до 80 балів (точніше, це пік розподілу).

3. Сформулюй висновок: гістограма показує, що більшість учасників набрали бали в межах 60–100, а найчастіше — близько 75–80 балів.

Розв’язання

1. Уявіть, що учасник А записує число 4, учасник Б — 8, учасник В — 12.

2. Складіть вибірку: $4,8,12$.

3. Знайдіть суму чисел: $4+8+12=24$.

4. Поділіть суму на кількість чисел (3): $24:3=8$. Середнє дорівнює 8.

Розв’язання

1. Для пункту а): упорядкуємо: $2,3,4,4,6,6,6,7,7,8,8,11$.
   - Мода: число 6 (зустрічається 3 рази).
   - Медіана: кількість чисел 12, середина між 6-м і 7-м членами ($6$ і $6$), отже $6$.
   - Середнє: сума $(2+3+4+4+6+6+6+7+7+8+8+11)=72$, кількість 12. $\bar{x}=72:12=6$.

2. Для пункту б): упорядкуємо: $11,12,13,13,13,14,15,15,16,17$.
   - Мода: число 13 (зустрічається 3 рази).
   - Медіана: кількість чисел 10, середина між 5-м і 6-м членами ($13$ і $14$), отже $(13+14):2=13,5$.
   - Середнє: сума $(11+12+13+13+13+14+15+15+16+17)=140$, кількість 10. $\bar{x}=140:10=14$.

Розв’язання

1. Варіант а): Впорядкований ряд: $5,5,6,6,7,11,11,11,11,15,15,17$. Кількість чисел $n=12$ (парне).
   - Мода: число $11$ зустрічається 4 рази (найчастіше).
   - Медіана: середні числа — це $6$-те і $7$-ме ($11$ і $11$), отже $\frac{11+11}{2}=11$.
   - Середнє: сума чисел $5+5+6+6+7+11+11+11+11+15+15+17=120$. Ділимо на $12$: $\frac{120}{12}=10$.

2. Варіант б): Впорядкований ряд: $5,6,7,9,9,10,12,16,16,16,19,19,22,33$. Кількість чисел $n=14$ (парне).
   - Мода: число $16$ зустрічається 3 рази (найчастіше).
   - Медіана: середні числа — це $7$-ме і $8$-ме ($9$ і $16$), отже $\frac{9+16}{2}=12,5$.
   - Середнє: сума чисел $5+6+7+9+9+10+12+16+16+16+19+19+22+33=209$. Ділимо на $14$: $\frac{209}{14}\approx 14,93$.

Розв’язання

1. Загальна кількість: $N=1+3+6+17+13+8+2=50$.

2. Відносні частоти: Ділимо кожне число з рядка «Кількість» на $50$ і множимо на $100\%$:
   - $-30^{\circ }$: $\frac{1}{50}\cdot 100\%=2\%$;
   - $-20^{\circ }$: $\frac{3}{50}\cdot 100\%=6\%$;
   - $-10^{\circ }$: $\frac{6}{50}\cdot 100\%=12\%$;
   - $0^{\circ }$: $\frac{17}{50}\cdot 100\%=34\%$;
   - $10^{\circ }$: $\frac{13}{50}\cdot 100\%=26\%$;
   - $20^{\circ }$: $\frac{8}{50}\cdot 100\%=16\%$;
   - $30^{\circ }$: $\frac{2}{50}\cdot 100\%=4\%$.

3. Центральні тенденції:
   - Мода: число $0^{\circ }$ (має частоту $17$, що є найбільшою).
   - Медіана: розпишемо рядок з урахуванням повторень: $-30,\underset{3}{\underbrace{-20,-20,-20}},\underset{6}{\underbrace{-10,\dots ,-10}},\underset{17}{\underbrace{0,\dots ,0}},\dots$.
   Середина припадає на $25$-те і $26$-те числа. До $24$-го числа ми дійшли до кінця групи $-10^{\circ }$ ($3+6=9$ чисел, в сумі з попередніми $1+9=10$, далі йде група $0^{\circ }$). Група $0^{\circ }$ починається з $11$-го числа (в розгорнутому списку) і триває до $27$-го ($10+17=27$). Отже, $25$-те і $26$-те числа — це $0$. Медіана дорівнює $0^{\circ }$.
   - Середнє: сума добутків значень на їх частоти поділити на $50$:
   $\frac{(-30)\cdot 1+(-20)\cdot 3+(-10)\cdot 6+0\cdot 17+10\cdot 13+20\cdot 8+30\cdot 2}{50}=\frac{-30-60-60+0+130+160+60}{50}=\frac{200}{50}=4$.

