Сторінки 189–194

Розв’язання

1. Перший член $a_1=3$. Знаменник $q=\frac{1}{3}$ (кожен наступний член утричі менший попереднього).

2. Оскільки $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, сума існує. Підставимо значення в формулу: $S=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}$.

3. Спростимо знаменник: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Отже, $S=\frac{3}{\frac{2}{3}}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$.

Розв’язання

1. Запишемо загальний член як різницю: $\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$.

2. Підставимо це в суму і розкриємо дужки: $\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right)\right]$.

3. Скорочуємо проміжні доданки: залишаються лише перший і останній члени в дужках. Отримуємо $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n+3-3}{3(4n+3)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)}$.

Розв’язання

1. Запишемо розклад: $0,2(35)=\frac{2}{10}+\left(\frac{35}{1000}+\frac{35}{100000}+\dots \right)$.

2. Дужки містять нескінченну геометричну прогресію з $a_1=\frac{35}{1000}$ та знаменником $q=\frac{1}{10}$. Знайдемо її суму: $\frac{\frac{35}{1000}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{35}{1000}:\frac{9}{10}=\frac{35}{900}$.

3. Складемо частини: $\frac{2}{10}+\frac{35}{900}=\frac{180}{900}+\frac{35}{900}=\frac{215}{900}$.

4. Скоротимо дріб на 5: $\frac{215÷5}{900÷5}=\frac{43}{180}$.

Розв’язання

1. Запишемо всі числа: $-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6$.

2. Скоротимо пари протилежних чисел: $(-5+5)+(-4+4)+(-3+3)+(-2+2)+(-1+1)=0$.

3. Додамо залишилися числа: $0+0+6=6$.

Розв’язання

1. Оскільки $d=0$, то $a_1=a_2=\cdots =a_{100}=3$.

2. Знайдемо суму: $S=3\cdot 100$.

Розв’язання

1. Групуємо числа: $(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+(9-10)$.

2. Обчислюємо кожен дужковий вираз: $-1+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)$.

3. Додаємо отримані значення: $-5$.

Розв’язання

1. Записуємо формулу для суми арифметичної прогресії з першим членом 1 і різницею 1: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

2. Підставляємо $n=100$: $S_{100}=\frac{100\cdot (100+1)}{2}$.

3. Обчислюємо: $\frac{100\cdot 101}{2}=50\cdot 101=5050$.

Розв’язання

1. Розглядаємо пари чисел: $(-100+100)+(-99+99)+\cdots +(-1+1)+(0)$.

2. Кожна дужка дає в нуль, а число 0 не змінює суму.

3. Отже, загальна сума дорівнює $0$.

Розв’язання

1. Перевіряємо, чи є послідовність геометричною: $\frac{6}{2}=3$, $\frac{18}{6}=3$. Знаменник $q=3$.

2. Порівнюємо модуль знаменника з одиницею: $|3|>1$.

3. Оскільки знаменник більший за 1, сума прогресії нескінчена і не існує в звичайному розумінні.

Розв’язання

1. Перевіряємо перші два доданки для знаходження знаменника $q$: $\frac{a_2}{a_1}=\frac{0,5}{1}=0,5$. Оскільки $|0,5|<1$, сума існує.

2. Підставляємо значення $a_1=1$ та $q=0,5$ у формулу: $S=\frac{1}{1-0,5}=\frac{1}{0,5}$.

3. Обчислюємо результат ділення: $1:0,5=2$.

Розв’язання

1. Аналізуємо умову задачі: знаменник $q>1$.

2. Порівнюємо з критерієм існування суми: оскільки $|q|\ge 1$, прогресія розбігається.

3. Висновуємо, що сума нескінченної кількості таких доданків не існує (не є скінченим числом).

Розв’язання

1. Перевіряємо умову: $|q|<1$.

2. Висновуємо, що прогресія є нескінченно спадною (або зростаючою до нуля).

