ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 167–174

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–913 · 103 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 167

§ 16. Арифметична прогресія

Завдання 1

Сума двоцифрових чисел

Знайти суму всіх двоцифрових натуральних чисел (від 10 до 99). Це скінчена арифметична прогресія з першим членом $a_{1} = 10$ і останнім $a_{n} = 99$ . Кількість членів — 90.

Розв’язання

Перевіримо кількість членів: від 10 до 99 включно це $99 - 10 + 1 = 90$ чисел.
Підставимо значення у формулу суми: $S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90$ .
Обчислимо: $\frac{109}{2} \cdot 90 = 54, 5 \cdot 90 = 4905$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 4905.

Завдання 2

Перевірка членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з першим членом $a_{1} = 5$ і різницею $d = 3$ . Потрібно перевірити, чи є числа 1000 та 200 її членами.

Розв’язання

Для числа 1000: $1000 = 5 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow 995 = 3 (n - 1)$ . Оскільки 995 не ділиться на 3 без остачі, $n$ не є натуральним числом. Отже, 1000 не є членом прогресії.
Для числа 200: $200 = 5 + (n - 1) \cdot 3 \Rightarrow 195 = 3 (n - 1)$ . Ділимо на 3: $65 = n - 1$ , звідси $n = 66$ .

Відповідь:

Число 1000 не є членом даної арифметичної прогресії, а число 200 — її 66-й член.

Сторінка 168

Завдання 811

Знаходження різниці прогресії

Дано послідовності чисел, треба знайти їхню різницю $d$ .
а) $3, 5, 7, \dots$ ; б) $12, 10, 8, \dots$ ; в) $- 2, 1, 4, \dots$ ; г) $- 7, - 9, - 11, \dots$ .

Розв’язання

а) $5 - 3 = 2$ .
б) $10 - 12 = - 2$ .
в) $1 - (- 2) = 3$ .
г) $- 9 - (- 7) = - 2$ .

Відповідь:

а) $d = 2$ ; б) $d = - 2$ ; в) $d = 3$ ; г) $d = - 2$ .

Завдання 812

Знаходження першого члена прогресії

Різниця прогресії $d = 2$ , другий член $a_{2} = - 3$ . Знайти $a_{1}$ .

Розв’язання

Записуємо формулу зв'язку: $a_{2} = a_{1} + d$ .
Підставляємо відомі значення: $- 3 = a_{1} + 2$ .
Знаходимо $a_{1}$ : $a_{1} = - 3 - 2 = - 5$ .

Відповідь:

В $- 5$ .

Завдання 813

Перевірка на арифметичну прогресію

Дано дві послідовності чисел, треба визначити, чи є вони арифметичними прогресіями.
а) $1, 3, 5, 8, 11, 14, \dots$ ; б) $0, - 1, - 3, - 5, - 8, \dots$ .

Розв’язання

а) Знайдемо різниці: $3 - 1 = 2$ , $5 - 3 = 2$ , але $8 - 5 = 3$ . Оскільки різниця змінилася ( $2 \neq = 3$ ), це не арифметична прогресія.
б) Знайдемо різниці: $- 1 - 0 = - 1$ , $- 3 - (- 1) = - 2$ , $- 5 - (- 3) = - 2$ . Оскільки $- 1 \neq = - 2$ , різниця не стала, отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

ні в одному випадку послідовність не є арифметичною прогресією.

Завдання 814

Перевірка арифметичних прогресій

Дано чотири послідовності чисел (а, б, в, г). Потрібно визначити, які з них є арифметичними прогресіями, і для цих послідовностей знайти перший член та різницю.

Розв’язання

Послідовність а) $0; 3; 6; \dots$ : Різниця $d = 3 - 0 = 3$ . Перший член $a_{1} = 0$ . Це прогресія ( $d = 3$ ).
Послідовність б) $- 2; - 4; - 6; \dots$ : Різниця $d = - 4 - (- 2) = - 2$ . Перший член $a_{1} = - 2$ . Це прогресія ( $d = - 2$ ).
Послідовність в) $3; 3; 3; \dots$ : Різниця $d = 3 - 3 = 0$ . Перший член $a_{1} = 3$ . Це прогресія ( $d = 0$ ).
Послідовність г) $5; 10; 20; \dots$ : Різниця між першими двома $10 - 5 = 5$ , між наступними $20 - 10 = 10$ . Оскільки різниці не однакові, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

Арифметичними є послідовності а) ( $a_{1} = 0, d = 3$ ), б) ( $a_{1} = - 2, d = - 2$ ), в) ( $a_{1} = 3, d = 0$ ). Послідовність г) не є арифметичною прогресією.

Завдання 815

Знаходження члена прогресії за початком

Дано арифметичну прогресію з членами $3, 7, 11, \dots$ . Потрібно знайти шостий член ( $a_{6}$ ).

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 3$ .
Різниця між сусідніми членами $d = 7 - 3 = 4$ .
Підставимо значення в формулу для шостого члена: $a_{6} = 3 + (6 - 1) \cdot 4 = 3 + 5 \cdot 4 = 3 + 20 = 23$ .

Відповідь:

23.

Завдання 816

Вибір формули прогресії за параметрами

Дано, що арифметична прогресія має перший член $a_{1} = 5$ та різницю $d = 4$ . Потрібно обрати правильну загальну формулу для цього ряду.

Розв’язання

Формула загального члена: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
Підставимо $a_{1} = 5$ та $d = 4$ : $a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 4$ .
Розкриємо дужки: $a_{n} = 5 + 4 n - 4 = 4 n + 1$ .
Порівняємо отриманий вираз з варіантами відповідей. Варіант Б має вигляд $5 + 4 (n - 1)$ , що є безпосереднім застосуванням формули. Варіант В ( $a_{n} = 4 + 5 n$ ) відповідає прогресії з $a_{1} = 4, d = 5$ .

Відповідь:

Б.

Завдання 817

Побудова початкових членів прогресії

Записати перші п'ять членів арифметичної прогресії за заданими значеннями $a_{1}$ та $d$ :
а) $a_{1} = 7, d = 2$ ;
б) $a_{1} = 0, 5, d = - 10$ ;
в) $a_{1} = - \frac{1}{4}, d = \frac{1}{4}$ ;
г) $a_{1} = 9, d = 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a_{1} = 7$ ; $a_{2} = 7 + 2 = 9$ ; $a_{3} = 9 + 2 = 11$ ; $a_{4} = 11 + 2 = 13$ ; $a_{5} = 13 + 2 = 15$ .
Для пункту б): $a_{1} = 0, 5$ ; $a_{2} = 0, 5 - 10 = - 9, 5$ ; $a_{3} = - 9, 5 - 10 = - 19, 5$ ; $a_{4} = - 19, 5 - 10 = - 29, 5$ ; $a_{5} = - 29, 5 - 10 = - 39, 5$ .
Для пункту в): $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ; $a_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$ ; $a_{3} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ; $a_{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ; $a_{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Для пункту г): $d = 0$ , отже, всі члени дорівнюють першому: $9, 9, 9, 9, 9$ .

Відповідь:

а) $7; 9; 11; 13; 15$ ; б) $0, 5; - 9, 5; - 19, 5; - 29, 5; - 39, 5$ ; в) $- \frac{1}{4}; 0; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}$ ; г) $9; 9; 9; 9; 9$ .

Завдання 818

Побудова перших семи членів прогресії

Записати сім перших членів арифметичної прогресії за заданими значеннями $a_{1}$ та $d$ :
а) $a_{1} = 2, d = 5$ ;
б) $a_{1} = - 3, d = 4$ ;
в) $a_{1} = 0, d = 7$ ;
г) $a_{1} = 4, d = - 1$ .

Розв’язання

Для пункту а): $2; 7; 12; 17; 22; 27; 32$ .
Для пункту б): $- 3; 1; 5; 9; 13; 17; 21$ .
Для пункту в): $0; 7; 14; 21; 28; 35; 42$ .
Для пункту г): $4; 3; 2; 1; 0; - 1; - 2$ .

Відповідь:

а) $2; 7; 12; 17; 22; 27; 32$ ; б) $- 3; 1; 5; 9; 13; 17; 21$ ; в) $0; 7; 14; 21; 28; 35; 42$ ; г) $4; 3; 2; 1; 0; - 1; - 2$ .

Завдання 819

Знаходження конкретних членів прогресії

У арифметичній прогресії $a_{1} = 5, d = - 4$ . Знайти значення $a_{7}$ та $a_{20}$ .

Розв’язання

Знаходимо $a_{7}$ : підставляємо $a_{1} = 5, d = - 4, n = 7$ у формулу: $a_{7} = 5 + (7 - 1) \cdot (- 4) = 5 + 6 \cdot (- 4) = 5 - 24 = - 19$ .
Знаходимо $a_{20}$ : підставляємо $a_{1} = 5, d = - 4, n = 20$ у формулу: $a_{20} = 5 + (20 - 1) \cdot (- 4) = 5 + 19 \cdot (- 4) = 5 - 76 = - 71$ .

Відповідь:

$a_{7} = - 19, a_{20} = - 71$ .

Сторінка 169

Завдання 820

Знаходження членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з першим членом $a_{1} = 9$ і різницею $d = 4$ . Потрібно знайти значення п'ятнадцятого ( $a_{15}$ ) та тридцять другого ( $a_{32}$ ) членів.

Розв’язання

Знайдемо $a_{15}$ : $a_{15} = 9 + (15 - 1) \cdot 4 = 9 + 14 \cdot 4 = 9 + 56 = 65$ .
Знайдемо $a_{32}$ : $a_{32} = 9 + (32 - 1) \cdot 4 = 9 + 31 \cdot 4 = 9 + 124 = 133$ .

Відповідь:

$a_{15} = 65$ , $a_{32} = 133$ .

Завдання 821

Знаходження різниці та членів прогресії

Дано арифметичну прогресію, де другий член $a_{2} = 14$ , а третій член $a_{3} = 25$ . Потрібно знайти різницю $d$ , десятий член $a_{10}$ та двадцятий член $a_{20}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю: $d = a_{3} - a_{2} = 25 - 14 = 11$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 14 - 11 = 3$ .
Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 11 = 3 + 9 \cdot 11 = 3 + 99 = 102$ .
Знайдемо $a_{20}$ : $a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 11 = 3 + 19 \cdot 11 = 3 + 209 = 212$ .

Відповідь:

$d = 11$ , $a_{10} = 102$ , $a_{20} = 212$ .

Завдання 822

Визначення різниці та десятого члена за послідовністю

Для кожної з наведених послідовностей потрібно знайти різницю $d$ і десятій член $a_{10}$ . Послідовності: а) $2, 7, 12, \dots$ ; б) $3, 1, - 1, \dots$ ; в) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \dots$ .

Розв’язання

а) Різниця $d = 7 - 2 = 5$ . Перший член $a_{1} = 2$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 5 = 2 + 45 = 47$ .
б) Різниця $d = 1 - 3 = - 2$ . Перший член $a_{1} = 3$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot (- 2) = 3 - 18 = - 15$ .
в) Перевіримо різницю: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{6}$ ; наступна різниця $\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6}$ . Різниця стала, $d = - \frac{1}{6}$ . Перший член $a_{1} = \frac{1}{2}$ . Знайдемо $a_{10}$ : $a_{10} = \frac{1}{2} + (10 - 1) \cdot (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{9}{6} = \frac{3}{6} - \frac{9}{6} = - \frac{6}{6} = - 1$ .

Відповідь:

а) $d = 5, a_{10} = 47$ ; б) $d = - 2, a_{10} = - 15$ ; в) $d = - \frac{1}{6}, a_{10} = - 1$ .

Завдання 823

Знайти різницю та десятий член прогресії

Дано послідовності, треба знайти $d$ та $a_{10}$ :
а) $- 8, - 5, - 2, \dots$ ;
б) $10, 8, 6, \dots$ ;
в) $1, 1 \frac{1}{6}, 1 \frac{1}{3}, \dots$ .

