ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 158–163

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–810 · 63 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 158

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 1

Продовження послідовності квадратів

Продовжити послідовність квадратів натуральних чисел: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ .

Розв’язання

Шостий член дорівнює $6^{2} = 36$ .
Сьомий член дорівнює $7^{2} = 49$ .
Восьмий член дорівнює $8^{2} = 64$ .

Відповідь:

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \dots$

Завдання 2

Знаходження члена за формулою

Знайти сороковий член послідовності для трьох випадків: а) $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{n} = (- 1)^{n}$ ; в) $a_{n} = n - (- 1)^{n - 3}$ .

Розв’язання

Для а): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = 3 \cdot 40 - 2 = 120 - 2 = 118$ .
Для б): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = (- 1)^{40} = 1$ (оскільки ступінь парне).
Для в): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = 40 - (- 1)^{40 - 3} = 40 - (- 1)^{37} = 40 - (- 1) = 40 + 1 = 41$ .

Відповідь:

а) 118; б) 1; в) 41.

Завдання 3

Розв'язання нерівності для послідовності

Знайти номер, починаючи з якого всі члени послідовності $c_{n} = n^{2} + n$ стають більшими за 100 ( $n^{2} + n > 100$ ).

Розв’язання

Розглядаємо рівняння $n^{2} + n - 100 = 0$ . Дискримінант $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 100) = 401$ .
Знаходимо додатний корінь: $n = \frac{- 1 + 401}{2} \approx \frac{- 1 + 20}{2} = 9, 5$ .
Оскільки $n$ має бути натуральним числом і вираз має бути більшим за 100, беремо найменше ціле число більше за 9,5, тобто $n = 10$ . Перевірка: $1 0^{2} + 10 = 110 > 100$ .

Відповідь:

Починаючи з десятого номера.

Завдання 4

Аналіз монотонності послідовності

Дано формулу $a_{n} = 1 - 2 n^{2}$ . Потрібно визначити, чи є ця послідовність зростаючою чи спадною.

Розв’язання

Запишемо вирази для довільного члена $a_{p}$ та наступного за ним $a_{p + 1}$ : $a_{p} = 1 - 2 p^{2}$ , $a_{p + 1} = 1 - 2 (p + 1)^{2}$ .
Знайдемо різницю між ними: $a_{p + 1} - a_{p} = [1 - 2 (p + 1)^{2}] - (1 - 2 p^{2}) = 1 - 2 (p^{2} + 2 p + 1) - 1 + 2 p^{2} = - 4 p - 2$ .
Оскільки $p$ — натуральне число, то вираз $- 4 p - 2$ завжди від'ємний ( $< 0$ ). Отже, $a_{p + 1} < a_{p}$ , що означає спадання послідовності.

Відповідь:

Послідовність є спадною.

Сторінка 159

Завдання 752

Числа протилежні натуральним

Назвати 5 перших членів послідовності чисел, протилежних до натуральних.

Розв’язання

Перше натуральне число — $1$ , його протилежне — $- 1$ .
Друге натуральне число — $2$ , його протилежне — $- 2$ .
Третє натуральне число — $3$ , його протилежне — $- 3$ .
Четверте натуральне число — $4$ , його протилежне — $- 4$ .
П'яте натуральне число — $5$ , його протилежне — $- 5$ .

Відповідь:

$- 1, - 2, - 3, - 4, - 5$

Завдання 753

Перші прості числа

Назвати 5 перших членів послідовності простих чисел.

Розв’язання

Число $2$ ділиться лише на $1$ і $2$ , отже, просте.
Число $3$ ділиться лише на $1$ і $3$ , отже, просте.
Число $4$ ділиться на $2$ , отже, складене.
Число $5$ ділиться лише на $1$ і $5$ , отже, просте.
Число $6$ ділиться на $2$ і $3$ , отже, складене.
Число $7$ ділиться лише на $1$ і $7$ , отже, просте.
Число $8$ ділиться на $2$ і $4$ , отже, складене.
Число $9$ ділиться на $3$ , отже, складене.
Число $11$ ділиться лише на $1$ і $11$ , отже, просте.

Відповідь:

$2, 3, 5, 7, 11$

Завдання 754

Продовження числових послідовностей

Продовжити послідовність натуральних чисел за заданим правилом для кожного підпункту.

Розв’язання

а) Числа діляться на $3$ : $3, 6, 9, 12$ . Різниця між сусідніми числами дорівнює $3$ . Наступні числа: $15, 18, 21, \dots$
б) Числа діляться на $5$ : $5, 10, 15$ . Різниця між сусідніми числами дорівнює $5$ . Наступні числа: $20, 25, 30, \dots$
в) Числа не діляться на $3$ : $1, 2, 4, 5, 7$ . Відкидаємо $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ . Наступні числа: $8, 10, 11, 13, \dots$
г) Кожне число на $3$ більше за попереднє: $1, 4, 7$ . Різниця дорівнює $3$ . Наступні числа: $10, 13, 16, \dots$

Відповідь:

а) $15, 18, 21, \dots$ ; б) $20, 25, 30, \dots$ ; в) $8, 10, 11, 13, \dots$ ; г) $10, 13, 16, \dots$

Завдання 755

Аналіз числових послідовностей

Дано три послідовності: а) $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, \dots$ ; б) $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, \dots$ ; в) $5, 55, 555, 5555, 55555, 555555, \dots$ . Для кожної потрібно знайти: 1) другий, п'ятий і сьомий члени; 2) наступний за третім; 3) попередній сьомому; 4) члени між другим і шостим.

Розв’язання

Послідовність а): Загальний член $a_{n} = 3^{n - 1}$ .
- Другий ( $n = 2$ ): $3^{1} = 3$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $3^{4} = 81$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $3^{6} = 729$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $3^{3} = 27$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $3^{5} = 243$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $9, 27, 81$ .
Послідовність б): Члени чергуються: $1, - 1$ .
- Другий ( $n = 2$ ): $- 1$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $1$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $1$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $- 1$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $- 1$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $1, - 1, 1$ .
Послідовність в): Члени складаються з п'ятірок, кількість яких дорівнює номеру члена.
- Другий ( $n = 2$ ): $55$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $55555$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $5555555$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $5555$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $555555$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $555, 5555, 55555$ .

Відповідь:

а) 1) $3, 81, 729$ ; 2) $27$ ; 3) $243$ ; 4) $9, 27, 81$ .
б) 1) $- 1, 1, 1$ ; 2) $- 1$ ; 3) $- 1$ ; 4) $1, - 1, 1$ .
в) 1) $55, 55555, 5555555$ ; 2) $5555$ ; 3) $555555$ ; 4) $555, 5555, 55555$ .

Завдання 756

Знаходження члена послідовності за формулою

Дано формулу $n$ -го члена послідовності: $a_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ . Потрібно знайти четвертий член ( $a_{4}$ ) і обрати правильну відповідь серед варіантів: А $- 24$ , Б $- 16$ , В $0$ , Г $64$ .

Розв’язання

Підставимо $n = 4$ у формулу: $a_{4} = 2 \cdot 4^{2} - 8 \cdot 4$ .
Обчислимо квадрат числа 4: $4^{2} = 16$ .
Помножимо на 2 та віднімемо добуток: $2 \cdot 16 - 32 = 32 - 32 = 0$ .

Відповідь:

В 0

Завдання 757

Класифікація послідовностей за кількістю членів

Визначити, чи є скінченною чи нескінченною кожна з наведених послідовностей: а) простих чисел; б) чисел, протилежних натуральним; в) правильних дробів зі знаменником 10; г) неправильних дробів зі знаменником 10.

Розв’язання

а) Прості числа: $2, 3, 5, 7, \dots$ . Простих чисел нескінченна кількість (доказ дав Евклід), тому послідовність нескінченна.
б) Числа, протилежні натуральним: Натуральні числа $1, 2, 3, \dots$ нескінченні, отже їхні протилежні ( $- 1, - 2, - 3, \dots$ ) також утворюють нескінченну послідовність.
в) Правильні дріби зі знаменником 10: Це дроби виду $\frac{k}{10}$ , де $k < 10$ . Оскільки натуральних чисел менших за 10 скінченна кількість ( $1, 2, \dots, 9$ ), то таких дробів теж скінченна кількість.
г) Неправильні дроби зі знаменником 10: Це дроби $\frac{k}{10}$ , де $k \geq 10$ . Оскільки натуральних чисел нескінченно багато, то і таких дробів нескінченна кількість.