3. Відповідь полягає в тому, що сума дорівнює значенню, отриманому за формулою $S=\frac{a_1}{1-q}$.

Розв’язання

1. Підпункт а):
   - Перший член $a_1=1$.
   - Знаменник $q=\frac{2/3}{1}=\frac{2}{3}$. Оскільки $\left|\frac{2}{3}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

2. Підпункт б):
   - Перший член $a_1=1$.
   - Знаменник $q=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$. Оскільки $\left|\frac{1}{2}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

3. Підпункт в):
   - Перший член $a_1=9$.
   - Знаменник $q=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$. Оскільки $\left|-\frac{1}{3}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{9}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{4}{3}}=9\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{4}$.

4. Підпункт г):
   - Перший член $a_1=-8$.
   - Знаменник $q=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2}$. Оскільки $\left|-\frac{1}{2}\right|<1$, сума існує.
   - Обчислюємо: $S=\frac{-8}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-8}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-8}{\frac{3}{2}}=-8\cdot \frac{2}{3}=-\frac{16}{3}$.

Розв’язання

1. а) $a_1=1$, $q=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}$. Оскільки $|\frac{1}{3}|<1$, сума дорівнює $\frac{1}{1-1/3}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}$.

2. б) $a_1=2$, $q=\frac{-2/5}{2}=-\frac{1}{5}$. Оскільки $|-\frac{1}{5}|<1$, сума дорівнює $\frac{2}{1-(-1/5)}=\frac{2}{6/5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$.

3. в) $a_1=16$, $q=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$. Оскільки $|-\frac{1}{2}|<1$, сума дорівнює $\frac{16}{1-(-1/2)}=\frac{16}{3/2}=\frac{32}{3}$.

4. г) $a_1=-1$, $q=\frac{-3/4}{-1}=\frac{3}{4}$. Оскільки $|\frac{3}{4}|<1$, сума дорівнює $\frac{-1}{1-3/4}=\frac{-1}{1/4}=-4$.

Розв’язання

1. Перший член $a_1=1$.

2. Знаменник $q=\frac{1/4}{1}=\frac{1}{4}$.

3. Перевірка умови збіжності: $|\frac{1}{4}|<1$, тому сума існує.

4. Обчислення суми: $S=\frac{1}{1-1/4}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$.

Розв’язання

1. а) Перший член $a_1=3$. Знаменник $q=\frac{3/10}{3}=\frac{1}{10}$. Сума: $S=\frac{3}{1-1/10}=\frac{3}{9/10}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$.

2. б) Перший член $a_1=6$. Знаменник $q=\frac{6/10}{6}=\frac{1}{10}$. Сума: $S=\frac{6}{1-1/10}=\frac{6}{9/10}=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}$.

Розв’язання

1. а) $0,\mathrm{333...}=0+\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+...$. Тут $a_1=0,3$, $q=0,1$. Сума дробової частини: $\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{0,9}=\frac{1}{3}$. Відповідь: $\frac{1}{3}$.

2. б) $0,\mathrm{666...}=0+\frac{6}{10}+\frac{6}{100}+...$. Тут $a_1=0,6$, $q=0,1$. Сума: $\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{2}{3}$. Відповідь: $\frac{2}{3}$.

3. в) $0,\mathrm{111...}=0+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+...$. Тут $a_1=0,1$, $q=0,1$. Сума: $\frac{0,1}{1-0,1}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}$. Відповідь: $\frac{1}{9}$.

4. г) $0,\mathrm{1313...}=0+\frac{13}{100}+\frac{13}{10000}+...$. Тут $a_1=0,13$, $q=0,01$. Сума: $\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{0,13}{0,99}=\frac{13}{99}$. Відповідь: $\frac{13}{99}$.

Розв’язання

1. а) $0,(4)=0+\frac{4}{9}=\frac{4}{9}$. Відповідь: $\frac{4}{9}$.