Розв’язання

а) Знайдемо $d$ : $- 5 - (- 8) = 3$ . Перший член $a_{1} = - 8$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = - 8 + (10 - 1) \cdot 3 = - 8 + 27 = 19$ .
б) Знайдемо $d$ : $8 - 10 = - 2$ . Перший член $a_{1} = 10$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = 10 + (10 - 1) \cdot (- 2) = 10 - 18 = - 8$ .
в) Запишемо числа як неправильні дроби: $1, \frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \dots$ . Знайдемо $d$ : $\frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$ . Перший член $a_{1} = 1$ . Обчислимо $a_{10}$ : $a_{10} = 1 + (10 - 1) \cdot \frac{1}{6} = 1 + \frac{9}{6} = 1 + 1 \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

а) $d = 3, a_{10} = 19$ ; б) $d = - 2, a_{10} = - 8$ ; в) $d = \frac{1}{6}, a_{10} = 2 \frac{1}{2}$ .

Завдання 824

Гра з арифметичною прогресією

Перший гравець називає третій член ( $a_{3}$ ), другий — п'ятий ( $a_{5}$ ), третій — четвертий ( $a_{4}$ ). Потім треба знайти ці числа, щоб продовжити гру.

Розв’язання

Припустимо умову гри та призначимо числа для розв'язання (оскільки конкретні числа не задані, розглянемо загальний випадок або приклад). Нехай $a_{3} = 7$ , $a_{5} = 11$ .
Знайдемо різницю: $a_{5} - a_{3} = 2 d \Rightarrow 11 - 7 = 4 \Rightarrow d = 2$ .
Знайдемо перший член: $a_{3} = a_{1} + 2 d \Rightarrow 7 = a_{1} + 4 \Rightarrow a_{1} = 3$ .
Перевіримо четвертий член: $a_{4} = 3 + (4 - 1) \cdot 2 = 9$ . Відповідь для цього прикладу: послідовність $3, 5, 7, 9, 11, \dots$ .

Відповідь:

Гра передбачає побудову послідовності на основі заданих членів. Приклад розв'язання: якщо $a_{3} = 7$ і $a_{5} = 11$ , то $d = 2, a_{1} = 3, a_{4} = 9$ .

Завдання 825

Знайти різницю арифметичної прогресії (англійською)

Find the common difference of an arithmetic progression $(a_{n})$ , if:
а) $a_{1} = 5, a_{7} = 95$ ;
б) $a_{1} = 2, 3, a_{5} = 1, 5$ .

Розв’язання

а) Маємо $a_{1} = 5, a_{7} = 95$ . Різниця між членами: $95 - 5 = 90$ . Кількість кроків: $7 - 1 = 6$ . Знаходимо $d$ : $d = \frac{90}{6} = 15$ .
б) Маємо $a_{1} = 2, 3, a_{5} = 1, 5$ . Різниця між членами: $1, 5 - 2, 3 = - 0, 8$ . Кількість кроків: $5 - 1 = 4$ . Знаходимо $d$ : $d = \frac{- 0 , 8}{4} = - 0, 2$ .

Відповідь:

а) $d = 15$ ; б) $d = - 0, 2$ .

Завдання 826

Знаходження різниці прогресії

а) $a_{1} = - 15$ , $a_{10} = - 24$ ; б) $a_{1} = - 17$ , $a_{7} = 97$ .

Розв’язання

а) Підставимо дані у формулу: $- 24 = - 15 + (10 - 1) d$ . Спростимо: $- 9 = 9 d$ , звідки $d = - 1$ .
б) Аналогічно: $97 = - 17 + (7 - 1) d$ . Отримаємо $114 = 6 d$ , звідки $d = 19$ .

Відповідь:

а) $d = - 1$ ; б) $d = 19$ .

Завдання 827

Знаходження першого члена прогресії

а) $a_{11} = 25$ , $d = 2$ ; б) $a_{36} = 5$ , $d = - 1$ .

Розв’язання

а) $a_{1} = 25 - (11 - 1) \cdot 2 = 25 - 20 = 5$ .
б) $a_{1} = 5 - (36 - 1) \cdot (- 1) = 5 + 35 = 40$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 5$ ; б) $a_{1} = 40$ .

Завдання 828

Знаходження першого члена прогресії

а) $a_{8} = 9$ , $d = 0, 3$ ; б) $a_{21} = - 50$ , $d = 3$ .

Розв’язання

а) $a_{1} = 9 - 0, 3 \cdot (8 - 1) = 9 - 2, 1 = 6, 9$ .
б) $a_{1} = - 50 - 3 \cdot (21 - 1) = - 50 - 60 = - 110$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 6, 9$ ; б) $a_{1} = - 110$ .

Завдання 829

Знаходження членів прогресії за двома сусідніми

Дано арифметичну прогресію, де $a_{17} = 53$ і $a_{18} = 44$ . Потрібно знайти перший член $a_{1}$ , різницю $d$ , четвертий член $a_{4}$ та одинадцятий член $a_{11}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{18} - a_{17} = 44 - 53 = - 9$ .
Знайдемо перший член, використовуючи $a_{17}$ : $a_{1} = a_{17} - (17 - 1) d = 53 - 16 \cdot (- 9) = 53 + 144 = 197$ .
Знайдемо четвертий член: $a_{4} = a_{1} + (4 - 1) d = 197 + 3 \cdot (- 9) = 197 - 27 = 170$ .
Знайдемо одинадцятий член: $a_{11} = a_{1} + (11 - 1) d = 197 + 10 \cdot (- 9) = 197 - 90 = 107$ .

Відповідь:

$a_{1} = 197$ , $d = - 9$ , $a_{4} = 170$ , $a_{11} = 107$ .

Завдання 830

Знаходження членів прогресії за двома сусідніми

Дано арифметичну прогресію, де $a_{10} = 5$ і $a_{11} = - 4$ . Потрібно знайти перший член $a_{1}$ , різницю $d$ , п'ятий член $a_{5}$ та двадцять перший член $a_{21}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{11} - a_{10} = - 4 - 5 = - 9$ .
Знайдемо перший член, використовуючи $a_{10}$ : $a_{1} = a_{10} - (10 - 1) d = 5 - 9 \cdot (- 9) = 5 + 81 = 86$ .
Знайдемо п'ятий член: $a_{5} = a_{1} + (5 - 1) d = 86 + 4 \cdot (- 9) = 86 - 36 = 50$ .
Знайдемо двадцять перший член: $a_{21} = a_{1} + (21 - 1) d = 86 + 20 \cdot (- 9) = 86 - 180 = - 94$ .

Відповідь:

$a_{1} = 86$ , $d = - 9$ , $a_{5} = 50$ , $a_{21} = - 94$ .

Завдання 831

Знаходження пропущеного члена прогресії

Дано арифметичну прогресію, де $a_{25} = 5$ і $a_{27} = 4$ . Потрібно знайти двадцять шостий член $a_{26}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю між відомими членами: $a_{27} - a_{25} = 4 - 5 = - 1$ . Це рівно два кроки (одна різниця).
Або використаємо властивість середнього члена: $a_{26} = \frac{a _{25} + a _{27}}{2}$ .
Обчислимо значення: $a_{26} = \frac{5 + 4}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5$ .

Відповідь:

$a_{26} = 4, 5$ .

Завдання 832

Знаходження пропущеного члена прогресії

Дано арифметичну прогресію, де четвертий член $a_{4} = 2$ , шостий член $a_{6} = 3$ . Потрібно знайти п'ятий член $a_{5}$ .

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ : $d = a_{6} - a_{4} = 3 - 2 = 1$ .
Знайдемо п'ятий член, додавши різницю до четвертого: $a_{5} = a_{4} + d = 2 + 1 = 3$ .

Відповідь:

$a_{5} = 3$

Завдання 833

Розв'язання задачі про кількість місць у театрі

Кількість місць у кожному наступному ряду збільшується на однакову величину. Третій ряд має 22 місця, шостий — 31 місце. Потрібно знайти кількість місць у двадцятому ряді.

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відстань між індексами: $6 - 3 = 3$ кроки. Зміна кількості місць: $31 - 22 = 9$ . Отже, $d = \frac{9}{3} = 3$ .
Знайдемо кількість місць у двадцятому ряду ( $n = 20$ ): $a_{20} = a_{3} + (20 - 3) d = 22 + 17 \cdot 3$ .
Обчислимо значення: $22 + 51 = 73$ .

Відповідь:

73 місця

Завдання 834

Розв'язання задачі про закупівлю книжок

Кількість куплених книжок щомісяця збільшується на однакову кількість. У квітні (4-й місяць) купили 33 книжки, у липні (7-й місяць) — 51 книжку. Потрібно знайти кількість книжок для закупівлі в грудні (12-й місяць).

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії $d$ : проміжок часу між квітнем і липнем — 3 місяці ( $7 - 4 = 3$ ). Зміна кількості книг: $51 - 33 = 18$ . Тоді $d = \frac{18}{3} = 6$ .
Визначимо проміжок часу від липня до грудня: $12 - 7 = 5$ місяців.
Обчислимо кількість книжок у грудні: $a_{12} = a_{7} + 5 \cdot d = 51 + 5 \cdot 6 = 51 + 30 = 81$ .

Відповідь:

81 книжку

Завдання 835

Знаходження десятого члена прогресії

Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = - 4$ , $a_{5} = a_{4} + 3$ . Потрібно знайти значення $a_{10}$ .

Розв’язання

Запишемо вирази для $a_{5}$ і $a_{4}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ та $a_{4} = a_{1} + 3 d$ .
Підставимо ці вирази в умову рівності $a_{5} = a_{4} + 3$ : $(a_{1} + 4 d) = (a_{1} + 3 d) + 3$ .
Спростимо рівняння: $a_{1} + 4 d = a_{1} + 3 d + 3 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{10}$ , підставивши $a_{1} = - 4$ та $d = 3$ : $a_{10} = - 4 + (10 - 1) \cdot 3 = - 4 + 27 = 23$ .

Відповідь:

Д 23

Завдання 836

Перевірка наявності числа в прогресії

Чи є число 254 членом арифметичної прогресії за двома варіантами початкових членів: а) $15, 23, 31, \dots$ ; б) $8, 7, 6, 8, \dots$ .

Розв’язання

Варіант а): $a_{1} = 15$ , $d = 23 - 15 = 8$ . Перевіряємо рівняння $254 = 15 + (n - 1) \cdot 8$ . Спростимо: $239 = (n - 1) \cdot 8$ . Число 239 не ділиться на 8 ( $239/8 = 29, 875$ ), отже, такого натурального $n$ немає.
Варіант б): Послідовність $8, 7, 6, 8, \dots$ . Різниця між першими двома членами $- 1$ , між наступними $- 1$ , але між третім і четвертим $+ 2$ . Це не арифметична прогресія (різниця змінюється).

Відповідь:

а) Ні; б) Ні (це не арифметична прогресія)

Завдання 837

Перевірка наявності числа в прогресії

Чи є число 212 членом арифметичної прогресії за двома варіантами початкових членів: а) $3, 14, 25, 36, \dots$ ; б) $275, 269, 263, 257, \dots$ .

Розв’язання

Варіант а): $a_{1} = 3$ , $d = 14 - 3 = 11$ . Перевіряємо рівняння $212 = 3 + (n - 1) \cdot 11$ . Спростимо: $209 = (n - 1) \cdot 11$ . Ділимо на 11: $n - 1 = 19$ , звідси $n = 20$ . Оскільки $n$ — натуральне число, то так.
Варіант б): $a_{1} = 275$ , $d = 269 - 275 = - 6$ . Перевіряємо рівняння $212 = 275 + (n - 1) \cdot (- 6)$ . Спростимо: $(n - 1) \cdot (- 6) = 212 - 275 = - 63$ . Ділимо на -6: $n - 1 = 10, 5$ , звідси $n = 11, 5$ . Це не ціле число.

Відповідь:

а) Так; б) Ні

Сторінка 170

Завдання 838

Знайди перший член, різницю та 21-й член за формулою

Дано формули $n$ -го члена арифметичної прогресії $(a_{n})$ :
а) $a_{n} = 6 n - 3$ ;
б) $a_{n} = - 5 n + 9$ .
Знайти $a_{1}$ , $d$ , $a_{21}$ .