Відповідь:

а) нескінченна; б) нескінченна; в) скінченна; г) нескінченна.

Завдання 758

Перші члени послідовностей

а) дві цифри від 10 до 99; б) дріби $\frac{10}{d}$ , де $d$ — натуральне число.

Розв’язання

Перелічимо числа від 10, 11, ..., 15.
Складемо дроби $\frac{10}{11}, \frac{10}{12}, \dots, \frac{10}{16}$ .

Відповідь:

а) $10, 11, 12, 13, 14, 15$ ; б) $\frac{10}{11}, \frac{10}{12}, \frac{10}{13}, \frac{10}{14}, \frac{10}{15}, \frac{10}{16}$ .

Завдання 759

Перші члени послідовностей дробів і цифр

а) $\frac{n}{10}$ , де $n > 10$ ; б) розклад числа $π \approx 3, 14159265 \dots$ .

Розв’язання

Складемо дроби $\frac{11}{10}, \frac{12}{10}, \frac{13}{10}, \frac{14}{10}, \frac{15}{10}$ .
Запишемо цифри: $1, 4, 1, 5, 9$ (перші п'ять після коми).

Відповідь:

а) $\frac{11}{10}, \frac{12}{10}, \frac{13}{10}, \frac{14}{10}, \frac{15}{10}$ ; б) $1, 4, 1, 5, 9$ .

Завдання 760

Перші члени послідовностей за формулами

а) $a_{n} = 2 (n - 1)$ ; б) $x_{n} = 12$ ; в) $y_{n} = 3 n + (- 1)^{n}$ ; г) $b_{n} = 1 - n^{2}$ ; д) $c_{n} = 2 n^{2}$ ; е) $Γ_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Розв’язання

а) $2 (0) = 0, 2 (1) = 2, 2 (2) = 4, 2 (3) = 6, 2 (4) = 8$ ; б) $12, 12, 12, 12, 12$ ; в) $3 (- 1) + 1 = - 2, 3 (2) - 1 = 5, 3 (3) + 1 = 10, 3 (4) - 1 = 11, 3 (5) + 1 = 16$ ; г) $1 - 1 = 0, 1 - 4 = - 3, 1 - 9 = - 8, 1 - 16 = - 15, 1 - 25 = - 24$ ; д) $2 (1) = 2, 2 (4) = 8, 2 (9) = 18, 2 (16) = 32, 2 (25) = 50$ ; е) $1 + (- 1) = 0, 1 + 1 = 2, 1 - 1 = 0, 1 + 1 = 2, 1 - 1 = 0$ .

Відповідь:

а) $0, 2, 4, 6, 8$ ; б) $12, 12, 12, 12, 12$ ; в) $- 2, 5, 10, 11, 16$ ; г) $0, - 3, - 8, - 15, - 24$ ; д) $2, 8, 18, 32, 50$ ; е) $0, 2, 0, 2, 0$ .

Завдання 761

Знаходження членів послідовності за формулою

Написати сім перших членів послідовності, заданої формулою для кожного випадку: а) $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{n} = n^{2} + 1$ ; в) $a_{n} = 2 - 5 n$ ; г) $a_{n} = n^{2} - n$ .

Розв’язання

а) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = 3 n - 2$ :
$a_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ ;
$a_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ ;
$a_{3} = 3 \cdot 3 - 2 = 7$ ;
$a_{4} = 3 \cdot 4 - 2 = 10$ ;
$a_{5} = 3 \cdot 5 - 2 = 13$ ;
$a_{6} = 3 \cdot 6 - 2 = 16$ ;
$a_{7} = 3 \cdot 7 - 2 = 19$ .
б) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = n^{2} + 1$ :
$a_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ ;
$a_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ;
$a_{3} = 3^{2} + 1 = 10$ ;
$a_{4} = 4^{2} + 1 = 17$ ;
$a_{5} = 5^{2} + 1 = 26$ ;
$a_{6} = 6^{2} + 1 = 37$ ;
$a_{7} = 7^{2} + 1 = 50$ .
в) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = 2 - 5 n$ :
$a_{1} = 2 - 5 \cdot 1 = - 3$ ;
$a_{2} = 2 - 5 \cdot 2 = - 8$ ;
$a_{3} = 2 - 5 \cdot 3 = - 13$ ;
$a_{4} = 2 - 5 \cdot 4 = - 18$ ;
$a_{5} = 2 - 5 \cdot 5 = - 23$ ;
$a_{6} = 2 - 5 \cdot 6 = - 28$ ;
$a_{7} = 2 - 5 \cdot 7 = - 33$ .
г) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = n^{2} - n$ :
$a_{1} = 1^{2} - 1 = 0$ ;
$a_{2} = 2^{2} - 2 = 2$ ;
$a_{3} = 3^{2} - 3 = 6$ ;
$a_{4} = 4^{2} - 4 = 12$ ;
$a_{5} = 5^{2} - 5 = 20$ ;
$a_{6} = 6^{2} - 6 = 30$ ;
$a_{7} = 7^{2} - 7 = 42$ .

Відповідь:

а) $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19$ ; б) $2, 5, 10, 17, 26, 37, 50$ ; в) $- 3, - 8, - 13, - 18, - 23, - 28, - 33$ ; г) $0, 2, 6, 12, 20, 30, 42$ .

Сторінка 160

Завдання 762

Гра з числовими послідовностями

Один учасник записує формулу числової послідовності, а інші троє записують відповідно перший, другий і третій член цієї послідовності. Потім учасники міняються ролями.

Розв’язання

Учасник А пише формулу, наприклад, $a_{n} = 2 n - 1$ .
Інші учасники підставляють $n = 1, 2, 3$ і отримують відповідно $1, 3, 5$ .
Після запису учасники міняються ролями: той, хто писав формулу, тепер пише числа, а інший — придумує нову формулу.

Відповідь:

Гра проводиться циклічно: кожен учасник чергує роль автора правила та виконавця обчислень для перших трьох членів послідовності.

Завдання 763

Знаходження членів послідовності за формулою

Дано послідовність, $n$ -й член якої задається формулою $a_{n} = n^{2} - 1$ . Потрібно знайти значення $a_{10}$ , $a_{20}$ та $a_{100}$ .

Розв’язання

Знаходимо $a_{10}$ , підставивши $n = 10$ : $a_{10} = 1 0^{2} - 1 = 100 - 1 = 99$ .
Знаходимо $a_{20}$ , підставивши $n = 20$ : $a_{20} = 2 0^{2} - 1 = 400 - 1 = 399$ .
Знаходимо $a_{100}$ , підставивши $n = 100$ : $a_{100} = 10 0^{2} - 1 = 10000 - 1 = 9999$ .

Відповідь:

$a_{10} = 99$ , $a_{20} = 399$ , $a_{100} = 9999$ .

Завдання 764

Обчислення членів послідовності за лінійною формулою

Послідовність задана формулою $a_{n} = 2 n + 3$ . Потрібно знайти значення для пунктів: а) $a_{3}$ ; б) $a_{6}$ ; в) $a_{15}$ ; г) $a_{100}$ .

Розв’язання

а) Для $a_{3}$ підставляємо $n = 3$ : $a_{3} = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$ .
б) Для $a_{6}$ підставляємо $n = 6$ : $a_{6} = 2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15$ .
в) Для $a_{15}$ підставляємо $n = 15$ : $a_{15} = 2 \cdot 15 + 3 = 30 + 3 = 33$ .
г) Для $a_{100}$ підставляємо $n = 100$ : $a_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 200 + 3 = 203$ .

Відповідь:

а) $9$ ; б) $15$ ; в) $33$ ; г) $203$ .

Завдання 765

Знаходження члена послідовності за формулою

Знайти тридцятий член ( $n = 30$ ) для послідовностей з формулами: а) $a_{n} = 2 n + 7$ ; б) $b_{n} = 2 n^{2} - n$ ; в) $c_{n} = (- 1)^{n} + 3$ ; г) $x_{n} = 0, 5^{n} (n + 1)$ .

Розв’язання

а) Підставляємо $n = 30$ : $a_{30} = 2 \cdot 30 + 7 = 60 + 7 = 67$ .
б) Підставляємо $n = 30$ : $b_{30} = 2 \cdot 3 0^{2} - 30 = 2 \cdot 900 - 30 = 1800 - 30 = 1770$ .
в) Підставляємо $n = 30$ : $c_{30} = (- 1)^{30} + 3$ . Оскільки степінь парний, $(- 1)^{30} = 1$ , отже $1 + 3 = 4$ .
г) Спочатку обчислюємо $0, 5^{30}$ , потім множимо на $(30 + 1) = 31$ . Зручніше записати $0, 5 = \frac{1}{2}$ : $x_{30} = \frac{1}{2 ^{30}} \cdot 31 = \frac{31}{2 ^{30}}$ .