2. б) $0,(5)=0+\frac{5}{9}=\frac{5}{9}$. Відповідь: $\frac{5}{9}$.

3. в) $0,(12)=0+\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$. Відповідь: $\frac{4}{33}$.

4. г) $0,(25)=0+\frac{25}{99}$. Відповідь: $\frac{25}{99}$.

Розв’язання

1. Перший трикутник має сторону $a_1=1\text{см}$. Його периметр $P_1=3\cdot 1=3\text{см}$.

2. Другий трикутник утворено з середин, тому його сторона $a_2=\frac{1}{2}\text{см}$. Периметр $P_2=3\cdot \frac{1}{2}=1,5\text{см}$.

3. Це нескінченна геометрична прогресія з першим членом $a_1=3$ та знаменником $q=\frac{1}{2}$.

4. Сума периметрів: $S=\frac{3}{1-0,5}=\frac{3}{0,5}=6\text{см}$.

Розв’язання

1. Перший квадрат має сторону $a_1=1\text{см}$, отже його периметр $P_1=4\cdot 1=4\text{см}$.

2. Діагональ першого квадрата $d_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{см}$. Сторона другого квадрата дорівнює половині цієї діагоналі: $a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{см}$.

3. Периметр другого квадрата $P_2=4\cdot a_2=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{см}$. Знаменник прогресії периметрів: $q=\frac{P_2}{P_1}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Сума всіх периметрів: $S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}$.

5. Розкриємо дужки в знаменнику і скоротимо на $\sqrt{2}$: $S=\frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2}=4(2+\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}\text{см}$.

Розв’язання

1. Перша прогресія: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$. Тут $a_1=\frac{1}{2}$, $q=\frac{1}{2}$. Сума $S_1=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$.

2. Друга прогресія: $\frac{3}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{32}+\dots$. Тут $a_1=\frac{3}{8}$, $q=\frac{1}{4}$. Сума $S_2=\frac{\frac{3}{8}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}}=\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{2}$.

3. Загальна сума: $S=S_1+S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
   Примітка: У умові завдання в підручнику є друкарська помилка у правій частині рівності (записано $\frac{7}{4}$, але правильна сума дорівнює $\frac{3}{2}$). Оскільки ми розв'язуємо за логікою задачі, даємо правильний результат.

Розв’язання

1. Перша прогресія (цілі числа): $8+4+2+\dots$. Тут $a_1=8$, $q=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Сума $S_1=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16$.

2. Друга прогресія (з коренем): $4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}+\dots$. Тут $a_1=4\sqrt{2}$, $q=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$. Сума $S_2=\frac{4\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}}=8\sqrt{2}$.

3. Загальна сума: $S=S_1+S_2=16+8\sqrt{2}$.

Розв’язання

1. Для пункту а) це геометрична прогресія з $b_1=1$ та $q=a$. Сума дорівнює $\frac{1}{1-a}$.

2. Для пункту б) це геометрична прогресія з $b_1=1$ та $q=-x$ (оскільки знаки чергуються). Сума дорівнює $\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $b_1=1$. Знаменник $q=\frac{1/\sqrt{2}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Сума $S=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Рационалізуємо знаменник: $\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2-1}=2+\sqrt{2}$.

2. Для пункту б): $b_1=1$. Знаменник $q=\pi -3$. Оскільки $\pi \approx 3,14$, то $q\approx 0,14<1$. Сума $S=\frac{1}{1-(\pi -3)}=\frac{1}{4-\pi }$.

Розв’язання

1. Варіант а):
   - Перший член $a_1=5\sqrt{5}$.
   - Знаменник $q=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Оскільки $\sqrt{5}>3$, то $q<1$, прогресія збігається.
   - Сума: $S=\frac{5\sqrt{5}}{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{25}{\sqrt{5}-1}$.
   - Рационалізуємо знаменник: $\frac{25(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{25(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{25(\sqrt{5}+1)}{4}$.