Розв’язання

а) Порівнюємо $6 n - 3$ з $d n + (a_{1} - d)$ . Коефіцієнт при $n$ дорівнює $d$ , отже $d = 6$ . Вільний доданок $- 3$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - 6 = - 3 \Rightarrow a_{1} = 3$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = 6 \cdot 21 - 3 = 126 - 3 = 123$ .
б) Порівнюємо $- 5 n + 9$ з $d n + (a_{1} - d)$ . Коефіцієнт при $n$ дорівнює $d$ , отже $d = - 5$ . Вільний доданок $9$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - (- 5) = 9 \Rightarrow a_{1} + 5 = 9 \Rightarrow a_{1} = 4$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = - 5 \cdot 21 + 9 = - 105 + 9 = - 96$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 3$ , $d = 6$ , $a_{21} = 123$ ; б) $a_{1} = 4$ , $d = - 5$ , $a_{21} = - 96$ .

Завдання 839

Знайди перший член, різницю та 21-й член за формулою

Дано формули $n$ -го члена арифметичної прогресії $(a_{n})$ :
а) $a_{n} = 12 - 4 n$ ;
б) $a_{n} = 2 n + 15$ .
Знайти $a_{1}$ , $d$ , $a_{21}$ .

Розв’язання

а) Записуємо як $- 4 n + 12$ . Коефіцієнт при $n$ є $d = - 4$ . Вільний доданок $12$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - (- 4) = 12 \Rightarrow a_{1} + 4 = 12 \Rightarrow a_{1} = 8$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = - 4 \cdot 21 + 12 = - 84 + 12 = - 72$ .
б) Записуємо як $2 n + 15$ . Коефіцієнт при $n$ є $d = 2$ . Вільний доданок $15$ дорівнює $a_{1} - d$ , тобто $a_{1} - 2 = 15 \Rightarrow a_{1} = 17$ . Знаходимо $a_{21}$ : $a_{21} = 2 \cdot 21 + 15 = 42 + 15 = 57$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 8$ , $d = - 4$ , $a_{21} = - 72$ ; б) $a_{1} = 17$ , $d = 2$ , $a_{21} = 57$ .

Завдання 840

Знайди суму перших десяти членів прогресії

Дано початковий ( $a_{1}$ ) та десятий ( $a_{10}$ ) члени арифметичної прогресії, знайти їхню суму $S_{10}$ .
а) $a_{1} = - 35$ , $a_{10} = 10$ ;
б) $a_{1} = 20$ , $a_{10} = 21, 8$ .

Розв’язання

а) Підставляємо значення у формулу $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( - 35 + 10 )}{2} = \frac{10 \cdot ( - 25 )}{2} = - 125$ .
б) Підставляємо значення у формулу $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( 20 + 21 , 8 )}{2} = \frac{10 \cdot 41 , 8}{2} = 5 \cdot 41, 8 = 209$ .

Відповідь:

а) $S_{10} = - 125$ ; б) $S_{10} = 209$ .

Завдання 841

Сума перших десяти членів прогресії

Дано $a_{1} = - 2, 5$ , $a_{10} = 2$ . Знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Підставимо значення $n = 10$ , $a_{1} = - 2, 5$ та $a_{10} = 2$ у формулу для суми: $S_{10} = \frac{10 ( - 2 , 5 + 2 )}{2}$ .
Обчислимо вираз у дужках: $- 2, 5 + 2 = - 0, 5$ . Далі множимо на 10 і ділимо на 2: $\frac{10 \cdot ( - 0 , 5 )}{2} = \frac{- 5}{2} = - 2, 5$ .

Відповідь:

$- 2, 5$

Завдання 842

Сума перших сорока членів прогресії

Дано $a_{1} = 2$ , $d = 3$ . Знайти суму перших сорока членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Знайдемо 40-й член прогресії: $a_{40} = a_{1} + (40 - 1) d = 2 + 39 \cdot 3 = 2 + 117 = 119$ .
Обчислимо суму перших сорока членів за формулою: $S_{40} = \frac{40 ( 2 + 119 )}{2} = \frac{40 \cdot 121}{2} = 20 \cdot 121 = 2420$ .

Відповідь:

$2420$

Завдання 843

Сума перших сорока членів прогресії

Дано $a_{1} = 7$ , $d = 2$ . Знайти суму перших сорока членів арифметичної прогресії.

Розв’язання

Знайдемо 40-й член прогресії: $a_{40} = a_{1} + (40 - 1) d = 7 + 39 \cdot 2 = 7 + 78 = 85$ .
Обчислимо суму перших сорока членів: $S_{40} = \frac{40 ( 7 + 85 )}{2} = \frac{40 \cdot 92}{2} = 20 \cdot 92 = 1840$ .

Відповідь:

$1840$

Завдання 844

Сума перших ста членів прогресії за початковими членами

Знайти суму перших ста членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $50, 49, 48, \dots$ ;
б) $16, 13, 10, 7, \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 50$ , другий $a_{2} = 49$ . Різниця $d = a_{2} - a_{1} = 49 - 50 = - 1$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 50 + (100 - 1) (- 1) = 50 - 99 = - 49$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 50 + ( - 49 ))}{2} = \frac{100 \cdot 1}{2} = 50$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 16$ , другий $a_{2} = 13$ . Різниця $d = 13 - 16 = - 3$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 16 + (100 - 1) (- 3) = 16 - 297 = - 281$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 16 + ( - 281 ))}{2} = \frac{100 ( - 265 )}{2} = 50 \cdot (- 265) = - 13250$ .

Відповідь:

а) $S_{100} = 50$ ; б) $S_{100} = - 13250$ .

Завдання 845

Сума перших ста членів прогресії за початковими членами (продовження)

Знайти суму перших ста членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $- 50, - 49, - 48, \dots$ ;
б) $2, 7, 12, 17, \dots$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = - 50$ , другий $a_{2} = - 49$ . Різниця $d = - 49 - (- 50) = 1$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = - 50 + (100 - 1) (1) = - 50 + 99 = 49$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( - 50 + 49 )}{2} = \frac{100 ( - 1 )}{2} = - 50$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 2$ , другий $a_{2} = 7$ . Різниця $d = 7 - 2 = 5$ . Знайдемо 100-й член: $a_{100} = 2 + (100 - 1) (5) = 2 + 49 \cdot 5 = 2 + 245 = 247$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 2 + 247 )}{2} = \frac{100 \cdot 249}{2} = 50 \cdot 249 = 12450$ .

Відповідь:

а) $S_{100} = - 50$ ; б) $S_{100} = 12450$ .

Завдання 846

Знаходження першого члена та різниці за даними про член і суму

Знайти перший член $a_{1}$ і різницю $d$ арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо:
а) $a_{10} = 95$ , $S_{10} = 500$ ;
б) $a_{15} = 47$ , $S_{15} = 1500$ .

Розв’язання

Для пункту а): Маємо $S_{10} = 500$ і $a_{10} = 95$ . За формулою суми: $500 = \frac{10 ( a _{1} + 95 )}{2}$ . Спростимо: $500 = 5 (a_{1} + 95) \Rightarrow 100 = a_{1} + 95 \Rightarrow a_{1} = 5$ . Тепер знайдемо різницю: $d = \frac{a _{10} - a _{1}}{10 - 1} = \frac{95 - 5}{9} = \frac{90}{9} = 10$ .
Для пункту б): Маємо $S_{15} = 1500$ і $a_{15} = 47$ . За формулою суми: $1500 = \frac{15 ( a _{1} + 47 )}{2}$ . Спростимо: $300 = a_{1} + 47 \Rightarrow a_{1} = 253$ . Тепер знайдемо різницю: $d = \frac{a _{15} - a _{1}}{15 - 1} = \frac{47 - 253}{14} = \frac{- 206}{14} = - \frac{103}{7}$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 5, d = 10$ ; б) $a_{1} = 253, d = - \frac{103}{7}$ .

Завдання 847

Знаходження першого члена і різниці за

a_{n}

та

S_{n}

Дано арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{7} = 15$ , сума семи перших членів $S_{7} = 63$ . Знайти перший член $a_{1}$ і різницю $d$ .

Розв’язання

Знайдемо перший член $a_{1}$ за формулою суми: $S_{7} = \frac{7}{2} (a_{1} + a_{7}) \Rightarrow 63 = 3, 5 (a_{1} + 15)$ . Поділимо на 3,5: $a_{1} + 15 = 18$ , звідки $a_{1} = 3$ .
Знайдемо різницю $d$ за формулою $n$ -го члена для $n = 7$ : $a_{7} = a_{1} + (7 - 1) d \Rightarrow 15 = 3 + 6 d$ . Віднімемо 3: $12 = 6 d$ , звідки $d = 2$ .

Відповідь:

$a_{1} = 3, d = 2$

Завдання 848

Стародавня арабська задача (знаходження члена та суми)

Дано арифметичну прогресію з першими членами $3, 7, 11, 15, \dots$ . Знайти 20-й член ( $a_{20}$ ) і суму двадцяти перших членів ( $S_{20}$ ).

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = 7 - 3 = 4$ . Перший член $a_{1} = 3$ .
Знайдемо 20-й член: $a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 4 = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$ .
Знайдемо суму перших двадцяти членів: $S_{20} = \frac{20}{2} (3 + 79) = 10 \cdot 82 = 820$ .

Відповідь:

$a_{20} = 79, S_{20} = 820$

Завдання 849

Сума шістдесяти перших натуральних чисел

Знайти суму шістдесяти перших натуральних чисел ( $1 + 2 + \dots + 60$ ).

Розв’язання

Визначимо параметри прогресії: $a_{1} = 1$ , $n = 60$ . Останній член $a_{60} = 60$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{60} = \frac{60}{2} (1 + 60) = 30 \cdot 61$ .
Виконаємо множення: $30 \cdot 61 = 1830$ .

Відповідь:

$S_{60} = 1830$

Завдання 850

Сума чисел від 1 до 40 за методом Гаусса

Учитель просить знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40. Карл Гаусс виконав це за хвилину. Поясни його міркування та знайди відповідь усно.

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 1$ , останній $a_{40} = 40$ , кількість членів $n = 40$ .
Знайдемо суму першого і останнього числа: $1 + 40 = 41$ . Оскільки в прогресії 40 чисел, таких пар буде $\frac{40}{2} = 20$ .
Помножимо кількість пар на їхню суму: $20 \cdot 41 = 820$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 820.

Завдання 851

Сума перших ста натуральних чисел

Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 100.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 1$ , останній $a_{100} = 100$ . Кількість членів $n = 100$ .
Підставимо значення у формулу суми: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 100 )}{2}$ .
Обчислимо вираз у дужках і поділимо на 2: $S_{100} = 50 \cdot 101 = 5050$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 5050.

Завдання 852

Сума перших ста непарних чисел

Знайти суму перших ста непарних натуральних чисел (1, 3, 5, ..., ?).

Розв’язання

Знайдемо останній член прогресії для $n = 100$ : $a_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 199$ .
Перший член $a_{1} = 1$ , кількість членів $n = 100$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 199 )}{2} = 50 \cdot 200 = 10000$ .

Відповідь:

Сума дорівнює 10000.

Завдання 853

Сума довжин смуг ресора

Ресора має 10 сталевих смуг. Довжина першої (верхньої) — $105 см$ . Кожна наступна на $9 см$ коротша за попередню. Знайти суму довжин усіх смуг.

Розв’язання

Знайдемо довжину 10-ї смуги за формулою $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ : $a_{10} = 105 + (10 - 1) \cdot (- 9) = 105 - 81 = 24 (см)$ .
Знайдемо суму довжин усіх смуг за формулою $S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2}$ : $S_{10} = \frac{10 ( 105 + 24 )}{2} = 5 \cdot 129 = 645 (см)$ .

Відповідь:

Сума довжин усіх смуг дорівнює $645 см$ .

Завдання 854

Тривалість планки на 16-й тиждень

Ганна починає планку з $10$ секунд. Кожного наступного тижня тривалість збільшується на $5$ секунд. Знайти тривалість на 16-й тиждень.

Розв’язання

Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 5$ .
Підставимо $n = 16$ : $a_{16} = 10 + (16 - 1) \cdot 5 = 10 + 15 \cdot 5 = 10 + 75 = 85 (секунд)$ .

Відповідь:

На 16-й тиждень тривалість планки має бути $85$ секунд.

Сторінка 171

Завдання 855

Задача про копання криниці

За перший метр платять 30 грн, за кожний наступний — на 20 грн більше. Знайти загальну суму за 12 метрів.