Відповідь:

а) $67$ ; б) $1770$ ; в) $4$ ; г) $\frac{31}{2 ^{30}}$ .

Завдання 766

Знаходження членів послідовності за степенем двійки

Знайти шостий ( $n = 6$ ), восьмий ( $n = 8$ ) і десятий ( $n = 10$ ) члени послідовності, заданої формулою $b_{n} = 2^{n}$ .

Розв’язання

Шостий член: $b_{6} = 2^{6} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$ .
Восьмий член: $b_{8} = 2^{8} = 256$ (оскільки $2^{6} = 64$ , то $2^{7} = 128, 2^{8} = 256$ ).
Десятий член: $b_{10} = 2^{10} = 1024$ (оскільки $2^{8} = 256$ , то $2^{9} = 512, 2^{10} = 1024$ ).

Відповідь:

шостий член — $64$ , восьмий член — $256$ , десятий член — $1024$ .

Завдання 767

Задача на розсадку гостей за столами

У ресторані є прямокутні столи, які можна зсувати. Потрібно знайти формулу кількості людей, що можуть сісти при $n$ зсунутих столах, і обчислити кількість людей для $n = 7$ .

Розв’язання

Аналізуємо малюнок: при $n = 1$ місць $4$ ; при $n = 2$ місць $6$ ; при $n = 3$ місць $8$ .
Кількість місць збільшується на $2$ для кожного нового столу. Формула має вигляд $4 + 2 (n - 1)$ або спрощено $2 n + 2$ . Перевіримо: при $n = 1 \to 2 \cdot 1 + 2 = 4$ ; при $n = 2 \to 2 \cdot 2 + 2 = 6$ . Формула вірна.
Підставляємо $n = 7$ у формулу: $2 \cdot 7 + 2 = 14 + 2 = 16$ .

Відповідь:

Формула кількості людей — $2 n + 2$ . Якщо зсунути $7$ столів, сісти може $16$ людей.

Завдання 768

Послідовність квадратів натуральних чисел

Написати кілька перших членів послідовності, де кожен наступний — квадрат наступного натурального числа ( $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots$ ). Визначити загальну формулу $n$ -го члена.

Розв’язання

Запишемо перші натуральні числа: $1, 2, 3, 4, 5$ .
Знайдемо їхні квадрати: $1 \cdot 1 = 1$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $4 \cdot 4 = 16$ , $5 \cdot 5 = 25$ .
Отримаємо послідовність: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена як квадрат номера члена: $a_{n} = n^{2}$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ ; $n$ -й член: $a_{n} = n^{2}$ .

Завдання 769

Послідовність кубів натуральних чисел

Написати кілька перших членів послідовності, де кожен наступний — куб наступного натурального числа ( $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots$ ). Визначити загальну формулу $n$ -го члена.

Розв’язання

Запишемо перші натуральні числа: $1, 2, 3, 4, 5$ .
Знайдемо їхні куби: $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ , $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ , $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ , $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .
Отримаємо послідовність: $1, 8, 27, 64, 125, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена як куб номера члена: $a_{n} = n^{3}$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 8, 27, 64, 125, \dots$ ; $n$ -й член: $a_{n} = n^{3}$ .

Завдання 770

Послідовність чисел, кратних 3

Написати кілька перших членів послідовності натуральних чисел, які діляться на 3 без остачі. Обчислити сороковий член цієї послідовності.

Розв’язання

Знайдемо перші числа, кратні 3: $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $3 \cdot 4 = 12$ .
Запишемо послідовність: $3, 6, 9, 12, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена: $a_{n} = 3 n$ .
Обчислимо сороковий член, підставивши $n = 40$ : $a_{40} = 3 \cdot 40 = 120$ .

Відповідь:

Перші члени: $3, 6, 9, 12, \dots$ ; сороковий член: $120$ .

Завдання 771

Скінченна послідовність за формулою

а) Знайти перші члени послідовності $a_{n} = 4 n - 3$ , де $1 \leq n \leq 8$ .
б) Знайти перші члени послідовності $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$ , де $1 \leq n \leq 10$ .

Розв’язання

Для пункту а): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 8$ у формулу $a_{n} = 4 n - 3$ :
$a_{1} = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ ;
$a_{2} = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ ;
$a_{3} = 4 \cdot 3 - 3 = 9$ ;
$a_{4} = 4 \cdot 4 - 3 = 13$ ;
$a_{5} = 4 \cdot 5 - 3 = 17$ ;
$a_{6} = 4 \cdot 6 - 3 = 21$ ;
$a_{7} = 4 \cdot 7 - 3 = 25$ ;
$a_{8} = 4 \cdot 8 - 3 = 29$ .
Для пункту б): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 10$ у формулу $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$ :
$b_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ;
$b_{2} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ ;
$b_{3} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$ ;
$b_{4} = \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5}$ ;
$b_{5} = \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6}$ ;
$b_{6} = \frac{6}{6 + 1} = \frac{6}{7}$ ;
$b_{7} = \frac{7}{7 + 1} = \frac{7}{8}$ ;
$b_{8} = \frac{8}{8 + 1} = \frac{8}{9}$ ;
$b_{9} = \frac{9}{9 + 1} = \frac{9}{10}$ ;
$b_{10} = \frac{10}{10 + 1} = \frac{10}{11}$ .

Відповідь:

а) $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29$ ; б) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, \frac{7}{8}, \frac{8}{9}, \frac{9}{10}, \frac{10}{11}$ .

Завдання 772

Скінченна послідовність за формулою

а) Знайти перші члени послідовності $c_{n} = n^{2} + 2 n$ , де $1 \leq n \leq 8$ .
б) Знайти перші члени послідовності $y_{n} = 2^{n} + 1$ , де $1 \leq n \leq 7$ .

Розв’язання

Для пункту а): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 8$ у формулу $c_{n} = n^{2} + 2 n$ :
$c_{1} = 1^{2} + 2 \cdot 1 = 3$ ;
$c_{2} = 2^{2} + 2 \cdot 2 = 8$ ;
$c_{3} = 3^{2} + 2 \cdot 3 = 15$ ;
$c_{4} = 4^{2} + 2 \cdot 4 = 24$ ;
$c_{5} = 5^{2} + 2 \cdot 5 = 35$ ;
$c_{6} = 6^{2} + 2 \cdot 6 = 48$ ;
$c_{7} = 7^{2} + 2 \cdot 7 = 63$ ;
$c_{8} = 8^{2} + 2 \cdot 8 = 80$ .
Для пункту б): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $y_{n} = 2^{n} + 1$ :
$y_{1} = 2^{1} + 1 = 3$ ;
$y_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ;
$y_{3} = 2^{3} + 1 = 9$ ;
$y_{4} = 2^{4} + 1 = 17$ ;
$y_{5} = 2^{5} + 1 = 33$ ;
$y_{6} = 2^{6} + 1 = 65$ ;
$y_{7} = 2^{7} + 1 = 129$ .

Відповідь:

а) $3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80$ ; б) $3, 5, 9, 17, 33, 65, 129$ .

Завдання 773

Різниця двох членів послідовності

Дано послідовність з формулою $n$ -го члена $a_{n} = 5 n + 8$ . Потрібно знайти, на скільки двадцятий член більший за дев'ятнадцятий ( $a_{20} - a_{19}$ ).

Розв’язання

Знайдемо загальну різницю між сусідніми членами послідовності:
$a_{n + 1} - a_{n} = (5 (n + 1) + 8) - (5 n + 8) = 5 n + 5 + 8 - 5 n - 8 = 5$ .
Отже, кожен наступний член більший за попередній на 5.
Перевіримо обчислення для конкретних чисел $n = 19$ :
$a_{19} = 5 \cdot 19 + 8 = 95 + 8 = 103$ ;
$a_{20} = 5 \cdot 20 + 8 = 100 + 8 = 108$ ;
Різниця: $108 - 103 = 5$ .

Відповідь:

Двадцятий член більший за дев'ятнадцятий на 5.

Завдання 774

Порівняння членів послідовності

Дано послідовність, $n$ -й член якої $a_{n} = n \cdot 3^{n}$ . Потрібно знайти, у скільки разів її двадцятий член більший від вісімнадцятого.