Розв’язання

1. Загальна кількість: $N=3+5+4+2+6+10+6+3+1=40$.

2. Відносні частоти: Ділимо на $40$:
   - $162$ см: $\frac{3}{40}\cdot 100\%=7,5\%$;
   - $163$ см: $\frac{5}{40}\cdot 100\%=12,5\%$;
   - $164$ см: $\frac{4}{40}\cdot 100\%=10\%$;
   - $165$ см: $\frac{2}{40}\cdot 100\%=5\%$;
   - $166$ см: $\frac{6}{40}\cdot 100\%=15\%$;
   - $167$ см: $\frac{10}{40}\cdot 100\%=25\%$;
   - $168$ см: $\frac{6}{40}\cdot 100\%=15\%$;
   - $169$ см: $\frac{3}{40}\cdot 100\%=7,5\%$;
   - $170$ см: $\frac{1}{40}\cdot 100\%=2,5\%$.

3. Центральні тенденції:
   - Мода: число $167$ см (має частоту $10$, що є найбільшою).
   - Медіана: впорядкований ряд має $40$ чисел. Середина припадає на $20$-те і $21$-ше числа.
   Сума частот до $166$ см: $3+5+4+2+6=20$. Отже, $20$-те число — це $166$ см.
   Сума частот до $167$ см: $20+10=30$. Отже, $21$-ше число — це $167$ см.
   Медіана: $\frac{166+167}{2}=166,5$ см.
   - Середнє (для повноти): сума добутків значень на частоти поділити на $40$:
   $\frac{162\cdot 3+163\cdot 5+164\cdot 4+165\cdot 2+166\cdot 6+167\cdot 10+168\cdot 6+169\cdot 3+170\cdot 1}{40}=\frac{486+815+656+330+996+1670+1008+507+170}{40}=\frac{7638}{40}=190,95$ см (ошибка в розрахунку, перевіримо: $162\cdot 3=486$, $163\cdot 5=815$, $164\cdot 4=656$, $165\cdot 2=330$, $166\cdot 6=996$, $167\cdot 10=1670$, $168\cdot 6=1008$, $169\cdot 3=507$, $170\cdot 1=170$. Сума: $486+815=1301$; $1301+656=1957$; $1957+330=2287$; $2287+996=3283$; $3283+1670=4953$; $4953+1008=5961$; $5961+507=6468$; $6468+170=6638$. Ділимо на $40$: $\frac{6638}{40}=165,95$ см).

4. Гістограма: На координатній площині відкладаємо по осі $X$ значення зросту ($162,\dots ,170$), по осі $Y$ — кількість учнів. Будуємо прямокутники висотою відповідно до частот: $3,5,4,2,6,10,6,3,1$.

Розв’язання

1. Переведемо часи в години: $1\text{год}20\text{хв}=1,33$, $1\text{год}40\text{хв}=1,67$. Впорядкований ряд: $1;1;1;1;1,33;1,5;1,5;1,5;1,5;1,5;1,67;2;2;2;2;2,5;2,5;2,5;3$.

2. Знайдемо моду: найчастіше зустрічається число $1,5$ (п'ять разів). Отже, мода = $1,5\text{год}$ (відповідає Б).

3. Знайдемо медіану: загальна кількість чисел $n=20$. Медіана — середнє арифметичне двох серединних чисел ($10$-го та $11$-го). У впорядкованому ряду це $1,5$ і $1,5$. Середнє: $(1,5+1,5):2=1,5\text{год}$ (відповідає Б).

4. Знайдемо середнє арифметичне: сума всіх чисел $=30,67$. Ділимо на кількість ($20$): $30,67:20\approx 1,53\text{год}$. (У варіантах відповідей немає точного збігу, найближче до розрахункового середнього значення — Г $1,76$ або Б $1,5$, але за умовою треба встановити відповідність. Якщо враховувати округлення або помилку в умові завдання у підручнику, найчастіше мода і медіана збігаються).