Розв’язання

Перший член прогресії $a_{1} = 30$ . Різниця $d = 20$ . Загальна формула $n$ -го члена: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 30 + (n - 1) \cdot 20 = 20 n + 10$ .
Знайдемо виплату за 12-й метр ( $a_{12}$ ): $a_{12} = 20 \cdot 12 + 10 = 240 + 10 = 250$ грн.
Обчислимо суму виплат за 12 метрів: $S_{12} = \frac{12}{2} (a_{1} + a_{12}) = 6 (30 + 250) = 6 \cdot 280 = 1680$ грн.

Відповідь:

1680 грн

Завдання 856

Знайти 30-й член прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{2} = 3, a_{4} = 4$ ; б) $a_{1} = 8, a_{5} - a_{3} = 6$ .

Розв’язання

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{4} - a _{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 3}{2} = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 3 - 0, 5 = 2, 5$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2, 5 + (30 - 1) \cdot 0, 5 = 2, 5 + 14, 5 = 17$ .
б) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{( a _{5} - a _{3} )}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3$ .
Перший член: $a_{1} = a_{5} - 4 d = (a_{3} + 3) - 4 (3) = (a_{1} + 3 \cdot 3) - 12 \Rightarrow$ простіше через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ , $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Різниця $(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + 2 d) = 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 \cdot 3 \Rightarrow a_{1} = a_{5} - 12$ . Але ми не знаємо $a_{5}$ окремо, маємо лише різницю. Перевіримо умову: $a_{5} - a_{3} = 6$ . Це дає $d = 3$ . Щоб знайти $a_{30}$ , треба знати $a_{1}$ . Умова б) не містить конкретного значення для одного з членів, лише їх різницю. Перечитаємо: "б) $a_{1} = 8$ ". Тоді $a_{1} = 8$ , $d = 3$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 8 + (30 - 1) \cdot 3 = 8 + 29 \cdot 3 = 8 + 87 = 95$ .

Відповідь:

а) 17; б) 95

Завдання 857

Знайти 30-й член прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{5} = 9, a_{7} = 13$ ; б) $a_{2} = 5, a_{5} - a_{1} = 12$ .

Розв’язання

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{7} - a _{5}}{7 - 5} = \frac{13 - 9}{2} = 2$ .
Знайдемо перший член: $a_{5} = a_{1} + 4 d \Rightarrow 9 = a_{1} + 8 \Rightarrow a_{1} = 1$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 1 + (30 - 1) \cdot 2 = 1 + 58 = 59$ .
б) 1. Знайдемо різницю з умови $a_{5} - a_{1} = 12$ : $(a_{1} + 4 d) - a_{1} = 4 d = 12 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо перший член: $a_{2} = a_{1} + d \Rightarrow 5 = a_{1} + 3 \Rightarrow a_{1} = 2$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2 + (30 - 1) \cdot 3 = 2 + 87 = 89$ .

Відповідь:

а) 59; б) 89

Завдання 858

Знаходження першого члена, різниці та n-го члена прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{1}$ , $d$ та $a_{n}$ , якщо:
а) $a_{4} = 10$ , $a_{7} = 19$ , $n = 26$ ;
б) $a_{5} = 5, 2$ , $a_{9} = 6, 8$ , $n = 31$ .

Розв’язання

Для пункту а): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{7} - a _{4}}{7 - 4} = \frac{19 - 10}{3} = \frac{9}{3} = 3$ . Тепер знайдемо перший член: $a_{1} = a_{4} - d (4 - 1) = 10 - 3 \cdot 3 = 1$ . Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 2$ .
Для пункту б): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{9} - a _{5}}{9 - 5} = \frac{6 , 8 - 5 , 2}{4} = \frac{1 , 6}{4} = 0, 4$ . Тепер знайдемо перший член: $a_{1} = a_{5} - d (5 - 1) = 5, 2 - 0, 4 \cdot 4 = 3, 6$ . Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = 3, 6 + (n - 1) \cdot 0, 4 = 0, 4 n + 3, 2$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 1$ , $d = 3$ , $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{1} = 3, 6$ , $d = 0, 4$ , $a_{n} = 0, 4 n + 3, 2$ .

Завдання 859

Знаходження параметрів прогресії за двома членами

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{1}$ , $d$ та $a_{n}$ , якщо:
а) $a_{5} = 8, 2$ , $a_{10} = 4, 7$ , $n = 51$ ;
б) $a_{8} = 11, 2$ , $a_{15} = 19, 6$ , $n = 17$ .

Розв’язання

Для пункту а): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{10} - a _{5}}{10 - 5} = \frac{4 , 7 - 8 , 2}{5} = \frac{- 3 , 5}{5} = - 0, 7$ . Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{5} - d (5 - 1) = 8, 2 - (- 0, 7) \cdot 4 = 8, 2 + 2, 8 = 11$ . Формула n-го члена: $a_{n} = 11 + (n - 1) (- 0, 7) = - 0, 7 n + 11, 7$ .
Для пункту б): Знайдемо різницю $d = \frac{a _{15} - a _{8}}{15 - 8} = \frac{19 , 6 - 11 , 2}{7} = \frac{8 , 4}{7} = 1, 2$ . Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{8} - d (8 - 1) = 11, 2 - 1, 2 \cdot 7 = 11, 2 - 8, 4 = 2, 8$ . Формула n-го члена: $a_{n} = 2, 8 + (n - 1) \cdot 1, 2 = 1, 2 n + 1, 6$ .

Відповідь:

а) $a_{1} = 11$ , $d = - 0, 7$ , $a_{n} = - 0, 7 n + 11, 7$ ; б) $a_{1} = 2, 8$ , $d = 1, 2$ , $a_{n} = 1, 2 n + 1, 6$ .

Завдання 860

Знаходження конкретного члена прогресії за сумою двох його членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти восьмий член $a_{8}$ , якщо $a_{2} + a_{14} = 20$ .

Розв’язання

Запишемо формули для $a_{2}$ та $a_{14}$ через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{14} = a_{1} + 13 d$ .
Складемо рівняння: $(a_{1} + d) + (a_{1} + 13 d) = 20 \Rightarrow 2 a_{1} + 14 d = 20$ .
Виділимо спільний множник: $2 (a_{1} + 7 d) = 20$ . Зауважимо, що $a_{8} = a_{1} + (8 - 1) d = a_{1} + 7 d$ . Отже, $2 \cdot a_{8} = 20$ .
Знайдемо шукане значення: $a_{8} = 10$ .

Відповідь:

$a_{8} = 10$ .

Завдання 861

Перевірка чисел на наявність у прогресії

Дано арифметичну прогресію з загальним членом $a_{n}$ . Потрібно визначити, які з чисел $- 26$ , $16$ , $35$ , $131$ є її членами.
а) Формула: $a_{n} = 5 n - 19$ .
б) Формула: $b_{n} = 0, 3 n + 11$ .

Розв’язання

Розглянемо випадок а) $a_{n} = 5 n - 19$ :
- Для числа $- 26$ : $5 n - 19 = - 26 \Rightarrow 5 n = - 7 \Rightarrow n = - 1, 4$ (не ціле).
- Для числа $16$ : $5 n - 19 = 16 \Rightarrow 5 n = 35 \Rightarrow n = 7$ (ціле, підходить).
- Для числа $35$ : $5 n - 19 = 35 \Rightarrow 5 n = 54 \Rightarrow n = 10, 8$ (не ціле).
- Для числа $131$ : $5 n - 19 = 131 \Rightarrow 5 n = 150 \Rightarrow n = 30$ (ціле, підходить).
Розглянемо випадок б) $b_{n} = 0, 3 n + 11$ :
- Для числа $- 26$ : $0, 3 n + 11 = - 26 \Rightarrow 0, 3 n = - 37 \Rightarrow n = - 123, 3$ (не ціле).
- Для числа $16$ : $0, 3 n + 11 = 16 \Rightarrow 0, 3 n = 5 \Rightarrow n = 16, 6$ (не ціле).
- Для числа $35$ : $0, 3 n + 11 = 35 \Rightarrow 0, 3 n = 24 \Rightarrow n = 80$ (ціле, підходить).
- Для числа $131$ : $0, 3 n + 11 = 131 \Rightarrow 0, 3 n = 120 \Rightarrow n = 400$ (ціле, підходить).

Відповідь:

а) Членами є числа $16$ і $131$ . б) Членами є числа $35$ і $131$ .

Завдання 862

Перевірка чисел на наявність у прогресії

Дано арифметичну прогресію з загальним членом $c_{n} = 97 - 2 n$ . Потрібно визначити, які з чисел $- 23$ , $- 14$ , $3$ , $144$ є її членами.

Розв’язання

Для числа $- 23$ : $97 - 2 n = - 23 \Rightarrow - 2 n = - 120 \Rightarrow n = 60$ . Це ціле число, отже $- 23$ є членом.
Для числа $- 14$ : $97 - 2 n = - 14 \Rightarrow - 2 n = - 111 \Rightarrow n = 55, 5$ . Не ціле, не є членом.
Для числа $3$ : $97 - 2 n = 3 \Rightarrow - 2 n = - 94 \Rightarrow n = 47$ . Це ціле число, отже $3$ є членом.
Для числа $144$ : $97 - 2 n = 144 \Rightarrow - 2 n = 47 \Rightarrow n = - 23, 5$ . Не ціле і від'ємне, не є членом.

Відповідь:

Членами арифметичної прогресії є числа $- 23$ і $3$ .

Завдання 863

Вставлення пропущених членів прогресії

Між числами $3$ і $19$ потрібно вставити три числа, щоб отримати арифметичну прогресію.

Розв’язання

Визначаємо кількість членів прогресії: $n = 3 + 2 = 5$ . Останній член — п'ятий ( $a_{5}$ ).
Знаходимо різницю прогресії $d$ : $d = \frac{19 - 3}{5 - 1} = \frac{16}{4} = 4$ .
Обчислюємо проміжні члени:
- Другий член: $a_{2} = 3 + 4 = 7$ .
- Третій член: $a_{3} = 7 + 4 = 11$ .
- Четвертий член: $a_{4} = 11 + 4 = 15$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $7$ , $11$ , $15$ .

Завдання 864

Вставлення проміжних членів прогресії

Між числами $- 7$ і $8$ вставте чотири такі числа, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну прогресію.

Розв’язання

Початкове число $a_{1} = - 7$ , кінцеве число $a_{k + 2} = 8$ . Кількість проміжних членів $k = 4$ , отже загальна кількість членів $n = 4 + 2 = 6$ .
Знайдемо різницю прогресії: $d = \frac{8 - ( - 7 )}{6} = \frac{15}{6} = 2, 5$ .
Обчислимо проміжні члени:
Другий член: $- 7 + 2, 5 = - 4, 5$ ;
Третій член: $- 4, 5 + 2, 5 = - 2$ ;
Четвертий член: $- 2 + 2, 5 = - 0, 5$ ;
П'ятий член: $- 0, 5 + 2, 5 = 2$ .

Відповідь:

Вставлені числа: $- 4, 5$ , $- 2$ , $- 0, 5$ , $2$ .

Завдання 865

Кількість від'ємних членів прогресії

Скільки від'ємних членів містить арифметична прогресія: а) $- 10, 3$ , $- 8, 6$ , ...; б) $- 37, 5$ , $- 35, 7$ , ...?

Розв’язання

а) Знайдемо різницю: $d = - 8, 6 - (- 10, 3) = 1, 7$ . Формула члена: $a_{n} = - 10, 3 + (n - 1) \cdot 1, 7$ .
Розв'яжемо нерівність для знаходження останнього від'ємного члена: $- 10, 3 + 1, 7 (n - 1) < 0 \Rightarrow 1, 7 n - 1, 7 - 10, 3 < 0 \Rightarrow 1, 7 n < 12 \Rightarrow n < 7, 05$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 7. Перевіримо: $a_{7} = - 10, 3 + 6 \cdot 1, 7 = - 1, 1$ (від'ємне), а $a_{8} = 0, 6$ (додатне). Отже, від'ємних членів 7.
б) Знайдемо різницю: $d = - 35, 7 - (- 37, 5) = 1, 8$ . Формула члена: $a_{n} = - 37, 5 + (n - 1) \cdot 1, 8$ .
Розв'яжемо нерівність: $- 37, 5 + 1, 8 (n - 1) < 0 \Rightarrow 1, 8 n - 1, 8 - 37, 5 < 0 \Rightarrow 1, 8 n < 39, 3 \Rightarrow n < 21, 83$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 21. Перевіримо: $a_{21} = - 37, 5 + 20 \cdot 1, 8 = - 37, 5 + 36 = - 1, 5$ (від'ємне), а $a_{22} = 0, 3$ (додатне). Отже, від'ємних членів 21.