Розв’язання

Знайдемо двадцятий член послідовності, підставивши $n = 20$ у формулу: $a_{20} = 20 \cdot 3^{20}$ .
Знайдемо вісімнадцятий член послідовності, підставивши $n = 18$ у формулу: $a_{18} = 18 \cdot 3^{18}$ .
Обчислимо відношення цих чисел: $\frac{20 \cdot 3 ^{20}}{18 \cdot 3 ^{18}} = \frac{20}{18} \cdot \frac{3 ^{20}}{3 ^{18}}$ .
Спростимо дріб $\frac{20}{18}$ до $\frac{10}{9}$ , а степені числа 3 скоротимо: $\frac{3 ^{20}}{3 ^{18}} = 3^{20 - 18} = 3^{2} = 9$ .
Помножимо отримані значення: $\frac{10}{9} \cdot 9 = 10$ .

Відповідь:

Двадцятий член у 10 разів більший за вісімнадцятий.

Завдання 775

Перевірка формули послідовності

Чи правильно, що $a_{n} = 5 n - 3$ — формула $n$ -го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2?

Розв’язання

Знайдемо перше число послідовності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2. Це число 2 (оскільки $2 = 5 \cdot 0 + 2$ , але за умовою числа натуральні, тому беремо найменше додатне: $2$ ).
Підставимо $n = 1$ у запропоновану формулу: $a_{1} = 5 \cdot 1 - 3 = 2$ .
Перевіримо наступний член ( $n = 2$ ): за умовою це має бути число, яке дає остачу 2 при діленні на 5, наступне після 2 — це 7. За формулою: $a_{2} = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$ .
Перевіримо загальний вигляд: $5 n - 3 = 5 n - 5 + 2 = 5 (n - 1) + 2$ . Оскільки $n$ — натуральне, то $n - 1 \geq 0$ , отже $5 (n - 1)$ ділиться на 5, а доданок $+ 2$ дає остачу 2.

Відповідь:

Так, правильно.

Завдання 776

Аналіз зростаючості послідовності

Перший член послідовності дорівнює 7, а кожний наступний на 2 більший від попереднього. Потрібно написати кілька перших членів і визначити, чи зростаюча вона, чи спадна.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 7$ .
Другий член $a_{2} = 7 + 2 = 9$ .
Третій член $a_{3} = 9 + 2 = 11$ .
Четвертий член $a_{4} = 11 + 2 = 13$ .
Порівнюємо числа: $7 < 9 < 11 < 13 < \dots$ . Оскільки кожне наступне число більше за попереднє, послідовність зростає.

Відповідь:

Перші члени: 7, 9, 11, 13, 15…; послідовність зростаюча.

Завдання 777

Арифметична прогресія англійською

Перший член послідовності дорівнює 5, а кожен наступний член на 3 менший за попередній. Треба записати кілька перших членів і визначити, чи зростає, чи спадає ця послідовність.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 5$ .
Другий член $a_{2} = 5 - 3 = 2$ .
Третій член $a_{3} = 2 - 3 = - 1$ .
Четвертий член $a_{4} = - 1 - 3 = - 4$ .
П'ятий член $a_{5} = - 4 - 3 = - 7$ .
Порівнюємо сусідні числа: $2 < 5$ , $- 1 < 2$ , $- 4 < - 1$ тощо, отже кожен наступний член менший за попередній.

Відповідь:

Перші члени послідовності: $5, 2, - 1, - 4, - 7, \dots$ . Послідовність спадна.

Сторінка 161

Завдання 778

Формула послідовності з остачею

Знайти формулу $n$ -го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на $7$ дають остачу $3$ .

Розв’язання

Перше число, яке при діленні на 7 дає остачу 3, це саме 3 ( $3 < 7$ ). Отже, $a_{1} = 3$ .
Різниця між сусідніми членами дорівнює знаменнику — 7.
Формула арифметичної прогресії: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Підставимо значення: $a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 7 = 3 + 7 n - 7 = 7 n - 4$ .

Відповідь:

$a_{n} = 7 n - 4$

Завдання 779

Трикутні числа

Дано послідовність трикутних чисел: $1, 3, 6, 10, 15, \dots$ . Потрібно знайти та зобразити три наступні члени цієї посллідовності.

Розв’язання

Знайдемо різницю між 6-м і 7-м членами. Остання відома різниця була $10 - 6 = 4$ . Наступна різниця має бути $4 + 1 = 5$ .
Знайдемо шостий член: $15 + 5 = 20$ .
Знайдемо сьомий член: додаємо до 20 різницю, яка збільшується на 1 (тепер це 6): $20 + 6 = 26$ .
Знайдемо восьмий член: $26 + 7 = 33$ .

Відповідь:

Наступні три члени: $20, 26, 33$ . (Зображення: трикутник з 5 рядками має 15 кульок, наступний — 6 рядків із 20 кульками тощо).

Завдання 780

Послідовність квадратних чисел

Дізнатися назву послідовності для фігур з $1, 4, 9, \dots$ кульок (квадрати), скласти та розв'язати задачу про неї.

Розв’язання

Аналіз малюнка: перший квадрат має 1 рядок (1 куля), другий — 2 рядки (4 кулі), третій — 3 рядки (9 кульок).
Висновок: це послідовність квадратних чисел, де $n$ -й член дорівнює квадрату номера члена ( $n^{2}$ ).
Складання задачі: "У скільки разів кількість кульок у квадратному аркуші з 10 рядками більша за кількість кульок у аркуші з 5 рядками?".
Розв'язання задачі: Знайдемо $a_{10} = 1 0^{2} = 100$ і $a_{5} = 5^{2} = 25$ . Ділимо: $100/25 = 4$ .

Відповідь:

Це послідовність квадратних чисел. Відповідь до прикладної задачі: у 4 рази.

Завдання 781

Знаходження членів рекурентної послідовності

а) $a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ; б) $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ .

Розв’язання

а) Знаходимо $a_{2} = - 2 \cdot 2 = - 4$ , далі $a_{3} = - 2 \cdot (- 4) = 8$ , $a_{4} = - 2 \cdot 8 = - 16$ , $a_{5} = - 2 \cdot (- 16) = 32$ .
б) Знаходимо $a_{3} = a_{2} + a_{1} = 1 + (- 1) = 0$ , далі $a_{4} = 0 + 1 = 1$ , $a_{5} = 1 + 0 = 1$ , $a_{6} = 1 + 1 = 2$ .

Відповідь:

а) $2, - 4, 8, - 16, 32$ ; б) $- 1, 1, 0, 1, 1$ .

Завдання 782

Знаходження членів рекурентної послідовності

а) $a_{1} = 15$ , $a_{n + 1} = a_{n} - 5$ ; б) $c_{1} = - 2$ , $c_{2} = 3$ , $c_{n + 2} = 2 c_{n} + c_{n + 1}$ .

Розв’язання

а) Знаходимо $a_{2} = 15 - 5 = 10$ , $a_{3} = 10 - 5 = 5$ , $a_{4} = 5 - 5 = 0$ , $a_{5} = 0 - 5 = - 5$ .
б) Знаходимо $c_{3} = 2 \cdot (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1$ , далі $c_{4} = 2 \cdot 3 + (- 1) = 6 - 1 = 5$ , $c_{5} = 2 \cdot (- 1) + 5 = - 2 + 5 = 3$ .

Відповідь:

а) $15, 10, 5, 0, - 5$ ; б) $- 2, 3, - 1, 5, 3$ .

Завдання 783

Послідовність чисел Фібоначчі

$a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ або формула Бінетта.

Розв’язання

Рекурентний спосіб: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = 1 + 1 = 2$ , $a_{4} = 2 + 1 = 3$ , $a_{5} = 3 + 2 = 5$ .
Формула Бінетта: для $n = 1$ отримуємо 1, для $n = 2$ — 1, для $n = 3$ — 2, для $n = 4$ — 3, для $n = 5$ — 5.

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності однакові обома способами: $1, 1, 2, 3, 5$ .

Завдання 784

Знаходження членів арифметичної послідовності

Дано послідовність $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ , де перший член $a_{1} = - 5$ і різниця між сусідніми членами дорівнює 3 ( $a_{n + 1} - a_{n} = 3$ ). Потрібно знайти значення $a_{2}, a_{5}, a_{10}$ .