Розв’язання

1. Запиши свою вагу $m$ (кг) та зріст $h$ (м). Наприклад, якщо ти важить $60\text{кг}$ і ростом $1,75\text{м}$.

2. Обчисли квадрат зросту: $h^2=1,75\cdot 1,75=3,0625$.

3. Поділи вагу на отримане число: $\text{ІМЛ}=60:3,0625\approx 19,6$.

4. Знайди на малюнку 20.8 відповідну смугу для твого віку та статі (наприклад, зелена зона для чоловіків 15–17 років). Якщо твій розрахунковий ІМЛ потрапляє в межі цієї зони — все правильно.

Розв’язання

1. Загальний тренд даних показує суттєве зниження відсотка курців з $6,6\%$ у 2010 році до мінімуму $0,7\%$ у 2022 році.

2. У 2023 році спостерігається незначне підвищення показника до $1,0\%$, але він залишається на низькому рівні порівняно з початком періоду.

Розв’язання

1. Сума балів Даринки: $194+190+186+190=760$. Її середній бал: $\frac{760}{4}=190$.

2. Сума балів подруги: $165+160+176+155=656$. Її середній бал: $\frac{656}{4}=164$.

3. Порівнюємо значення: $190>164$. Різниця: $190-164=26$.

Розв’язання

1. Обчислимо добуток кожного числа на його частоту: $2\cdot 15=30$, $4\cdot 40=160$, $8\cdot 20=160$, $9\cdot 20=180$, $10\cdot 5=50$.

2. Знайдемо суму всіх добутків: $30+160+160+180+50=580$.

3. Поділимо цю суму на загальну кількість чисел (100): $\frac{580}{100}=5,8$.

Розв’язання

1. Обчислимо витрати на першу партію: $9\cdot 8=72\text{грн}$.

2. Обчислимо витрати на другу партію: $4\cdot 10=40\text{грн}$.

3. Обчислимо витрати на третю партію: $7\cdot 12=84\text{грн}$.

4. Знайдемо загальну суму витрат: $72+40+84=196\text{грн}$.

5. Знайдемо загальну кількість зошитів: $9+4+7=20\text{шт}$.

6. Обчислимо середню ціну: $\frac{196}{20}=9,8\text{грн}$.

Розв’язання

1. Знайдемо загальну масу першої партії з 9 кавунів: $9\cdot 12=108\text{кг}$.

2. Додаємо масу нового кавуна: $108+23=131\text{кг}$.

3. Знаходимо середню масу всіх 10 кавунів: $\frac{131}{10}=13,1\text{кг}$.

Розв’язання

1. Складаємо частотну таблицю:
   - Четвертий рівень: 4 учні
   - Третій рівень: 16 учнів
   - Другий рівень: 12 учнів
   - Перший рівень: 13 учнів
   - Загалом: $4+16+12+13=45$ учнів.

2. Побудова стовпчастої діаграми: на осі абсцис відкладаємо рівні, на осі ординат — кількість учнів і малюємо стовпчики висотою 4, 16, 12, 13 відповідно.

3. Побудова кругової діаграми: розраховуємо частки ($\frac{4}{45}\approx 8,9\%$, $\frac{16}{45}\approx 35,6\%$, $\frac{12}{45}\approx 26,7\%$, $\frac{13}{45}\approx 28,9\%$) і відкладає відповідні сектори.

Розв’язання

1. Відсортуємо дані або підрахуємо частоти для кожного розміру ($x$):
   - $42$: 1 раз; $44$: 2 рази; $46$: 5 разів; $48$: 10 разів; $50$: 9 разів; $52$: 8 разів; $54$: 7 разів; $56$: 3 рази; $58$: 1 раз.
   Перевірка суми: $1+2+5+10+9+8+7+3+1=50$ (все правильно).

2. Складаємо частотну таблицю та будуємо гістограму (вісь $X$ — розмір, вісь $Y$ — кількість жінок). Найвищий стовпчик відповідає розміру 48 (частота 10).