2. Варіант б):
   - Перший член $a_1=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$.
   - Знаменник $q=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Оскільки $\sqrt{2}\approx 1,41$, то $q\approx 0,3<1$.
   - Сума: $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}{1-(1-\frac{\sqrt{2}}{2})}=\frac{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{(2-\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
   - Рационалізуємо: $\frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$.

Розв’язання

1. Маємо рівність $\frac{3}{1-q}=4$.

2. Розв'язуємо відносно $q$: $3=4(1-q)\Rightarrow 3=4-4q\Rightarrow 4q=1\Rightarrow q=\frac{1}{4}$. Оскільки $|q|<1$, прогресія дійсно нескінченно спадна.

3. Загальний член: $b_n=3\cdot (\frac{1}{4}{)}^{n-1}$.

4. Перші члени: $b_1=3$, $b_2=3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, $b_3=3\cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{16}$ і т. д.

Розв’язання

1. Запишемо систему рівнянь:
   $\{\begin{array}{l}{a}_1-a_{1}q=8\\ \frac{a_1}{1-q}=18\end{array}$

2. З другого рівняння виразимо $a_1$: $a_1=18(1-q)$.

3. Підставимо це у перше рівняння: $18(1-q)-18(1-q)q=8\Rightarrow 18(1-q)(1-q)=8\Rightarrow 18(1-2q+q^2)=8$.
   Спростимо: $9(1-2q+q^2)=4\Rightarrow 9-18q+9q^2=4\Rightarrow 9q^2-18q+5=0$.

4. Розв'язуємо квадратне рівняння: $D=324-180=144$, $\sqrt{D}=12$.
   Корені: $q_1=\frac{18-12}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, $q_2=\frac{18+12}{18}=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}$.
   Оскільки прогресія нескінченно спадна, $|q|<1$, отже $q=\frac{1}{3}$.

5. Знаходимо перший член: $a_1=18(1-\frac{1}{3})=18\cdot \frac{2}{3}=12$.

6. Знаходимо четвертий член: $b_4=a_1{q}^3=12\cdot (\frac{1}{3}{)}^3=12\cdot \frac{1}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.

Розв’язання

1. Запишемо формули для сум: $\frac{b_1}{1-q}=1,5$ та $\frac{b_1^2}{1-q^2}=1,125$.

2. З першого рівняння виразимо $b_1$: $b_1=1,5(1-q)$.

3. Підставимо це значення у друге рівняння: $\frac{(1,5(1-q){)}^2}{1-q^2}=1,125$. Оскільки $1-q^2=(1-q)(1+q)$, скоротимо дріб на $(1-q)$.

4. Отримаємо рівняння $\frac{2,25(1-q)}{1+q}=1,125$. Поділимо обидві частини на $1,125$: $\frac{2}{1+q}=1$, звідки $1+q=2$, тобто $q=0,5$.

5. Знайдемо перший член: $b_1=1,5(1-0,5)=1,5\cdot 0,5=0,75$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу n-го члена: $b_n=5\cdot 3^{-n}=5\cdot (\frac{1}{3}{)}^n$.

2. Перший член прогресії ($n=1$): $b_1=5\cdot (\frac{1}{3}{)}^1=\frac{5}{3}$.

3. Знаменник прогресії — це основа степеня при $n$: $q=\frac{1}{3}$.

4. Обчислимо суму за формулою: $S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$.

5. Скоротимо дріб і отримаємо результат: $\frac{5}{2}=2,5$.

Розв’язання

1. Оскільки малюнок не містить числових даних (сторони або радіус), ми можемо лише описати алгоритм розв'язання.

2. Позначимо периметр першого трикутника як $P_1$ та довжину кола як $L_1$.

3. Припустимо, що фігури побудовані за принципом середин сторін (як у задачі 1000), тоді коефіцієнт подібності $q=\frac{1}{2}$.