Розв’язання

Знайдемо загальну формулу послідовності: $a_{n} = - 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 8$ .
Обчислимо потрібні члени:
$a_{2} = 3 \cdot 2 - 8 = - 2$ ;
$a_{5} = 3 \cdot 5 - 8 = 7$ ;
$a_{10} = 3 \cdot 10 - 8 = 22$ .

Відповідь:

$a_{2} = - 2, a_{5} = 7, a_{10} = 22$ .

Завдання 785

Перевірка чисел на належність послідовності

Дано формулу $n$ -го члена послідовності $a_{n} = 2 n^{2} - 7 n$ . Потрібно визначити, яке з чисел $- 20, - 10, - 5, 4, 9$ є членом цієї послідовності.

Розв’язання

Перевіряємо число $- 5$ :
$2 n^{2} - 7 n = - 5 \Rightarrow 2 n^{2} - 7 n + 5 = 0$ .
Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9$ .
Корені: $n_{1} = \frac{7 - 3}{4} = 1$ , $n_{2} = \frac{7 + 3}{4} = 2, 5$ . Оскільки $n = 1$ — натуральне число, то $a_{1} = - 5$ .
Перевіряємо інші числа швидко:
Для $- 20$ : $2 n^{2} - 7 n + 20 = 0$ , $D < 0$ (коренів немає).
Для $- 10$ : $2 n^{2} - 7 n + 10 = 0$ , $D < 0$ .
Для $4$ : $2 n^{2} - 7 n - 4 = 0$ , $D = 49 + 32 = 81$ , корені $\frac{7 \pm 9}{4}$ , одне дробове.
Для $9$ : $2 n^{2} - 7 n - 9 = 0$ , $D = 49 + 72 = 121$ , корені $\frac{7 \pm 11}{4}$ , одне дробове.

Відповідь:

Членом послідовності є число $- 5$ .

Завдання 786

Визначення формули послідовності за значенням члена

Знайти, для якої з наведених формул число $- 12$ є членом послідовності. Варіанти: а) $a_{n} = 7 n^{2} - 11$ , б) $a_{n} = 3 - 5 n$ , в) $a_{n} = 2 n - n^{2} + 3$ , г) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ , ґ) $a_{n} = n - n^{2}$ , д) $a_{n} = \frac{5 n ^{2} + 4}{1 - 2 n}$ .

Розв’язання

Варіант б) $a_{n} = 3 - 5 n$ :
$3 - 5 n = - 12 \Rightarrow - 5 n = - 15 \Rightarrow n = 3$ . Це натуральне число, отже, це підходить.
Перевіримо інші варіанти для впевненості:
а) $7 n^{2} - 11 = - 12 \Rightarrow 7 n^{2} = - 1$ (неможливо).
в) $2 n - n^{2} + 3 = - 12 \Rightarrow n^{2} - 2 n - 15 = 0 \Rightarrow (n - 5) (n + 3) = 0$ . Корені $5, - 3$ . Натуральний корінь $n = 5$ . Це також підходить.
ґ) $n - n^{2} = - 12 \Rightarrow n^{2} - n - 12 = 0 \Rightarrow (n - 4) (n + 3) = 0$ . Корені $4, - 3$ . Натуральний корінь $n = 4$ . Це також підходить.
г) $\frac{n + 1}{n} = - 12 \Rightarrow n + 1 = - 12 n \Rightarrow 13 n = - 1$ (неможливо).
д) $\frac{5 n ^{2} + 4}{1 - 2 n} = - 12 \Rightarrow 5 n^{2} + 4 = - 12 + 24 n \Rightarrow 5 n^{2} - 24 n + 16 = 0$ . $D = 576 - 320 = 256$ , $D = 16$ . Корені $\frac{24 \pm 16}{10}$ : $4$ і $0, 8$ . Натуральний корінь $n = 4$ . Це також підходить.

Відповідь:

Число $- 12$ є членом послідовностей з формулами б), в), ґ) та д).

Завдання 787

Нерівності для членів послідовності

а) $a_{n} = 3 n + 1$ більші за 50;
б) $a_{n} = n^{2} - 5$ більші за 220.

Розв’язання

а) Складемо нерівність: $3 n + 1 > 50$ . Віднімемо 1 від обох частин: $3 n > 49$ . Поділимо на 3: $n > \frac{49}{3} = 16 \frac{1}{3}$ . Отже, $n$ має бути цілим числом більше за 16.
б) Складемо нерівність: $n^{2} - 5 > 220$ . Додамо 5 до обох частин: $n^{2} > 225$ . Знайдемо корінь з 225: $225 = 15$ . Оскільки квадрат позитивного числа завжди додатний, маємо дві нерівності: $n > 15$ або $n < - 15$ .

Відповідь:

а) починаючи з номера 17; б) починаючи з номера 16 (для натуральних чисел).

Завдання 788

Знаходження номерів членів за умовою меншості або більшості

а) $a_{n} = 200 - 3 n$ менші за 12;
б) $a_{n} = n^{2} - n$ не менші за 110.

Розв’язання

а) Нерівність: $200 - 3 n < 12$ . Переносимо $- 3 n$ у праву частину: $200 - 12 < 3 n$ , тобто $188 < 3 n$ . Ділимо на 3: $n > \frac{188}{3} = 62 \frac{2}{3}$ .
б) Розглянемо рівняння $n^{2} - n - 110 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 110) = 1 + 440 = 441$ . Корені: $n_{1, 2} = \frac{1 \pm 441}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}$ . Отримуємо $n_{1} = 11$ і $n_{2} = - 10$ . Оскільки послідовність складається з натуральних чисел, розглядаємо проміжок між коренями. Функція $y = n^{2} - n$ зростає при $n > 0.5$ , тому значення більше за 110 при $n \geq 11$ .

Відповідь:

а) починаючи з номера 63; б) починаючи з номера 11.

Завдання 789

Знаходження проміжку номерів членів послідовності

а) $a_{n} = 3 n - 5$ більші за 40, але менші за 150;
б) $b_{n} = 200 - 2 n$ більші за 50, але менші за 170.

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $3 n - 5 > 40 \Rightarrow 3 n > 45 \Rightarrow n > 15$ . Друга нерівність: $3 n - 5 < 150 \Rightarrow 3 n < 155 \Rightarrow n < 51 \frac{2}{3}$ . Перетин проміжків: $15 < n < 51 \frac{2}{3}$ .
б) Розв'язуємо першу нерівність: $200 - 2 n > 50 \Rightarrow 150 > 2 n \Rightarrow n < 75$ . Друга нерівність: $200 - 2 n < 170 \Rightarrow 30 < 2 n \Rightarrow n > 15$ . Перетин проміжків: $15 < n < 75$ .

Відповідь:

а) номери членів від 16 до 51 включно; б) номери членів від 16 до 74 включно.

Сторінка 162

Завдання 790

Знаходження номерів членів послідовності за діапазоном

а) $c_{n} = 2 n + 1$ — знайти $n$ , якщо $8 < c_{n} < 30$ ;
б) $x_{n} = 4 - 7 n$ — знайти $n$ , якщо $- 40 < x_{n} < - 10$ ;
в) $y_{n} = n + 2$ — знайти $n$ , якщо $10 < y_{n} < 10$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Розв'язуємо дві нерівності:
$2 n + 1 > 8 \Rightarrow 2 n > 7 \Rightarrow n > 3, 5$ ;
$2 n + 1 < 30 \Rightarrow 2 n < 29 \Rightarrow n < 14, 5$ .
Оскільки $n$ — натуральне число, то $n \in {4, 5, \dots, 14}$ .
Для пункту б):
Розв'язуємо дві нерівності:
$4 - 7 n > - 40 \Rightarrow - 7 n > - 44 \Rightarrow n < \frac{44}{7} \approx 6, 3$ ;
$4 - 7 n < - 10 \Rightarrow - 7 n < - 14 \Rightarrow n > 2$ .
Натуральні числа в проміжку $(2; 6, 3)$ : $n \in {3, 4, 5, 6}$ .
Для пункту в):
Розв'язуємо дві нерівності (враховуючи, що $n + 2$ визначено при $n \geq - 2$ ):
$n + 2 > 10 \Rightarrow n + 2 > 10 \Rightarrow n > 8$ ;
$n + 2 < 10 \Rightarrow n + 2 < 100 \Rightarrow n < 98$ .
Натуральні числа в проміжку $(8; 98)$ : $n \in {9, 10, \dots, 97}$ .

Відповідь:

а) $n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$ ;
б) $n = 3, 4, 5, 6$ ;
в) $n = 9, 10, \dots, 97$ .