Відповідь:

а) 7 членів; б) 21 член.

Завдання 866

Кількість додатних членів прогресії

Скільки додатних членів містить арифметична прогресія: а) $2, 5$ ; $2, 3$ ; $2, 1$ , ...; б) $176$ ; $151$ ; $126$ , ...?

Розв’язання

а) Знайдемо різницю: $d = 2, 3 - 2, 5 = - 0, 2$ . Формула члена: $a_{n} = 2, 5 + (n - 1) (- 0, 2)$ .
Розв'яжемо нерівність для додатних членів: $2, 5 - 0, 2 (n - 1) > 0 \Rightarrow 2, 5 - 0, 2 n + 0, 2 > 0 \Rightarrow 2, 7 > 0, 2 n \Rightarrow n < 13, 5$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 13. Перевіримо: $a_{13} = 2, 5 - 12 \cdot 0, 2 = 0, 1$ (додатне), а $a_{14} = - 0, 1$ (від'ємне). Отже, додатних членів 13.
б) Знайдемо різницю: $d = 151 - 176 = - 25$ . Формула члена: $a_{n} = 176 + (n - 1) (- 25)$ .
Розв'яжемо нерівність: $176 - 25 (n - 1) > 0 \Rightarrow 176 - 25 n + 25 > 0 \Rightarrow 201 > 25 n \Rightarrow n < 8, 04$ .
Максимальне ціле значення $n$ — це 8. Перевіримо: $a_{8} = 176 - 7 \cdot 25 = 176 - 175 = 1$ (додатне), а $a_{9} = - 24$ (від'ємне). Отже, додатних членів 8.

Відповідь:

а) 13 членів; б) 8 членів.

Завдання 867

Знаходження першого додатного члена прогресії

а) $- 32, - 30, - 28, \dots$ ; б) $- 8 \frac{1}{2}, - 8, - 7 \frac{1}{2}, \dots$ .

Розв’язання

а) Знаходимо різницю: $d = - 30 - (- 32) = 2$ . Формула члена: $a_{n} = - 32 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 34$ .
б) Переводимо мішані дроби в десяткові або неправильні: $- 8 \frac{1}{2} = - 8, 5$ , $- 7 \frac{1}{2} = - 7, 5$ . Різниця: $d = - 8 - (- 8, 5) = 0, 5$ . Формула члена: $a_{n} = - 8, 5 + (n - 1) \cdot 0, 5 = 0, 5 n - 9$ .
а) Шукаємо перше додатне число: $2 n - 34 > 0 \Rightarrow 2 n > 34 \Rightarrow n > 17$ . Перше ціле $n = 18$ . Знаходимо член: $a_{18} = 2 \cdot 18 - 34 = 36 - 34 = 2$ .
б) Шукаємо перше додатне число: $0, 5 n - 9 > 0 \Rightarrow 0, 5 n > 9 \Rightarrow n > 18$ . Перше ціле $n = 19$ . Знаходимо член: $a_{19} = 0, 5 \cdot 19 - 9 = 9, 5 - 9 = 0, 5$ .

Відповідь:

а) $2$ ; б) $0, 5$ .

Завдання 868

Кількість членів прогресії в проміжку

Прогресія $10, 16, 22, \dots$ . Потрібно знайти кількість членів між числами $110$ і $345$ .

Розв’язання

Записуємо нерівність: $110 < 6 n + 4 < 345$ .
Віднімаємо 4 від усіх частин: $106 < 6 n < 341$ .
Ділимо на 6: $17, 66 \dots < n < 56, 83 \dots$ .
Цілі значення $n$ починаються з 18 і закінчуються на 56. Кількість таких чисел: $56 - 18 + 1 = 39$ .

Відповідь:

39 членів.

Завдання 869

Кількість членів прогресії в проміжку

Прогресія $5, 8, 11, \dots$ . Потрібно знайти кількість членів між числами $96$ і $246$ .

Розв’язання

Записуємо нерівність: $96 < 3 n + 2 < 246$ .
Віднімаємо 2 від усіх частин: $94 < 3 n < 244$ .
Ділимо на 3: $31, 33 \dots < n < 81, 33 \dots$ .
Цілі значення $n$ починаються з 32 і закінчуються на 81. Кількість таких чисел: $81 - 32 + 1 = 50$ .

Відповідь:

50 членів.

Завдання 870

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

Знайти $x$ , щоб числа $2 x^{2}$ , $3 x + 2$ , $4 x^{2} + 4$ були послідовними членами арифметичної прогресії. Знайти самі члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо умову прогресії у вигляді рівняння: $(3 x + 2) - 2 x^{2} = (4 x^{2} + 4) - (3 x + 2)$ .
Спростимо ліву частину: $- 2 x^{2} + 3 x + 2$ . Праву частину: $4 x^{2} - 3 x + 2$ . Прирівняємо: $- 2 x^{2} + 3 x + 2 = 4 x^{2} - 3 x + 2$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину: $6 x^{2} - 6 x = 0$ . Виділимо спільний множник: $6 x (x - 1) = 0$ . Отримуємо корені $x_{1} = 0$ та $x_{2} = 1$ .
Перевіримо отримані значення. Якщо $x = 0$ , члени будуть $0, 2, 4$ (різниця 2). Якщо $x = 1$ , члени будуть $2, 5, 8$ (різниця 3). Обидва випадки є арифметичними прогресіями.

Відповідь:

$x = 0$ або $x = 1$ . При $x = 0$ прогресія: $0, 2, 4, \dots$ . При $x = 1$ прогресія: $2, 5, 8, \dots$ .

Завдання 871

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

Знайти $y$ , щоб числа $2 y$ , $y^{2} + 5$ , $3 y^{2} + 2$ були послідовними членами арифметичної прогресії. Знайти члени цієї прогресії.

Розв’язання

Запишемо рівняння прогресії: $y^{2} - 2 y + 5 = 2 y^{2} - y - 3$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину і спростимо: $y^{2} + y - 8 = 0$ .
Знайдемо дискримінант рівняння: $D = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 1 + 32 = 33$ .
Корені рівняння: $y_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 33}{2}$ . Оскільки $33$ не є цілим числом, відповідь залишимо у вигляді коренів.
Знайдемо перші три члени прогресії для кожного $y$ . Для $y_{1}$ : $a_{1} = 2 \cdot \frac{- 1 + 33}{2} = - 1 + 33$ , $a_{2} = (\frac{- 1 + 33}{2})^{2} + 5$ , $a_{3} = 3 (\frac{- 1 + 33}{2})^{2} + 2$ . Аналогічно для $y_{2}$ .

Відповідь:

$y = \frac{- 1 \pm 33}{2}$ . Члени прогресії залежать від обраного значення $y$ і виражаються через ці корені.

Сторінка 172

Завдання 872

Знаходження змінної в арифметичній прогресії

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^{2} - 4$ , $3 - 5 x$ та $2 - 3 x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Розв’язання

Запишемо умову прогресії як рівність різниць: $(3 - 5 x) - (x^{2} - 4) = (2 - 3 x) - (3 - 5 x)$ .
Спростимо ліву частину: $3 - 5 x - x^{2} + 4 = - x^{2} - 5 x + 7$ .
Спростимо праву частину: $2 - 3 x - 3 + 5 x = 2 x - 1$ .
Прирівняємо вирази: $- x^{2} - 5 x + 7 = 2 x - 1$ . Перенесемо всі доданки в одну частину: $x^{2} + 7 x - 8 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння: $D = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 81$ , $x_{1} = \frac{- 7 + 9}{2} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 7 - 9}{2} = - 8$ .
Оскільки в умові вимагається від'ємне значення, обираємо $x = - 8$ .

Відповідь:

$x = - 8$

Завдання 873

Перевірка формули n-го члена на арифметичність

Чи є послідовності, задані формулами $a_{n} = 3 n + 1$ та $c_{n} = n^{2} + 2 n$ , арифметичними прогресіями?

Розв’язання

Розглянемо формулу $a_{n} = 3 n + 1$ . Це лінійна функція відносно $n$ (форма $an + b$ , де $a = 3, b = 1$ ). Отже, це арифметична прогресія з різницею $d = 3$ .
Розглянемо формулу $c_{n} = n^{2} + 2 n$ . Тут міститься добуток $n \cdot n$ , тобто $n^{2}$ . Це не лінійна функція, а квадратична. Отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Ні

Завдання 874

Перевірка формули n-го члена на арифметичність (друга частина)

Чи є послідовності, задані формулами $b_{n} = 5 - 4 n$ та $c_{n} = n^{2} + 1$ , арифметичними прогресіями?

Розв’язання

Розглянемо формулу $b_{n} = 5 - 4 n$ . Це можна переписати як $- 4 n + 5$ , що є лінійною функцією ( $a = - 4, b = 5$ ). Отже, це арифметична прогресія з різницею $d = - 4$ .
Розглянемо формулу $c_{n} = n^{2} + 1$ . Тут присутня квадратна залежність від $n$ . Це не лінійна функція. Отже, це не арифметична прогресія.

Відповідь:

а) Так; б) Ні

Завдання 875

Знаходження n-го члена прогресії

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для трьох випадків: а) $2, 5, 8, \dots$ ; б) $7, 6, 5, \dots$ ; в) $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \dots$ .

Розв’язання

Для випадка а): Перший член $a_{1} = 2$ , різниця $d = 5 - 2 = 3$ . Формула: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = 7$ , різниця $d = 6 - 7 = - 1$ . Формула: $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot (- 1) = 8 - n$ .
Для випадку в): Перший член $a_{1} = \frac{1}{3}$ , різниця $d = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ . Формула: $a_{n} = \frac{1}{3} + (n - 1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 8 - n$ ; в) $a_{n} = \frac{n}{3}$ .

Завдання 876

Запис формули прогресії за початковими членами

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для двох випадків: а) $7, 12, \dots$ ; б) $- 2, 5, 0, 5, \dots$ .

Розв’язання

Для випадку а): Перший член $a_{1} = 7$ , різниця $d = 12 - 7 = 5$ . Формула: $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 5 = 5 n + 2$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = - 2, 5$ , різниця $d = 0, 5 - (- 2, 5) = 3$ . Формула: $a_{n} = - 2, 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 5, 5$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 5 n + 2$ ; б) $a_{n} = 3 n - 5, 5$ .

Завдання 877

Запис формули прогресії за початковими членами (від'ємні числа)

Знайти формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії для двох випадків: а) $- 25, - 19, \dots$ ; б) $- 4, 5, - 3, 7, \dots$ .

Розв’язання

Для випадку а): Перший член $a_{1} = - 25$ , різниця $d = - 19 - (- 25) = 6$ . Формула: $a_{n} = - 25 + (n - 1) \cdot 6 = 6 n - 31$ .
Для випадку б): Перший член $a_{1} = - 4, 5$ , різниця $d = - 3, 7 - (- 4, 5) = 0, 8$ . Формула: $a_{n} = - 4, 5 + (n - 1) \cdot 0, 8 = 0, 8 n - 5, 3$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 6 n - 31$ ; б) $a_{n} = 0, 8 n - 5, 3$ .

Завдання 878

Знаходження довжин відрізків у трикутнику

На стороні $C A$ кута $∠ A C B$ відкладено рівні відрізки, через їх кінці проведено паралельні прямі. Дано: $A_{1} B_{1} = 2, 5 см$ . Знайти довжини відрізків $A_{3} B_{3}$ , $A_{7} B_{7}$ та загальну формулу для $A_{n} B_{n}$ .

Розв’язання

Оскільки відрізки на стороні $A C$ рівні, то $A_{k} B_{k} = k \cdot A_{1} B_{1}$ . Для $k = 3$ : $A_{3} B_{3} = 3 \cdot 2, 5 см = 7, 5 см$ .
Для $k = 7$ : $A_{7} B_{7} = 7 \cdot 2, 5 см = 17, 5 см$ .
Загальна формула для $n$ -го члена: $A_{n} B_{n} = n \cdot A_{1} B_{1} = 2, 5 n см$ .