4. Сума периметрів: $S_P=P_1+P_{1}q+P_1{q}^2+\cdots =\frac{P_1}{1-q}=\frac{P_1}{0,5}=2P_1$.

5. Сума довжин кіл: $S_L=L_1+L_{1}q+L_1{q}^2+\cdots =\frac{L_1}{1-q}=\frac{L_1}{0,5}=2L_1$.

Розв’язання

1. а) $10,(4)=10+0,(4)$. Переведемо $0,(4)$: $\frac{4}{9}$. Отже, $10\frac{4}{9}=\frac{94}{9}$.

2. б) $3,0(6)=3+0,0(6)$. Переведемо $0,0(6)$: $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$. Отже, $3\frac{1}{15}=\frac{46}{15}$.

3. в) $0,(24)=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}$.

4. г) $1,4(7)=1+0,4(7)$. Переведемо $0,4(7)$: $\frac{47-4}{90}=\frac{43}{90}$. Отже, $1\frac{43}{90}=\frac{133}{90}$.

Розв’язання

1. а) $3,(5)=3+\frac{5}{9}=\frac{27+5}{9}=\frac{32}{9}$.

2. б) $21,(21)=21+\frac{21}{99}=21+\frac{7}{33}=\frac{693+7}{33}=\frac{700}{33}$.

3. в) $1,1(6)=1+0,1(6)=1+\frac{16-1}{90}=1+\frac{15}{90}=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$.

4. г) $10,00(52)=10+\frac{52}{9900}=10+\frac{26}{4950}=10+\frac{13}{2475}=\frac{24750+13}{2475}=\frac{24763}{2475}$.

Розв’язання

1. а) $0,(6)+0,(7)=\frac{6}{9}+\frac{7}{9}=\frac{13}{9}=1\frac{4}{9}$. Це відповідає варіанту Г ($1\frac{4}{9}$).

2. б) $0,(12)+1,(5)=\frac{12}{99}+1\frac{5}{9}=\frac{4}{33}+\frac{14}{9}=\frac{12+154}{99}=\frac{166}{99}=1\frac{67}{99}$. Це відповідає варіанту Б ($1\frac{67}{99}$).

3. в) $2,(36)-1,(12)=(2+\frac{36}{99})-(1+\frac{12}{99})=1+\frac{24}{99}=1+\frac{8}{33}=1\frac{8}{33}$. Це відповідає варіанту В ($1\frac{8}{33}$).

4. г) $2,1(6)-0,(45)=(2+\frac{16-1}{90})-\frac{45}{99}=2+\frac{15}{90}-\frac{5}{11}=2+\frac{1}{6}-\frac{5}{11}=\frac{132+11-30}{66}=\frac{113}{66}$ — помилка в обчисленні, перевіримо: $2,1(6)=2\frac{16}{90}=2\frac{8}{45}$. $0,(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$. $2\frac{8}{45}-\frac{5}{11}=\frac{220+88-225}{247.5}$ — краще спростити: $2,1(6)=2\frac{16}{90}=2\frac{8}{45}$. $0,(45)=\frac{5}{11}$. Спільний знаменник 495. $\frac{2\cdot 495+8\cdot 11-5\cdot 45}{495}=\frac{990+88-225}{495}=\frac{853}{495}$. Перевіримо варіанти: А $1\frac{5}{9}$, Б $1\frac{67}{99}$, В $1\frac{8}{33}$, Г $1\frac{4}{9}$, Д $1\frac{47}{66}$. Помилка в умові або моєму розрахунку. Перевіримо ще раз: $2,1(6)=2+\frac{16-1}{90}=2+\frac{15}{90}=2+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$. $0,(45)=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$. $\frac{13}{6}-\frac{5}{11}=\frac{143-30}{66}=\frac{113}{66}=1\frac{47}{66}$. Це відповідає варіанту Д ($1\frac{47}{66}$).