Завдання 791

Кількість додатних членів послідовності

Скільки додатних членів містить послідовність, задана формулою:
а) $a_{n} = - 3 n + 374$ ;
б) $a_{n} = - n^{2} + 70 n + 800$ .

Розв’язання

Для пункту а):
$- 3 n + 374 > 0 \Rightarrow - 3 n > - 374 \Rightarrow n < \frac{374}{3} = 124 \frac{2}{3}$ .
Оскільки $n$ — натуральне число, то $n \in {1, 2, \dots, 124}$ . Кількість таких членів дорівнює 124.
Для пункту б):
Розв'яжемо рівняння $- n^{2} + 70 n + 800 = 0$ :
Дискримінант $D = 7 0^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 800 = 4900 + 3200 = 8100$ .
$D = 90$ .
Корені: $n_{1} = \frac{- 70 - 90}{- 2} = \frac{- 160}{- 2} = 80$ ;
$n_{2} = \frac{- 70 + 90}{- 2} = \frac{20}{- 2} = - 10$ .
Оскільки коефіцієнт при $n^{2}$ від'ємний, тричлен додатний між коренями: $- 10 < n < 80$ .
Натуральні значення $n$ : ${1, 2, \dots, 79}$ . Кількість таких членів дорівнює 79.

Відповідь:

а) 124 додатних члена;
б) 79 додатних членів.

Завдання 792

Кількість від'ємних членів послідовності

Послідовність задано формулою $a_{n} = n^{2} - 15 n$ . Скільки в ній від'ємних членів?

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння $n^{2} - 15 n = 0$ :
$n (n - 15) = 0$ .
Корені: $n_{1} = 0$ , $n_{2} = 15$ .
Визначимо знак тричлена:
Оскільки коефіцієнт при $n^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), парабола розкривається вгору, тому тричлен менший за нуль між коренями: $0 < n < 15$ .
Порахуємо кількість натуральних чисел:
Натуральні числа у проміжку $(0; 15)$ це ${1, 2, \dots, 14}$ .
Кількість таких чисел дорівнює $14 - 1 + 1 = 14$ .

Відповідь:

У послідовності міститься 14 від'ємних членів.

Завдання 793

Властивості членів послідовності

Дано послідовність $a_{n} = 7 n - 2$ . Визначити, чи існують її члени, що закінчуються на 0; діляться на 13; діляться на 2, але не на 3; дають остачу 1 при діленні на 27.

Розв’язання

а) Шукаємо $n$ так, щоб $7 n - 2$ закінчувалося на 0 (тобто ділилося на 10). Спробуємо невеликі значення $n$ : при $n = 4$ маємо $7 \cdot 4 - 2 = 26$ , при $n = 8$ — $54$ . Загальний вигляд: $7 n \equiv 2 (mod 10)$ . Оскільки $7 \cdot 6 = 42 \equiv 2$ , то $n = 6 + 10 k$ . Для $n = 6$ : $a_{6} = 40$ (закінчується на 0).
б) Перевіряємо ділятьність на 13: $7 n - 2 \equiv 0 (mod 13) \Rightarrow 7 n \equiv 2 (mod 13)$ . Множник 7 обертається за модулем 13 як 2 (оскільки $7 \cdot 2 = 14 \equiv 1$ ). Отже, $n \equiv 2 \cdot 2 = 4 (mod 13)$ . При $n = 4$ : $a_{4} = 26$ , що ділиться на 13.
в) Шукаємо числа, парні ( $7 n - 2$ завжди парне, оскільки $7 n$ і $2$ мають різну парність тільки якщо $n$ непарне? Ні: $7 n - 2$ парне $\Leftrightarrow 7 n$ парне $\Leftrightarrow n$ парне). Нехай $n = 2 k$ . Тоді $a_{n} = 14 k - 2$ . Перевіримо ділятьність на 3: $14 k - 2 \equiv k + 1 (mod 3)$ . Щоб не ділилося на 3, треба $k + 1 \neq \equiv 0$ , тобто $k \neq \equiv 2$ . Візьмемо $n = 2$ ( $k = 1$ ): $a_{2} = 12$ (ділиться на 2 і на 3). Візьмемо $n = 4$ : $a_{4} = 26$ (ділиться на 2, не ділиться на 3).
г) Розглядаємо рівняння $7 n - 2 = 27 k + 1 \Rightarrow 7 n = 27 k + 3$ . Шукаємо найменше натуральне розв'язання. Спробуємо $k = 0 \Rightarrow n = 3/7$ (не ціле). $k = 1 \Rightarrow 7 n = 30$ . $k = 2 \Rightarrow 7 n = 57$ . $k = 3 \Rightarrow 7 n = 84 \Rightarrow n = 12$ . Перевірка: $a_{12} = 7 \cdot 12 - 2 = 82$ . $82 = 27 \cdot 3 + 1$ .

Відповідь:

а) Так, наприклад $a_{6} = 40$ ; б) Так, наприклад $a_{4} = 26$ ; в) Так, наприклад $a_{4} = 26$ ; г) Так, наприклад $a_{12} = 82$ .

Завдання 794

Знаходження спільного члена двох послідовностей

Дано дві послідовності: $a_{n} = 7 n - 1$ та $c_{n} = 8 n + 3$ . Потрібно знайти найменші натуральні числа $k$ і $p$ , для яких $a_{k} = c_{p}$ .

Розв’язання

Запишемо рівність: $7 k - 1 = 8 p + 3 \Rightarrow 7 k = 8 p + 4$ .
Шукаємо найменші натуральні розв'язки. Оскільки $7 k$ ділиться на 7, то $(8 p + 4)$ має ділитися на 7.
Перевіряємо значення $p$ :
- $p = 1 \Rightarrow 8 \cdot 1 + 4 = 12$ (не ділиться на 7).
- $p = 2 \Rightarrow 8 \cdot 2 + 4 = 20$ .
- $p = 3 \Rightarrow 8 \cdot 3 + 4 = 28 = 7 \cdot 4$ . Знайшли розв'язок!
Для $p = 3$ маємо $k = 4$ . Перевірка: $a_{4} = 7 \cdot 4 - 1 = 27$ , $c_{3} = 8 \cdot 3 + 3 = 27$ .

Відповідь:

Найменші значення — $k = 4$ і $p = 3$ .

Завдання 795

Визначення монотонності послідовностей

Дано формули послідовностей: а) $a_{n} = 9 n - 10$ , б) $b_{n} = 10 - 9 n$ , в) $c_{n} = 5 - n^{2}$ , г) $x_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ , ґ) $z_{n} = n^{2} + 2 n - 3$ , д) $y_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ . Визначити, які з них зростаючі, а які спадні.

Розв’язання

а) $a_{n} = 9 n - 10$ . Це лінійна функція з додатним коефіцієнтом при $n$ ( $k = 9 > 0$ ). Отже, послідовність зростаюча.
б) $b_{n} = 10 - 9 n$ . Коефіцієнт при $n$ від'ємний ( $- 9 < 0$ ). Послідовність спадна.
в) $c_{n} = 5 - n^{2}$ . Старший коефіцієнт при $n^{2}$ від'ємний ( $- 1 < 0$ ). Параболічна функція, що падає для $n > 0$ . Послідовність спадна.
г) $x_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ . Знаменник зростає ( $n^{2} + 1$ ), тому дріб стає меншим при збільшенні $n$ . Послідовність спадна.
ґ) $z_{n} = n^{2} + 2 n - 3$ . Старший коефіцієнт додатний, а вершина параболу знаходиться за межами натуральних чисел (або просто монотонно зростає для $n \geq 1$ ). Послідовність зростаюча.
д) $y_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ . Спростимо: $\frac{3 ( n + 2 ) - 2}{n + 2} = 3 - \frac{2}{n + 2}$ . Дріб $\frac{2}{n + 2}$ спадає, тому віднімання його дає зростання. Послідовність зростаюча.

Відповідь:

а) зростаюча; б) спадна; в) спадна; г) спадна; ґ) зростаюча; д) зростаюча.

Завдання 796

Доведення зростання послідовності

Довести, що послідовність $a_{n} = 8 n - 7$ є зростаючою.

Розв’язання

Запишемо формулу для наступного члена послідовності, замінивши $n$ на $n + 1$ : $a_{n + 1} = 8 (n + 1) - 7$ .
Розкриємо дужки та спростимо вираз: $a_{n + 1} = 8 n + 8 - 7 = 8 n + 1$ .
Порівняємо $a_{n + 1}$ з $a_{n}$ : оскільки $8 n + 1 > 8 n - 7$ (різниця дорівнює 8, що більше за 0), то $a_{n + 1} > a_{n}$ .