Відповідь:

$A_{3} B_{3} = 7, 5 см$ ; $A_{7} B_{7} = 17, 5 см$ ; $A_{n} B_{n} = 2, 5 n см$ .

Завдання 879

Доведення властивості арифметичної прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ та довільне число $c$ . Потрібно довести, що послідовність $c a_{1}, c a_{2}, c a_{3}, \dots$ також є арифметичною прогресією.

Розв’язання

Нехай $a_{n + 1} - a_{n} = d$ , де $d$ — стала різниця початкової прогресії.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: $(c \cdot a_{n + 1}) - (c \cdot a_{n})$ .
Виносимо спільний множник $c$ за дужки: $c (a_{n + 1} - a_{n}) = c \cdot d$ . Оскільки $c$ і $d$ — сталі числа, то їх добуток також є сталою величиною. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею $c \cdot d$ .

Відповідь:

Доведено, що послідовність $c a_{1}, c a_{2}, \dots$ є арифметичною прогресією.

Завдання 880

Властивість суми членів двох прогресій

Дано дві арифметичні прогресії $a_{1}, a_{2}, \dots$ та $x_{1}, x_{2}, \dots$ . Потрібно довести, що послідовність сума їх відповідних членів ( $a_{1} + x_{1}, a_{2} + x_{2}, \dots$ ) також є арифметичною прогресією.

Розв’язання

Нехай $a_{n + 1} - a_{n} = d_{1}$ та $x_{n + 1} - x_{n} = d_{2}$ , де $d_{1}$ і $d_{2}$ — сталі числа.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: $(a_{n + 1} + x_{n + 1}) - (a_{n} + x_{n})$ .
Групуємо доданки: $(a_{n + 1} - a_{n}) + (x_{n + 1} - x_{n}) = d_{1} + d_{2}$ . Оскільки $d_{1}$ і $d_{2}$ — сталі, то їх сума $d = d_{1} + d_{2}$ також є сталою. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею $d$ .

Відповідь:

Доведено, що послідовність сум є арифметичною прогресією.

Завдання 881

Властивості суми членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з $n$ -м членом $a_{n}$ . Потрібно довести дві рівності: а) $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ; б) $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ .

Розв’язання

Запишемо загальний вираз для кожного члена через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$ .
Розглянемо пункт а): підставимо формулу в ліву частину ( $a_{2} + a_{23}$ ) та праву частину ( $a_{13} + a_{12}$ ). Отримаємо $(a_{1} + d) + (a_{1} + 22 d)$ і $(a_{1} + 12 d) + (a_{1} + 11 d)$ .
Спростимо обидві частини: $2 a_{1} + 23 d$ дорівнює $2 a_{1} + 23 d$ , отже рівність виконується.
Розглянемо пункт б): виразимо різниці через різницю прогресії $d$ . Ліва частина: $(a_{1} + 19 d) - (a_{1} + 15 d) = 4 d$ . Права частина: $(a_{1} + 9 d) - (a_{1} + 5 d) = 4 d$ .

Відповідь:

а) Доведено ( $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ); б) Доведено ( $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ ).

Завдання 882

Задача Феофана Прокоповича про коней

Ціна найгіршого коня — $4$ золотих, ціна найкращого — $55$ золотих. Ціна кожного наступного коня на $3$ золотих дорожча за попереднього (арифметична прогресія). Потрібно знайти кількість коней.

Розв’язання

Перший член (найгірший кінь): $a_{1} = 4$ . Останній член (найкращий кінь): $a_{n} = 55$ . Різниця прогресії: $d = 3$ .
Складемо рівняння для знаходження номера останнього члена $n$ : $\frac{55 - 4}{3} + 1$ .
Обчислимо різницю чисел у чисельнику: $55 - 4 = 51$ . Поділимо на різницю прогресії: $51 : 3 = 17$ . Додамо одиницю: $17 + 1 = 18$ .

Відповідь:

Усього було 18 коней.

Завдання 883

Розрахунок дистанції плавця за 10 тижнів

Перший тиждень плавець проплив $450$ м. Наступні тренування (поки не досягнуто $1000$ м) — на $50$ м більше попереднього. Після досягнення результату $1000$ м кожен раз пливе по $1000$ м. Тренується 3 рази на тиждень протягом 10 тижнів.

Розв’язання

Знайдемо кількість тренувань на етапі зростання дистанції (арифметична прогресія): $a_{1} = 450$ , $d = 50$ , $a_{n} = 1000$ . Кількість кроків: $\frac{1000 - 450}{50} = 11$ збільшень. Отже, таких тренувань було $12$ (перше + 11 наступних).
Знайдемо суму відстаней за ці 12 тренувань: сума арифметичної прогресії $S_{12} = \frac{12}{2} (450 + 1000) = 6 \cdot 1450 = 8700$ м.
Тепер визначимо, скільки тренувань було на етапі після досягнення $1000$ м. Загалом за 10 тижнів по 3 рази — це $30$ тренувань. З них 12 було на етапі зростання. Залишилось $30 - 12 = 18$ тренувань по $1000$ м.
Обчислимо відстань за ці 18 тренувань: $18 \cdot 1000 = 18000$ м.
Загальна відстань у метрах: $8700 + 18000 = 26700$ м. Переведемо в кілометри: $26, 7$ км.

Відповідь:

Плавець проплив за перші 10 тижнів $26, 7$ км.

Завдання 884

Знаходження суми арифметичної прогресії за початковими членами та кількістю членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти суму перших $n$ членів ( $S_{n}$ ) у двох випадках:
а) Перший член $a_{1} = 1$ , п'ятий член $a_{5} = 3$ , кількість членів $n = 40$ .
б) Третій член $a_{3} = 7$ , дев'ятий член $a_{9} = 19$ , кількість членів $n = 50$ .

Розв’язання

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{5} = a_{1} + 4 d$ .
Підставимо числа: $3 = 1 + 4 d \Rightarrow 4 d = 2 \Rightarrow d = 0, 5$ .
Знайдемо останній член $a_{40}$ : $a_{40} = a_{1} + 39 d = 1 + 39 \cdot 0, 5 = 1 + 19, 5 = 20, 5$ .
Обчислимо суму: $S_{40} = \frac{40 ( 1 + 20 , 5 )}{2} = 20 \cdot 21, 5 = 430$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{9} = a_{3} + (9 - 3) d = a_{3} + 6 d$ .
Підставимо числа: $19 = 7 + 6 d \Rightarrow 6 d = 12 \Rightarrow d = 2$ .
Знайдемо останній член $a_{50}$ : $a_{50} = a_{3} + (50 - 3) d = 7 + 47 \cdot 2 = 7 + 94 = 101$ .
Обчислимо суму: $S_{50} = \frac{50 ( 7 + 101 )}{2} = 25 \cdot 108 = 2700$ .

Відповідь:

а) $430$ ; б) $2700$ .

---

Завдання 885

Знаходження суми арифметичної прогресії за іншими членами та кількістю членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти суму перших $n$ членів ( $S_{n}$ ) у двох випадках:
а) Другий член $a_{2} = 5$ , четвертий член $a_{4} = 11$ , кількість членів $n = 100$ .
б) Четвертий член $a_{4} = 9$ , десятий член $a_{10} = - 3$ , кількість членів $n = 28$ .

Розв’язання

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{4} = a_{2} + (4 - 2) d = a_{2} + 2 d$ .
Підставимо числа: $11 = 5 + 2 d \Rightarrow 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо останній член $a_{100}$ : $a_{100} = a_{4} + (100 - 4) d = 11 + 96 \cdot 3 = 11 + 288 = 299$ .
Обчислимо суму: $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 299 )}{2} = 50 \cdot 304 = 15200$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{10} = a_{4} + (10 - 4) d = a_{4} + 6 d$ .
Підставимо числа: $- 3 = 9 + 6 d \Rightarrow 6 d = - 12 \Rightarrow d = - 2$ .
Знайдемо останній член $a_{28}$ : $a_{28} = a_{4} + (28 - 4) d = 9 + 24 \cdot (- 2) = 9 - 48 = - 39$ .
Обчислимо суму: $S_{28} = \frac{28 ( 9 + ( - 39 ))}{2} = 14 \cdot (- 30) = - 420$ .

Відповідь:

а) $15200$ ; б) $- 420$ .

Сторінка 173

Завдання 886

Сума членів прогресії за формулою

Знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена: а) $a_{n} = 2 + 5 n$ ; б) $a_{n} = 2 n - 1$ ; в) $a_{n} = - 3 + n$ .

Розв’язання

а) Знайдемо $a_{1} = 2 + 5 \cdot 1 = 7$ , $a_{20} = 2 + 5 \cdot 20 = 102$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 7 + 102 )}{2} = 10 \cdot 109 = 1090$ .
б) Знайдемо $a_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ , $a_{20} = 2 \cdot 20 - 1 = 39$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 1 + 39 )}{2} = 10 \cdot 40 = 400$ .
в) Знайдемо $a_{1} = - 3 + 1 = - 2$ , $a_{20} = - 3 + 20 = 17$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( - 2 + 17 )}{2} = 10 \cdot 15 = 150$ .

Відповідь:

а) 1090; б) 400; в) 150.

Завдання 887

Сума членів прогресії за формулою

Знайти суму перших 16 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена $a_{n} = - 3 + n$ .

Розв’язання

Знайдемо перший член: $a_{1} = - 3 + 1 = - 2$ .
Знайдемо шістнадцятий член: $a_{16} = - 3 + 16 = 13$ .
Обчислимо суму: $S_{16} = \frac{16 ( - 2 + 13 )}{2} = 8 \cdot 11 = 88$ .

Відповідь:

88.

Завдання 888

Сума парних чисел

Знайти суму всіх парних натуральних чисел, менших за 200.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 2$ . Останній член $a_{n} = 198$ . Різниця $d = 2$ .
Знайдемо кількість членів: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \Rightarrow 198 = 2 + (n - 1) 2 \Rightarrow 196 = 2 (n - 1) \Rightarrow n - 1 = 98 \Rightarrow n = 99$ .
Обчислимо суму: $S_{99} = \frac{99 ( 2 + 198 )}{2} = \frac{99 \cdot 200}{2} = 99 \cdot 100 = 9900$ .

Відповідь:

9900.

Завдання 889

Сума непарних чисел

Знайти суму всіх непарних натуральних чисел, менших за 200.

Розв’язання

Знайдемо кількість членів прогресії: останнє число — це 199, отже $n = \frac{199 - 1}{2} + 1 = 100$ .
Обчислимо суму за формулою: $S_{100} = \frac{100 ( 1 + 199 )}{2} = 50 \cdot 200 = 10000$ .

Відповідь:

10000

Завдання 890

Сума непарних чисел (ЗНО)

Знайти суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Розв’язання

Кількість членів $n = 12$ .
Останнє число прогресії: $a_{12} = 1 + (12 - 1) \cdot 2 = 23$ .
Сума: $S_{12} = \frac{12 ( 1 + 23 )}{2} = 6 \cdot 24 = 144$ (або $1 2^{2} = 144$ ).

Відповідь:

144

Завдання 891

Сума кратних чисел

Знайти суму натуральних чисел, які не більші за 240 і кратні: а) 4; б) 12.

Розв’язання

а) Останнє число $a_{n} = 236$ (оскільки $236 \div 4 = 59$ ). Кількість членів $n = 59$ . Сума $S_{59} = \frac{59 ( 4 + 236 )}{2} = 59 \cdot 120 = 7080$ .
б) Останнє число $a_{n} = 240$ (оскільки $240 \div 12 = 20$ ). Кількість членів $n = 20$ . Сума $S_{20} = \frac{20 ( 12 + 240 )}{2} = 10 \cdot 252 = 2520$ .

Відповідь:

а) 7080; б) 2520

Завдання 892

Сума чисел, кратних 3 та 5

Знайти суму натуральних чисел, менших від 100, які кратні: а) 3; б) 5.