5. д) $0,(3)+1,(2)=\frac{3}{9}+(1+\frac{2}{9})=\frac{1}{3}+\frac{11}{9}=\frac{3+11}{9}=\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}$. Це відповідає варіанту А ($1\frac{5}{9}$).
   Відповідність: 1–Г, 2–Б, 3–В, 4–Д, 5–А. Фізик поруч із Ґауссом — Вільгельм Вебер.

Розв’язання

1. Сума прогресії дорівнює $S=\frac{\frac{1}{x}}{x-1}$. Прирівнюємо до заданого значення: $\frac{1}{x(x-1)}=\frac{7}{2}$.

2. Розв'язуємо рівняння: $2=7x(x-1)\Rightarrow 7x^2-7x-2=0$. Дискримінант $D=49-4\cdot 7\cdot (-2)=121$. Корені: $x_1=\frac{7+11}{14}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$, $x_2=\frac{7-11}{14}=-\frac{4}{14}=-\frac{2}{7}$.

3. Перевіряємо умову $|x|<1$: $\left|\frac{9}{7}\right|>1$ (не підходить), $\left|-\frac{2}{7}\right|<1$ (підходить).

Розв’язання

1. Запишемо сума як суму двох геометричних прогресій: $S=(1+x^2+x^4+\dots )-(x^3+x^5+x^7+\dots )$.

2. Знайдемо суму першої частини, де $a=1$ і $q=x^2$: $S_1=\frac{1}{1-x^2}$.

3. Знайдемо суму другої частини, де $a=x^3$ і $q=x^2$: $S_2=\frac{x^3}{1-x^2}$.

4. Обчислимо загальну суму: $\frac{1}{1-x^2}-\frac{x^3}{1-x^2}=\frac{1-x^3}{1-x^2}$.

5. Спростимо дріб, розклавши чисельник на множники $(1-x)(1+x+x^2)$ і знаменник як $(1-x)(1+x)$: $\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{(1-x)(1+x)}=\frac{1+x+x^2}{1+x}$.

6. За умовою рівняння прирівнюємо отриманий вираз до $\frac{13}{6}$ і розв'язуємо відносно $x$: $\frac{1+x+x^2}{1+x}=\frac{13}{6}\Rightarrow 6(1+x+x^2)=13(1+x)\Rightarrow 6+6x+6x^2=13+13x\Rightarrow 6x^2-7x-7=0$.

7. Знаходимо корені квадратного рівняння: $D=(-7{)}^2-4\cdot 6\cdot (-7)=49+168=217$. Корені: $x_1=\frac{7+\sqrt{217}}{12}$, $x_2=\frac{7-\sqrt{217}}{12}$.

8. Перевіряємо умову $|x|<1$. Оскільки $\sqrt{217}>14$, то $\frac{7+14}{12}>1$, отже, перший корінь не підходить. Другий корінь менший за 1 за модулем.

Розв’язання

1. Спрощуємо загальний член для випадку а): $\frac{41}{n(n+1)}=41\cdot (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.

2. Записуємо суму перших 40 членів: $S_{40}=41\cdot [(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{40}-\frac{1}{41})]$.

3. Після скорочення залишається $S_{40}=41\cdot (1-\frac{1}{41})=41\cdot \frac{40}{41}=40$.

4. Спрощуємо загальний член для випадку б): $\frac{3}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{3}{3}\cdot (\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})=1\cdot (\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})$.

5. Записуємо суму перших 40 членів: $S_{40}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\cdots +(\frac{1}{3\cdot 40-2}-\frac{1}{3\cdot 40+1})$.

6. Після скорочення залишається $S_{40}=1-\frac{1}{121}=\frac{120}{121}$.

Розв’язання

1. Пункт а) Зауважимо, що $\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}=1\cdot \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$. Сума перетворюється на $\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$.

2. Після скорочення залишаються перший доданок і останній: $1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$.

3. Пункт б) Зауважимо, що $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$. Сума перетворюється на $\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right]$.

4. Після скорочення залишається $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n+2-2}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$.