Відповідь:

Послідовність зростаюча.

Завдання 797

Доведення спаду послідовності

Довести, що послідовність $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ є спадною.

Розв’язання

Запишемо вираз для $a_{n + 1}$ : $a_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) + 1}{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1}$ .
Спростимо дріб, розділивши чисельник і знаменник на $(n + 1)$ : $a_{n + 1} = \frac{n + 1 + 1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n + 1}$ .
Спростимо вираз для $a_{n}$ : $a_{n} = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ . Оскільки при збільшенні $n$ дріб $\frac{1}{n}$ зменшується, то $\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}$ , отже $a_{n + 1} < a_{n}$ .

Відповідь:

Послідовність спадна.

Завдання 798

Знаходження найбільшого члена послідовності

Знайти найбільший член послідовності, заданої формулою $n$ -го члена: а) $a_{n} = 6 n - n^{2} - 5$ ; б) $a_{n} = - n^{2} + 2 n + 3$ .

Розв’язання

а) Для $a_{n} = - n^{2} + 6 n - 5$ коефіцієнти $a = - 1, b = 6$ . Вершина знаходиться при $n = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$ . Підставимо $n = 3$ : $a_{3} = 6 \cdot 3 - 3^{2} - 5 = 18 - 9 - 5 = 4$ .
б) Для $a_{n} = - n^{2} + 2 n + 3$ коефіцієнти $a = - 1, b = 2$ . Вершина знаходиться при $n = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$ . Підставимо $n = 1$ : $a_{1} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4$ .

Відповідь:

а) найбільший член дорівнює 4; б) найбільший член дорівнює 4.

Завдання 799

Пошук найбільшого від'ємного члена послідовності

а) $a_{n} = n^{2} - 35$ ; б) $a_{n} = 0, 25 n^{2} - 10, 75$ . Знайти найбільший від'ємний член для кожної послідовності.

Розв’язання

Для пункту а): Розв'яжемо рівняння $n^{2} - 35 = 0$ . Корені: $n_{1} = 35 \approx 5, 9$ , $n_{2} = - 35 \approx - 5, 9$ . Оскільки номер члена $n$ має бути натуральним ( $n \in N$ ), розглядаємо проміжок між коренями: $- 5, 9 < n < 5, 9$ . Натуральні числа в цьому проміжку: $1, 2, 3, 4, 5$ .
Знайдемо значення $a_{n}$ для найближчих до нуля коренів, тобто для $n = 5$ і $n = 6$ (хоча $6$ вже дасть додатне). Обчислимо $a_{5} = 5^{2} - 35 = 25 - 35 = - 10$ . Перевіримо наступне натуральне число $n = 6$ : $a_{6} = 6^{2} - 35 = 36 - 35 = 1$ (додатне). Отже, найбільшим від'ємним є $a_{5} = - 10$ .
Для пункту б): Розв'яжемо рівняння $0, 25 n^{2} - 10, 75 = 0$ . Помножимо на 4: $n^{2} - 43 = 0 \Rightarrow n = 43 \approx 6, 56$ . Натуральні числа, для яких функція від'ємна: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Найбільше з них — $n = 6$ .
Обчислимо значення для $n = 6$ : $a_{6} = 0, 25 \cdot 36 - 10, 75 = 9 - 10, 75 = - 1, 75$ . Перевіримо наступне число $n = 7$ : $a_{7} = 0, 25 \cdot 49 - 10, 75 = 12, 25 - 10, 75 = 1, 5$ (додатне). Отже, найбільший від'ємний член — $- 1, 75$ .

Відповідь:

а) $- 10$ ; б) $- 1, 75$ .

Завдання 800

Знаходження формули послідовності за даними членами

Кількість внесків за тиждень: $9, 4, 1, 0, 1, 4, 9$ . Потрібно знайти формулу $n$ -го члена. Також дано початки двох інших послідовностей у завданнях 801 і 802 (але в запиті про них окремо).

Розв’язання

Визначимо номери членів: $a_{1} = 9, a_{2} = 4, a_{3} = 1, a_{4} = 0, a_{5} = 1, a_{6} = 4, a_{7} = 9$ .
Оскільки послідовність симетрична і має мінімум у нуль, спробуємо формулу виду $a_{n} = k (n - 4)^{2}$ . Підставимо $n = 3$ : $a_{3} = k (3 - 4)^{2} = k \cdot 1 = 1 \Rightarrow k = 1$ .
Перевіримо отриману формулу $a_{n} = (n - 4)^{2}$ для інших членів:
- $n = 2 \Rightarrow (2 - 4)^{2} = (- 2)^{2} = 4$ (відповідає).
- $n = 1 \Rightarrow (1 - 4)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ (відповідає).
- $n = 5 \Rightarrow (5 - 4)^{2} = 1$ (відповідає).
Отже, одна з можливих формул: $a_{n} = (n - 4)^{2}$ . Розкриємо дужки: $a_{n} = n^{2} - 8 n + 16$ .

Відповідь:

$a_{n} = (n - 4)^{2}$ або $a_{n} = n^{2} - 8 n + 16$ .

Завдання 801

Знаходження формули послідовності за початком

Потрібно знайти формулу для послідовностей з пунктів а)–д).

Розв’язання

Пункт а) $2, 5, 8, \dots$ : Різниця $5 - 2 = 3$ , $8 - 5 = 3$ . Це арифметична прогресія з першим членом $a_{1} = 2$ і різницею $d = 3$ . Формула: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$ .
Пункт б) $2, 4, 8, \dots$ : Відношення $4/2 = 2$ , $8/4 = 2$ . Це геометрична прогресія з $a_{1} = 2$ і знаменником $q = 2$ . Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
Пункт в) $1, - 1, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $- 1$ . Це можна записати як $(- 1)^{n + 1} \cdot 1$ . Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
Пункт г) $1, 0, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $0$ . Можна спробувати формулу через синус або подвійний знак. Наприклад, $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ . Перевірка: $n = 1 \Rightarrow (1 + 1) /2 = 1$ ; $n = 2 \Rightarrow (1 - 1) /2 = 0$ .
Пункт ґ) $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ : Дроби мають вигляд $\frac{n - 1}{n}$ для $n \geq 1$ (для $n = 1$ отримуємо $0/1 = 0$ , що підходить). Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
Пункт д) $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ : Перший член $2 = \frac{3}{2}$ ? Ні, перший $2$ , другий $\frac{3}{2}$ . Запишемо як $\frac{n + 1}{n}$ для $n = 1$ отримуємо $2/1 = 2$ , для $n = 2$ отримуємо $3/2$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Завдання 802

Знайти формулу послідовності за першими членами

Дано ряди чисел (пункти а–д). Потрібно знайти загальну формулу $a_{n}$ для кожного з них.

Розв’язання

а) Різниця між сусідніми членами ( $5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3$ ) стала і дорівнює 3. Перший член при $n = 1$ дорівнює 2. Формула: $a_{n} = 3 n - 1$ .
б) Кожний наступний член у 2 рази більший за попередній ( $4/2 = 2, 8/4 = 2$ ). Це геометрична прогресія з першим членом 2 і знаменником 2. Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
в) Члени чергуються між 1 та -1 ( $1, - 1, 1$ ). Це знак мінус у степені. Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
г) Члени чергуються між 1 та 0 ( $1, 0, 1$ ). При парних номерах значення 0, при непарних — 1. Формула: $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ .
ґ) Дріби мають вигляд $\frac{n}{n ^{2}}$ ? Ні, дивимось уважніше: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Чисельник збігається з номером члена ( $0$ при $n = 1$ ? Ні, тут перший член 0, другий $\frac{1}{2}$ ). Перепишемо ряд: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Для $n = 1$ маємо 0. Для $n = 2$ маємо $\frac{1}{2}$ . Для $n = 3$ маємо $\frac{2}{3}$ . Загальний вигляд: чисельник $n - 1$ , знаменник $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
д) Дріби: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ . Перепишемо як $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ . Чисельник дорівнює $n + 1$ , знаменник — $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Завдання 803

Доведення властивості трикутних чисел

Доказати, що $n$ -й член послідовності трикутних чисел ( $1, 3, 6, 10, \dots$ ) дорівнює сумі перших $n$ натуральних чисел.