Розв’язання

а) Перший член $a_{1} = 3$ , різниця $d = 3$ . Останній член, менший за 100, — це 99 ( $99 = 3 \cdot 33$ ), отже кількість членів $n = 33$ . Сума: $\frac{33}{2} (3 + 99) = \frac{33}{2} \cdot 102 = 33 \cdot 51 = 1683$ .
б) Перший член $a_{1} = 5$ , різниця $d = 5$ . Останній член, менший за 100, — це 95 ( $95 = 5 \cdot 19$ ), отже кількість членів $n = 19$ . Сума: $\frac{19}{2} (5 + 95) = \frac{19}{2} \cdot 100 = 19 \cdot 50 = 950$ .

Відповідь:

а) 1683; б) 950.

Завдання 893

Сума цілих чисел у проміжку

Знайти суму всіх цілих чисел, що належать проміжкам: а) $[- 30; 70]$ ; б) $[- 70; - 30]$ ; в) $(- 70; 70)$ .

Розв’язання

а) Сума чисел від $- 30$ до $30$ дорівнює 0. Залишається додати числа від 1 до 70. Це арифметична прогресія з $a_{1} = 1, a_{n} = 70, d = 1$ . Кількість членів $n = 70$ . Сума: $\frac{70}{2} (1 + 70) = 35 \cdot 71 = 2485$ .
б) Проміжок $[- 70; - 30]$ містить цілі числа від $- 70$ до $- 30$ . Це арифметична прогресія з $a_{1} = - 70, a_{n} = - 30, d = 1$ . Кількість членів $n = (- 30) - (- 70) + 1 = 41$ . Сума: $\frac{41}{2} (- 70 + (- 30)) = \frac{41}{2} \cdot (- 100) = 41 \cdot (- 50) = - 2050$ .
в) Проміжок $(- 70; 70)$ містить цілі числа від $- 69$ до $69$ . Це симетричний проміжок, тому сума дорівнює 0.

Відповідь:

а) 2485; б) -2050; в) 0.

Завдання 894

Сума членів за відомим

a_{17}

Сімнадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 8 ( $a_{17} = 8$ ). Знайти суму її перших 33 членів.

Розв’язання

Використовуємо властивість арифметичної прогресії: сума першого і останнього члена ( $a_{1} + a_{33}$ ) дорівнює подвоєному значенню середнього члена, індекс якого є середнім арифметичним індексів 1 і 33. Середній індекс $\frac{1 + 33}{2} = 17$ .
Отже, $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot a_{17}$ . Оскільки $a_{17} = 8$ , то $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot 8 = 16$ .
Підставляємо значення у формулу суми для $n = 33$ : $S_{33} = \frac{33}{2} (a_{1} + a_{33}) = \frac{33}{2} \cdot 16 = 33 \cdot 8 = 264$ .

Відповідь:

264.

Завдання 895

Сума перших членів прогресії за заданим

a_{13}

Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайди суму її перших 25 членів.

Розв’язання

Позначимо кількість членів $n = 25$ . Нам потрібно знайти $S_{25} = \frac{25 ( a _{1} + a _{25} )}{2}$ .
За умовою відомо, що $a_{13} = 3$ . Оскільки прогресія арифметична, сума членів, віддалених однаково від центру послідовності, дорівнює подвоєному значенню середнього члена.
Сімнадцятий член ( $a_{17}$ ) і одинадцятий член ( $a_{11}$ ) симетричні відносно тринадцятого члена ( $a_{13}$ ), тому $a_{1} + a_{25} = 2 \cdot a_{13}$ .
Підставимо значення: $S_{25} = \frac{25 \cdot ( 2 \cdot 3 )}{2} = 25 \cdot 3 = 75$ .

Відповідь:

Завдання 896

Відкрита задача про суму прогресії

Знайти суму перших $k$ членів арифметичної прогресії, якщо її $m$ -й член дорівнює 100. (Задача відкрита, умови частково приховані).

Розв’язання

Запишемо загальну формулу для суми: $S_{k} = \frac{k ( a _{1} + a _{k} )}{2}$ .
Відомо, що існує член $a_{m} = 100$ .
Без уточнення номерів $k$ та $m$ задачу неможливо розв'язати чисельно. Якщо припустити, що сума перших $k$ членів містить цей член ( $k \geq m$ ), то ми можемо виразити суму через $a_{m}$ , але потрібні конкретні числа.

Відповідь:

Задача неможливо виконати без додаткових даних (номеру члена, що дорівнює 100, та кількості членів у сумі).

Завдання 897

Сума перших дев'яти членів за сумою четвертого і шостого

Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює 14. Знайди суму перших дев'яти членів прогресії.

Розв’язання

Запишемо відому суму через перший ( $a_{1}$ ) і різницю ( $d$ ): $a_{4} + a_{6} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 5 d) = 2 a_{1} + 8 d$ .
За умовою $2 a_{1} + 8 d = 14$ , звідки $a_{1} + 4 d = 7$ . Зверни увагу, що $a_{1} + 4 d$ — це формула для п'ятого члена прогресії ( $a_{5}$ ).
Отже, $a_{5} = 7$ . П'ятий член є середнім членом перших дев'яти членів прогресії.
Сума перших дев'яти членів дорівнює добутку кількості членів на середній: $S_{9} = 9 \cdot a_{5} = 9 \cdot 7$ .

Відповідь:

Завдання 898

Знаходження різниці прогресії за сумою перших членів

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Сума перших п'яти членів дорівнює 190. Знайти різницю прогресії $d$ .

Розв’язання

Запишемо умову про третій член: $a_{3} = 2 a_{1}$ . Використаємо формулу загального члена для $n = 3$ : $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Отже, $a_{1} + 2 d = 2 a_{1}$ , звідки отримуємо $a_{1} = 2 d$ .
Запишемо формулу суми перших п'яти членів: $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2} = 190$ . Спростимо рівняння, поділивши на 5 і помноживши на 2: $a_{1} + a_{5} = 76$ .
Виразимо $a_{5}$ через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ . Підставимо це в рівняння з кроку 2: $a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 76$ , тобто $2 a_{1} + 4 d = 76$ .
Підставимо вираз для $a_{1}$ з кроку 1 ( $a_{1} = 2 d$ ) у рівняння: $2 (2 d) + 4 d = 76 \Rightarrow 4 d + 4 d = 76 \Rightarrow 8 d = 76$ .
Знайдемо $d$ : $d = \frac{76}{8} = 9, 5$ .

Відповідь:

Різниця прогресії дорівнює $9, 5$ .

Завдання 899

Знаходження сьомого члена за сумою непарних і парних членів

У прогресії 10 членів. Сума членів з непарними номерами ( $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{9}$ ) дорівнює 10, а з парними ( $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{10}$ ) — 25. Знайти сьомий член $a_{7}$ .

Розв’язання

У послідовності з 10 членів непарні номери мають індекси 1, 3, 5, 7, 9 (всього 5 членів), парні — 2, 4, 6, 8, 10 (також 5 членів).
Середнє арифметичне непарних членів: $\frac{S _{непар}}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Це середнє між $a_{1}$ і $a_{9}$ , тобто $\frac{a _{1} + a _{9}}{2} = 2$ .
Середнє арифметичне парних членів: $\frac{S _{пар}}{5} = \frac{25}{5} = 5$ . Це середнє між $a_{2}$ і $a_{10}$ , тобто $\frac{a _{2} + a _{10}}{2} = 5$ .
Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відомо, що $a_{3} - a_{1} = 2 d$ , а також середнє непарних членів дорівнює $a_{5}$ (оскільки це середній член з 5 елементів). Отже, $a_{5} = 2$ . Аналогічно, середній парний член — це $a_{6}$ , тобто $a_{6} = 5$ .
Оскільки $a_{6}$ і $a_{5}$ сусідні члени прогресії, їх різниця дорівнює $d$ : $d = a_{6} - a_{5} = 5 - 2 = 3$ .
Знайдемо $a_{7}$ за формулою $a_{7} = a_{6} + d = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

Сьомий член прогресії дорівнює 8.

Завдання 900

Знаходження суми перших 27 членів за відомими сумами частин

Сума перших 15 членів $S_{15} = 20$ . Сума перших 12 членів менша на 6, тобто $S_{12} = 20 - 6 = 14$ . Знайти суму перших 27 членів $S_{27}$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння для $S_{12}$ : $\frac{12}{2} (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 6 (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 2 a_{1} + 11 d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ .
Запишемо рівняння для $S_{15}$ : $\frac{15}{2} (2 a_{1} + 14 d) = 20 \Rightarrow \frac{15}{2} \cdot 2 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow 15 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow a_{1} + 7 d = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ .
Маємо систему: ${2 a_{1} + 11 d = \frac{7}{3} a_{1} + 7 d = \frac{4}{3}$ . Помножимо друге рівняння на 2: $2 a_{1} + 14 d = \frac{8}{3}$ .
Віднімемо перше рівняння від зміненого другого: $(2 a_{1} + 14 d) - (2 a_{1} + 11 d) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} \Rightarrow 3 d = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{1}{9}$ .
Знайдемо $a_{1}$ з другого рівняння: $a_{1} + 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow a_{1} = \frac{4}{3} - \frac{7}{9} = \frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{5}{9}$ .
Обчислимо $S_{27}$ : $S_{27} = \frac{27}{2} (2 a_{1} + 26 d) = \frac{27}{2} (2 \cdot \frac{5}{9} + 26 \cdot \frac{1}{9}) = \frac{27}{2} (\frac{10}{9} + \frac{26}{9}) = \frac{27}{2} \cdot \frac{36}{9} = \frac{27}{2} \cdot 4 = 54$ .

Відповідь:

Сума перших 27 членів дорівнює 54.

Завдання 901

Знаходження члена прогресії за формулою суми

Знайти $a_{5}$ арифметичної прогресії, якщо сума її перших $n$ членів задається формулами: а) $S_{n} = n^{2} - 6 n$ ; б) $S_{n} = 3 n^{2} - n$ .

Розв’язання

а) Обчислимо $S_{5}$ : $S_{5} = 5^{2} - 6 \cdot 5 = 25 - 30 = - 5$ .
Обчислимо $S_{4}$ : $S_{4} = 4^{2} - 6 \cdot 4 = 16 - 24 = - 8$ .
Знайдемо $a_{5}$ : $a_{5} = S_{5} - S_{4} = - 5 - (- 8) = - 5 + 8 = 3$ .
б) Обчислимо $S_{7}$ (бо в умові просять знайти сьомий член, хоча номер завдання 902 — тут розв'язуємо саме 901): Увага! У тексті завдання 901 просить знайти п'ятий член.
Обчислимо $S_{5}$ : $S_{5} = 3 \cdot 5^{2} - 5 = 75 - 5 = 70$ .
Обчислимо $S_{4}$ : $S_{4} = 3 \cdot 4^{2} - 4 = 48 - 4 = 44$ .
Знайдемо $a_{5}$ : $a_{5} = S_{5} - S_{4} = 70 - 44 = 26$ .

Відповідь:

а) $3$ ; б) $26$ .

Завдання 902

Знаходження сьомого члена прогресії за формулою суми

Знайти $a_{7}$ арифметичної прогресії, якщо сума її перших $n$ членів задається формулою $S_{n} = 4 n^{2} - 2 n$ .

Розв’язання

Обчислимо $S_{7}$ : $S_{7} = 4 \cdot 7^{2} - 2 \cdot 7 = 4 \cdot 49 - 14 = 196 - 14 = 182$ .
Обчислимо $S_{6}$ : $S_{6} = 4 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 = 4 \cdot 36 - 12 = 144 - 12 = 132$ .
Знайдемо $a_{7}$ : $a_{7} = S_{7} - S_{6} = 182 - 132 = 50$ .

Відповідь:

$50$ .

Завдання 903

Сума членів прогресії з певного проміжку

Знайти суму членів арифметичної прогресії від шостого до двадцятого включно, якщо $a_{1} = 31$ і різниця $d = - 3$ .

Розв’язання

Знайдемо $S_{20}$ (сума перших 20 членів):
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 31 + (20 - 1) \cdot (- 3)) = 10 (62 - 57) = 10 \cdot 5 = 50$ .
Знайдемо $S_{5}$ (сума перших 5 членів):
$S_{5} = \frac{5}{2} (2 \cdot 31 + (5 - 1) \cdot (- 3)) = 2, 5 (62 - 12) = 2, 5 \cdot 50 = 125$ .
Знайдемо суму членів з 6 по 20: $S_{6 \dots 20} = S_{20} - S_{5} = 50 - 125 = - 75$ .