3. Знаходимо моду: найбільша частота — 10, отже мода $Mo=48$.

4. Знаходимо медіану: оскільки $n=50$, беремо середнє між 25-м і 26-м елементами у відсортованому списку. У відсортованому масиві (перші 10 елементів — це розмір 48, наступні 9 — розмір 50), 25-й та 26-й елементи потрапляють у групу з розміром 50. Отже, $Me=50$.

Розв’язання

1. Запиши уявні або реальні дані про розміри взуття 30 хлопців (наприклад: 39 — 2 рази, 40 — 5 разів тощо).

2. Склади частотну таблицю: перший рядок — розмір, другий — кількість хлопців з таким розміром.

3. Побудуй гістограму на основі цієї таблиці.

4. Знайди моду (найчастіший розмір), медіану (середнє значення при впорядкованих даних) та середнє арифметичне.

Розв’язання

1. Запишемо вибірку, розкриваючи кожну точку графіка: 0 разів прочитали — 4 дитини ($0,0,0,0$); 1 раз — 5 дітей ($1,1,1,1,1$); 2 рази — 7 дітей ($2,2,2,2,2,2,2$); 3 рази — 6 дітей ($3,3,3,3,3,3$); 4 рази — 3 дитини ($4,4,4$).

2. Впорядкуємо дані за зростанням: $0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4$.

3. Знайдемо моду: найчастіше зустрічається число $2$ (7 разів). Отже, мода дорівнює $2$.

4. Знайдемо медіану: загальна кількість елементів $n=4+5+7+6+3=25$. Оскільки $n$ непарне, медіана — це $\frac{25+1}{2}=13$-те число. Рахуючи від початку впорядкованого списку, 13-те число дорівнює $2$.

5. Знайдемо середнє арифметичне: сума всіх значень $(0\cdot 4+1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 6+4\cdot 3)=0+5+14+18+12=49$. Середнє дорівнює $\frac{49}{25}=1,96$.

Розв’язання

1. Запишемо дані з графіка: $5$-й клас — $400$, $6$-й — $550$, $7$-й — $450$, $8$-й — $200$, $9$-й — $600$. Вибірка: $400,550,450,200,600$.

2. Знайдемо моду: кожне число зустрічається лише один раз. Отже, мода відсутня.

3. Знайдемо медіану: впорядковуємо вибірку за зростанням: $200,400,450,550,600$. Кількість елементів $n=5$ (непарне). Медіана — це серединне число ($3$-тє), яке дорівнює $450$.

4. Знайдемо середнє арифметичне: сума чисел $200+400+450+550+600=2200$. Середнє дорівнює $\frac{2200}{5}=440$.

Розв’язання

1. Впорядковуємо дані: $90,125,125,130,130,135,135,135,135,140,140$. Кількість елементів $n=11$.

2. Знайдемо моду: число $135$ зустрічається 4 рази, що більше ніж у інших чисел. Отже, мода $=135\text{см}$.

3. Знайдемо медіану: оскільки $n=11$, медіана — це $\frac{11+1}{2}=6$-те число. Рахуючи від початку, 6-те число дорівнює $135$.

4. Знайдемо середнє арифметичне: сума чисел $90+125\cdot 2+130\cdot 2+135\cdot 4+140\cdot 2=90+250+260+540+280=1420$. Середнє дорівнює $\frac{1420}{11}\approx 129,1\text{см}$.

5. Порівнюємо значення: мода ($135$) і медіана ($135$) вищі за середнє ($129,1$), що свідчить про те, що більшість дівчат стрибають високо.

Розв’язання

1. Сортуємо дані за зростанням: $105,115,120,120,120,120,125,130,130,135,135,135$.

2. Визначаємо моду: числа $120$ та $135$ зустрічаються по 4 рази, інші — рідше. Отже, моди дві: $120\text{см}$ і $135\text{см}$.

3. Знаходимо медіану: у вибірці $n=12$ чисел (парна кількість), тому беремо середнє двох середніх чисел ($6$-го та $7$-го): $\frac{120+125}{2}=122,5\text{см}$.

4. Обчислюємо середнє: сума всіх значень $(105+115+120\times 4+125+130\times 2+135\times 3)=1570$. Ділимо на $12$: $\frac{1570}{12}\approx 130,8\text{см}$.