Розв’язання

Перший член ( $n = 1$ ): сума перших 1 числа — це 1. Формула суми дає $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . Збігається.
Другий член ( $n = 2$ ): сума $1 + 2 = 3$ . Формула: $\frac{2 ( 1 + 2 )}{2} = 3$ . Збігається.
Третій член ( $n = 3$ ): сума $1 + 2 + 3 = 6$ . Формула: $\frac{3 ( 1 + 3 )}{2} = 6$ . Збігається.
Загальний випадок: Сума перших $n$ натуральних чисел дорівнює $i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Це і є формула $n$ -го члена трикутної послідовності.

Відповідь:

Доведено, що $a_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Завдання 804

Перевірка формули для періодичної послідовності

Дана послідовність $0, 2, 0, 2, \dots$ , де сума сусідніх членів дорівнює 2. Чи правильна формула $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ ?

Розв’язання

Якщо $n$ — непарне число (наприклад, $n = 1, 3, 5$ ), то $(- 1)^{n} = - 1$ . Тоді вираз дорівнює $1 + (- 1) = 0$ . Це відповідає першому, третьому і наступним непарним членам послідовності.
Якщо $n$ — парне число (наприклад, $n = 2, 4, 6$ ), то $(- 1)^{n} = 1$ . Тоді вираз дорівнює $1 + 1 = 2$ . Це відповідає другому, четвертому і наступним парним членам.
Отже, формула дає чергування чисел $0$ та $2$ , що повністю збігається з умовою задачі ( $0, 2, 0, 2 \dots$ ).

Відповідь:

Так, правильно. Формула $a_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ коректно описує дану послідовність.

Сторінка 163

Завдання 805

Сума членів послідовності

Послідовність задана формулою $a_{n} = (- 1)^{n}$ . Знайти суму її перших $n$ членів, якщо: а) $n = 100$ ; б) $n = 1000$ ; в) $n = 1001$ .

Розв’язання

Запишемо перші кілька членів послідовності: $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = - 1$ , $a_{4} = 1$ і т. д.
Сума будь-яких двох сусідніх членів дорівнює нулю ( $- 1 + 1 = 0$ ).
а) При $n = 100$ (парне число) у послідовності міститься рівно 50 пар, тому сума дорівнює $0$ .
б) При $n = 1000$ (парне число) також є 500 пар, отже сума дорівнює $0$ .
в) При $n = 1001$ (непарне число) у послідовності міститься 500 пар і один останній член ( $a_{1001} = - 1$ ), тому сума дорівнює $- 1$ .

Відповідь:

а) $0$ ; б) $0$ ; в) $- 1$ .

Завдання 806

Формули для послідовності нечетних чисел

Знайти дві різні формули $n$ -го члена послідовності, першими членами якої є числа $1, 3, 5, 7, \dots$ .

Розв’язання

Перший спосіб (лінійна): Оскільки різниця між сусідніми членами дорівнює $2$ , формула має вигляд $a_{n} = 2 n - 1$ . Перевірка: при $n = 1$ отримуємо $1$ , при $n = 2$ — $3$ .
Другий спосіб (через корінь): Відомо, що квадрат непарного числа можна записати як $(2 k - 1)^{2}$ , але тут простіше використати властивість парних чисел: $a_{n} = 4 n^{2} - 1$ або спробувати інший підхід. Простіша альтернативна формула через модуль або абсолютну величину, наприклад, $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ (перевірка: $n = 1 \to 1$ , $n = 2 \to 3$ ). Ще простіший варіант — використати властивість парних чисел: $a_{n} = 2 n - 1$ . Другий варіант може бути через корені, але в шкільній програмі частіше шукають лінійні залежності. Можна взяти $a_{n} = 4 n^{2} - 1$ (це не ціле число). Краще: $a_{n} = 2 n - 1$ та $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ .

Відповідь:

$a_{n} = 2 n - 1$ ; $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ .

Завдання 807

Квадрати послідовності Фібоначчі

Перемалювати малюнок, на якому зображені квадрати зі сторонами $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $8$ . Потрібно намалювати два нові квадрати так, щоб їхні сторони дорівнювали наступним членам послідовності Фібоначчі ( $13$ та $21$ ).

Розв’язання

Знайдемо наступні члени послідовності Фібоначчі: $8 + 5 = 13$ та $13 + 8 = 21$ .
Намалюємо квадрат зі стороною $13 см$ (або в одиницях малюнка) поруч з квадратом зі стороною $8$ .
Далі намалюємо квадрат зі стороною $21$ поруч з квадратами $13$ та $8$ , щоб завершити візерунок.

Відповідь:

Нові сторони дорівнюють $13$ і $21$ . Приклад природного явища: розташування листків на стеблі деяких рослин (філометрія) або спіраль раковини молюсків часто відповідає пропорціям чисел Фібоначчі.

Завдання 808

Розподіл витрат та прибутку

Підприємниця купила два предмети за загальною ціною $2500$ грн і після продажу отримала загальний прибуток $40%$ . Перший предмет приніс прибуток $25%$ , а другий — $50%$ . Знайти вартість кожного предмета.

Розв’язання

Знайдемо загальний прибуток: $0, 4 \cdot 2500 = 1000$ грн.
Складемо рівняння балансу прибутків: $0, 25 x + 0, 5 y = 1000$ .
Маємо систему: ${x + y = 2500 0, 25 x + 0, 5 y = 1000$ . Перетворимо друге рівняння, помноживши на 4: $x + 2 y = 4000$ .
Віднімемо перше рівняння від отриманого другого: $(x + 2 y) - (x + y) = 4000 - 2500 \Rightarrow y = 1500$ .
Знайдемо $x$ : $x = 2500 - 1500 = 1000$ .

Відповідь:

Перший предмет коштував $1000$ грн, другий — $1500$ грн.

Завдання 809

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = x^{2} + 3$ ; б) $y = x^{2} - 2$ ; в) $y = (x - 4)^{2}$ ; г) $y = (x + 3)^{2}$ .

Розв’язання

а) Вершина в $(0; 3)$ , проміжок зміни $y$ від $3$ .
б) Вершина в $(0; - 2)$ , проміжок зміни $y$ від $- 2$ .
в) Вершина в $(4; 0)$ , вершина на осі абсцис.
г) Вершина в $(- 3; 0)$ , вершина на осі абсцис.

Відповідь:

а) Парабола з вершиною $(0; 3)$ ; б) Парабола з вершиною $(0; - 2)$ ; в) Парабола з вершиною $(4; 0)$ ; г) Парабола з вершиною $(- 3; 0)$ . (Графіки неможливо намалювати текстом, описано властивості).

Завдання 810

Розв'язання систем рівнянь

Розв'язати системи: а) ${x + y = 5 x^{2} + y^{2} - 2 x = 15$ ; б) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y + 12 = 0$ ; в) ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + y^{2} = 9$ ; г) ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} + y^{2} - 6 x = 7$ .

Розв’язання

а) З першого рівняння $y = 5 - x$ . Підставимо у друге: $x^{2} + (5 - x)^{2} - 2 x = 15 \Rightarrow 2 x^{2} - 12 x + 10 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ . Відповідно $y_{1} = 4, y_{2} = 0$ . Розв'язки $(1; 4), (5; 0)$ .
б) З другого рівняння $x y = - 12 \Rightarrow y = - 12/ x$ . Підставимо у перше: $x^{2} + 144/ x^{2} = 25$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t + 144/ t = 25 \Rightarrow t^{2} - 25 t + 144 = 0$ . Корені $t_{1} = 9, t_{2} = 16$ . Тоді $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ , $x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ . Відповідні $y$ : якщо $x = 3, y = - 4$ ; якщо $x = - 3, y = 4$ ; якщо $x = 4, y = - 3$ ; якщо $x = - 4, y = 3$ . Розв'язки $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ .
в) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - ((x - 4)^{2} + y^{2}) = 25 - 9 \Rightarrow x^{2} - (x^{2} - 8 x + 16) = 16 \Rightarrow 8 x - 16 = 16 \Rightarrow 8 x = 32 \Rightarrow x = 4$ . Підставимо у перше: $16 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ . Розв'язки $(4; 3), (4; - 3)$ .
г) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2} - 6 x) = 25 - 7 \Rightarrow 6 x = 18 \Rightarrow x = 3$ . Підставимо у перше: $9 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ . Розв'язки $(3; 4), (3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(1; 4), (5; 0)$ ; б) $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ ; в) $(4; 3), (4; - 3)$ ; г) $(3; 4), (3; - 4)$ .