Відповідь:

$- 75$ .

Завдання 904

Сума членів прогресії за діапазоном

Дано арифметичну прогресію з початковими членами $- 17, - 15, - 13, \dots$ . Потрібно знайти суму членів від восьмого до двадцять шостого включно.

Розв’язання

Знайдемо різницю прогресії: $d = a_{2} - a_{1} = - 15 - (- 17) = 2$ . Перший член $a_{1} = - 17$ .
Запишемо формулу n-го члена: $a_{n} = - 17 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 19$ .
Знайдемо перший доданок суми ( $n = 8$ ): $a_{8} = 2 \cdot 8 - 19 = 16 - 19 = - 3$ .
Знайдемо останній доданок суми ( $n = 26$ ): $a_{26} = 2 \cdot 26 - 19 = 52 - 19 = 33$ .
Кількість членів у сумі: $k = 26 - 8 + 1 = 19$ . Використаємо формулу суми арифметичної прогресії через перший і останній члени: $S = \frac{k ( a _{1}^{'} + a _{k}^{'} )}{2}$ .
Обчислимо суму: $S = \frac{19 ( - 3 + 33 )}{2} = \frac{19 \cdot 30}{2} = 19 \cdot 15 = 285$ .

Відповідь:

285

Завдання 905

Задача про кількість ударів годинника

Годинник відбиває час щопівгодини (раз на кожні 30 хвилин). Потрібно знайти загальну кількість ударів за 12 годин.

Розв’язання

За умовою годинник відбиває щопівгодини. Це означає, що за кожну годину проходить два інтервали по 30 хвилин.
Розглянемо один повний цикл (наприклад, з 12:00 до 12:00 наступного дня). За цей час пройшло 12 годин.
Удар відбувається на кожну годину (1 раз) і на кожні півгодини (ще 1 раз). Тобто за кожну годину відбивається $1 + 1 = 2$ удари? Ні, це не так. Давайте розпишемо:
- 12:00 — удар (1)
- 12:30 — удар (2)
- 13:00 — удар (3)
...
За кожну годину проходить 2 удари, але останній удар на межі години рахується для наступної години. Простіше подумати так: за 12 годин відбивається $12 \times 2 = 24$ рази? Перевіримо логіку.
Якщо відбиває щопівгодини, то це означає, що інтервал між ударами — 30 хв. За 12 годин (720 хв) кількість проміжків буде $720/30 = 24$ . Отже, ударів буде 24.
Але зазвичай в таких задачах враховують початковий момент. Якщо ми починаємо з 12:00 і йдемо до 12:00 наступного дня (12 годин), то кількість проміжків дійсно 24.
Однак, часто в таких задачах мається на увазі "відбиває час", тобто 1 раз на кожну годину і ще 1 раз на півгодини. Тобто за кожні 30 хв — 1 удар. За 12 годин це $12 \times 2 = 24$ удари.
Перевіримо: з 12:00 до 12:00 (12 годин). Удари: 12:00, 12:30, 13:00, ..., 23:30, 24:00. Якщо ми рахуємо до кінця 12-ї години включно, то це 25 ударів? Ні, умова "упродовж 12 год". Зазвичай це означає інтервал часу.
Давайте розглянемо стандартне рішення для таких задач: якщо відбиває щопівгодини, то за кожну годину проходить 2 удари (наприклад, на 0:00 і на 0:30). За 12 годин буде $12 \times 2 = 24$ удари.
Але є нюанс: якщо почати з 12:00 і закінчити на 12:00, то це 25 моментів часу? Ні, "упродовж 12 год" — це інтервал. Кількість інтервалів по 30 хв у 12 годинах = $12 \times 2 = 24$ . Отже, ударів буде 24.
Проте, якщо взяти до уваги, що годинник відбиває "час", то на кожну годину (наприклад, 13:00) він відбиває один раз, а на півгодини (13:30) — ще раз. Тобто за кожні 30 хв — 1 удар. За 12 годин це 24 удари.
Відповідь має бути 24.

Відповідь:

Сторінка 174

Завдання 908

Властивість трапеції та середніх ліній

Кінці відрізків, паралельних основам $a$ і $b$ трапеції (мал. 16.5), ділять бічні сторони на 8 рівних частин. Знайти довжини цих відрізків та їх суму.

Розв’язання

Довжина найменшого відрізку ( $k = 1$ , ближче до основи $a$ ): $l_{1} = \frac{1 \cdot a + 7 \cdot b}{8}$ .
Довжина найбільшого відрізка ( $k = 7$ , ближче до основи $b$ ): $l_{7} = \frac{7 \cdot a + 1 \cdot b}{8}$ .
Середня лінія трапеції (при $k = 4$ ): $l_{серед} = \frac{a + b}{2}$ .
Сума всіх відрізків: $S = l_{1} + l_{2} + ... + l_{7}$ . Оскільки це арифметична прогресія, сума дорівнює $\frac{колі - кість членів}{2} \cdot (перший + останній) = \frac{7}{2} (l_{1} + l_{7})$ .

Відповідь:

Довжини відрізків: $\frac{a + 7 b}{8}, \frac{2 a + 6 b}{8}, \frac{3 a + 5 b}{8}, \frac{4 a + 4 b}{8}, \frac{5 a + 3 b}{8}, \frac{6 a + 2 b}{8}, \frac{7 a + b}{8}$ . Сума цих відрізків дорівнює $\frac{7 ( a + b )}{2}$ .

Завдання 909

Властивість обернених величин у АП

Числа $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ ( $a \neq = b \neq = c$ ) утворюють арифметичну прогресію. Довести, що числа $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ також утворюють арифметичну прогресію.

Розв’язання

За умовою $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , звідси $(b - a) (b + a) = (c - b) (c + b)$ .
Розглянемо різницю перших двох членів нової послідовності: $\frac{1}{b + c} - \frac{1}{a + b} = \frac{( a + b ) - ( b + c )}{( b + c ) ( a + b )} = \frac{a - c}{( b + c ) ( a + b )}$ .
Розглянемо різницю останніх двох членів: $\frac{1}{c + a} - \frac{1}{b + c} = \frac{( b + c ) - ( c + a )}{( c + a ) ( b + c )} = \frac{b - a}{( c + a ) ( b + c )}$ .
З рівності $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ випливає, що $\frac{a - c}{( b + c ) ( a + b )} = \frac{b - a}{( c + a ) ( b + c )}$ (після перетворень та підстановки). Отже, різниці дорівнюють однаковим виразам.

Відповідь:

Числа $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ утворюють арифметичну прогресію.

Завдання 910

Розв'язування рівнянь з арифметичною прогресією

а) Сума членів прогресії $4 + 9 + 14 + \dots + (5 n - 1)$ дорівнює $1030$ . Знайти натуральне число $n$ .
б) Сума членів прогресії $6 + 10 + 14 + \dots + x$ дорівнює $160$ . Знайти натуральне число $x$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перший член $a_{1} = 4$ , останній $a_{n} = 5 n - 1$ . Підставимо в формулу суми: $\frac{n ( 4 + 5 n - 1 )}{2} = 1030 \Rightarrow n (5 n + 3) = 2060$ . Розв'яжемо квадратне рівняння $5 n^{2} + 3 n - 2060 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 9 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2060) = 10289$ (приблизно). Перевіримо цілі корені: якщо $n = 20$ , то $5 (20)^{2} + 3 (20) = 2000 + 60 = 2060$ . Отже, $n = 20$ .
Для пункту б): Перший член $a_{1} = 6$ , різниця $d = 4$ . Останній член $x = a_{n}$ . Сума $S_{n} = \frac{n ( 6 + x )}{2} = 160 \Rightarrow n (6 + x) = 320$ . Знайдемо кількість членів: $a_{k} = 6 + (k - 1) 4$ . Перевіримо, чи є $x$ натуральним. Якщо $n = 8$ , то $8 (6 + x) = 320 \Rightarrow 6 + x = 40 \Rightarrow x = 34$ . Перевірка: $6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 = 160$ .

Відповідь:

а) $n = 20$ ; б) $x = 34$ .

Завдання 911

Скорочення раціональних дробів

Скоротити дроби:
а) $\frac{3 x - 9}{2 x ^{2} - 5 x - 3}$ ;
б) $\frac{a ^{2} - 9}{2 a ^{2} + 7 a + 3}$ ;
в) $\frac{c ^{2} - 8 c - 20}{c ^{2} - 11 c + 10}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Чисельник $3 x - 9 = 3 (x - 3)$ . Знаменник $2 x^{2} - 5 x - 3$ : корені рівняння $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ — $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$ . Отже, $(2 x + 1) (x - 3)$ . Дріб: $\frac{3 ( x - 3 )}{( 2 x + 1 ) ( x - 3 )} = \frac{3}{2 x + 1}$ (за умови $x \neq = 3$ ).
Для пункту б): Чисельник $a^{2} - 9 = (a - 3) (a + 3)$ . Знаменник $2 a^{2} + 7 a + 3$ : корені $a_{1} = - \frac{1}{2}$ , $a_{2} = - 3$ . Отже, $(2 a + 1) (a + 3)$ . Дріб: $\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{( 2 a + 1 ) ( a + 3 )} = \frac{a - 3}{2 a + 1}$ (за умови $a \neq = - 3$ ).
Для пункту в): Чисельник $c^{2} - 8 c - 20$ : корені $c_{1} = 10$ , $c_{2} = - 2$ . Отже, $(c - 10) (c + 2)$ . Знаменник $c^{2} - 11 c + 10$ : корені $c_{1} = 10$ , $c_{2} = 1$ . Отже, $(c - 10) (c - 1)$ . Дріб: $\frac{( c - 10 ) ( c + 2 )}{( c - 10 ) ( c - 1 )} = \frac{c + 2}{c - 1}$ (за умови $c \neq = 10$ ).

Відповідь:

а) $\frac{3}{2 x + 1}$ ; б) $\frac{a - 3}{2 a + 1}$ ; в) $\frac{c + 2}{c - 1}$ .

Завдання 912

Розв'язування квадратних нерівностей

Розв'язати нерівності:
а) $x^{2} - 8 x + 15 < 0$ ;
б) $x^{2} + 7 x > 0$ ;
в) $x^{2} - 16 < 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): Корені $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ : $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність $< 0$ виконується між коренями: $(3; 5)$ .
Для пункту б): Корені $x^{2} + 7 x = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 7$ . Нерівність $> 0$ виконується поза коренями: $(- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$ .
Для пункту в): Корені $x^{2} - 16 = 0$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $(- 4; 4)$ .

Відповідь:

а) $(3; 5)$ ; б) $(- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$ ; в) $(- 4; 4)$ .

Завдання 913

Графік функції та відповідність точок проміжкам

На малюнку 16.6 зображено графік функції $y = f (x)$ . Потрібно встановити відповідність між абсцисами (значеннями $x$ ) точок 1–4 та інтервалами (проміжками) А–Д, на яких знаходяться відповідні значення функції.
Точки для перевірки:
1) $x = - 1$
2) $x = 1$
3) $x = 3$
4) $x = 5$

Проміжки (відповідно до малюнка та умови):
А $(1, 5; 2]$
Б $(0; 1)$
В $[- 1; 0, 5)$
Г $(2; 3]$
Д $[- 2; - 1]$

Розв’язання

Для точки 1 ( $x = - 1$ ): На графіку при $x = - 1$ значення функції дорівнює $- 1$ . Це число належить проміжку від $- 2$ до $- 1$ , тобто варіанту Д (враховуючи, що в умові зазначено $[- 2; - 1]$ , а на графіку точка знаходиться на межі або всередині цього діапазону).
Для точки 2 ( $x = 1$ ): На графіку при $x = 1$ значення функції дорівнює $2$ . Це число належить проміжку від $1, 5$ до $2$ , тобто варіанту А.
Для точки 3 ( $x = 3$ ): На графіку при $x = 3$ значення функції дорівнює $0, 5$ . Це число належить проміжку від $0$ до $1$ , тобто варіанту Б.
Для точки 4 ( $x = 5$ ): На графіку при $x = 5$ значення функції дорівнює $3$ . Це число належить проміжку від $2$ до $3$ , тобто варіанту Г.

Відповідь:

1 — Д;
2 — А;
3 — Б;
4 — Г.