Розв’язання

1. Знаходимо суму балів перших $27$ учнів: $27\times 8=216$.

2. Додаємо оцінки трьох інших учнів: $216+7+8+12=243$.

3. Знаходимо новий середній бал для всіх $30$ учнів: $\frac{243}{30}=8,1$.

Розв’язання

1. Сума зрістів дівчат: $10\times 142,3=1423\text{см}$.

2. Сума зрістів хлопців: $5\times 138,4=692\text{см}$.

3. Загальна сума зрістів: $1423+692=2115\text{см}$.

4. Загальна кількість дітей: $10+5=15$.

5. Середній зріст усіх: $\frac{2115}{15}=141\text{см}$.

Розв’язання

1. Знайдемо загальну вартість усіх 70 дерев, помноживши середню ціну на кількість: $70\cdot 1500=105000$ грн.

2. Обчислимо вартість каштанів, помноживши їх кількість на ціну одного: $50\cdot 1600=80000$ грн.

3. Визначимо загальну вартість ялинок, віднявши вартість каштанів від загальної суми: $105000-80000=25000$ грн.

4. Знайдемо ціну однієї ялинки, поділивши їхню загальну вартість на кількість: $25000/20=1250$ грн.

Розв’язання

1. Скласти таблицю, де в першому стовпці записати діапазони відхилення маси ($31\text{–}40$ г, $21\text{–}30$ г тощо), а в другому — відповідні частоти ($3,15,20,30,17,2$).

2. Перевірити суму частот: $3+15+20+30+17+2=87$. (Примітка: у умові вказано «зі ста калачів», але сума чисел дає 87. Робимо розбір за вказаними цифрами).

3. Побудувати вісь $X$ (відхилення маси) та вісь $Y$ (кількість калачів).

4. Для кожного інтервалу накреслити прямокутник, ширина якого дорівнює ширині інтервалу (усі рівні 10 г), а висота — кількості калачів.

Розв’язання

1. Знайдемо мінімум ($7$) і максимум ($104$). Розмах $R=97$. Ділимо на 5 інтервалів: ширина $\approx 20$. Обираємо зручні цілісні межі: $[7;27),[27;47),[47;67),[67;87),[87;107]$.

2. Підрахуємо кількість магазинів у кожному інтервалі:
   - $[7;27)$: числа 7, 20, 20, 21, 24, 27 (враховуючи межу зазвичай ліва включна) — коректніше взяти інтервали типу $[7;26.5),[26.5;46.5)$ тощо для точності, але в шкільній практиці беруть круглі числа.
   Давайте візьмемо інтервали: $[7;27)$, $[27;47)$, $[47;67)$, $[67;87)$, $[87;107]$.
   - $[7;27)$: 7, 20, 20, 21, 24 (5 штук). Примітка: число 27 вже в наступному.
   - $[27;47)$: 27, 39, 40, 42, 44, 45, 46 (7 штук).
   - $[47;67)$: 49, 58, 62, 63, 65, 66, 68 (7 штук).
   - $[67;87)$: 70, 72, 76, 76, 78, 81 (6 штук).
   - $[87;107]$: 87, 93, 99, 104 (4 штуки).
   Перевірка суми: $5+7+7+6+4=29$. Умовою сказано 30 магазинів. Перепроверимо числа: 42, 24, 49, 76, 45, 27, 39, 21, 58, 40, 28, 78, 44, 66, 20, 62, 70, 81, 7, 68, 99, 76, 63, 87, 65, 104, 46, 20, 72, 93.
   Числа: 7, 20, 20, 21, 24 (5).
   27, 28, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 49 (9). Тут я помилився в грубій оцінці. Давайте перерахуємо уважніше з інтервалами $[7;27),[27;47),[47;67),[67;87),[87;107]$.
   - $[7;27)$: 7, 20, 20, 21, 24 (5).
   - $[27;47)$: 27, 28, 39, 40, 42, 44, 45, 46 (8).
   - $[47;67)$: 49, 58, 62, 63, 65, 66, 68 (7).
   - $[67;87)$: 70, 72, 76, 76, 78, 81 (6).
   - $[87;107]$: 87, 93, 99, 104 (4).
   Сума: $5+8+7+6+4=30$. Все вірно.

3. Побудуємо гістограму за цими даними.

Розв’язання

1. Припустимо, що в класі 25 учнів. Розподілимо відповіді так: 1 ліжко (5 осіб), 2 ліжка (10 осіб), 3 ліжка (8 осіб), 4 ліжка (2 особи).

2. Обчислимо відносні частоти: для 1 ліжка — $5/25=0,2$; для 2 ліжок — $10/25=0,4$; для 3 ліжок — $8/25=0,32$; для 4 ліжок — $2/25=0,08$.

3. Побудуймо частотну таблицю та гістограму (вісь X — кількість ліжок, вісь Y — відносна частота або кількість учнів).

Розв’язання

1. Візьмемо прикладну таблицю: січень–грудень споживають по 120 кВт·год (для спрощення). Загалом за рік $12\times 120=1440$ кВт·год.

2. а) Середнє за місяць: $1440/12=120$ кВт·год.

3. б) Середнє за квартал (3 місяці): $(120\times 3)/3=120$ кВт·год.

4. в) Середнє за пору року (наприклад, зима — 4 місяці по 150, літо — 4 місяці по 90, весна/осінь — 8 місяців по 120): Сума = $600+360+960=1920$. Середнє за півріччя: $1920/6=320$ (це неправильно, треба ділити на кількість місяців у періоді). Правильно: середнє за зиму ($4\text{ міс}\times 150=600$, середнє $=150$), за літо ($4\text{ міс}\times 90=360$, середнє $=90$).

Розв’язання

1. Знайдемо суму частот на діаграмі: $6+24+63+42+15=150$.

2. Знайдемо коефіцієнт масштабу: $k=1000/150=20/3\approx 6,67$.

3. Обчислимо кількість для кожного розміру:
   - XS: $6\times (20/3)=40$ шт.
   - S: $24\times (20/3)=160$ шт.
   - M: $63\times (20/3)=420$ шт.
   - L: $42\times (20/3)=280$ шт.
   - XL: $15\times (20/3)=100$ шт.

Розв’язання

1. Пункт а: Розкриваємо дужки: $6x-2+4x+12>1+5x$. Зводимо подібні доданки: $10x+10>5x+1$. Переносимо змінні вліво, числа вправо: $10x-5x>1-10$, отже $5x>-9$. Ділимо на 5: $x>-1,8$.

2. Пункт б: Розглядаємо квадратне рівняння $x^2+8x=0$. Виносимо $x$ за дужки: $x(x+8)=0$. Корені: $x_1=0$, $x_2=-8$. Оскільки коефіцієнт при $x^2$ додатний, парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями: $-8<x<0$.

3. Пункт в: Розглядаємо рівняння $x^2-4=0$, тобто $(x-2)(x+2)=0$. Корені: $x_1=2$, $x_2=-2$. Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями: $-2<x<2$.

Розв’язання

1. а) Розкриваємо дужки у першому доданку: $x^2-5x-x+5=x^2-6x+5$.

2. Розкриваємо другий доданок: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$.

3. Записуємо рівняння повністю: $x^2-6x+5+x^2+6x+9=x^2+18$.

4. Спрощуємо ліву частину, збираючи подібні доданки: $2x^2+14=x^2+18$.

5. Переносимо всі члени вліво: $x^2-4=0$.

6. Розв'язуємо квадратне рівняння: $x^2=4$, отже $x=\pm 2$.

7. б) Розкриваємо перші дві дужки: $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ і $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$. Сума лівої частини: $2x^2-2x+5$.

8. Розкриваємо праву частину рівняння: $(x+3)(x-1)+8=(x^2+2x-3)+8=x^2+2x+5$.

9. Записуємо повне рівняння: $2x^2-2x+5=x^2+2x+5$.

10. Спрощуємо, віднімаючи $x^2$ і $5$ з обох боків: $x^2-4x=2x$.

11. Переносимо $2x$ вліво: $x^2-6x=0$.

12. Виносимо спільний множник $x$: $x(x-6)=0$.

13. Знаходимо корені: $x_1=0$, $x_2=6$.