ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 131–141

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–711 · 49 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 131

§ 13. Системи рівнянь другого степеня

Завдання 1

Приклад розв'язання системи рівнянь

Розв'язати систему рівнянь: ${x^{2} - y = 17, x^{2} + y = 10.$

Розв’язання

Додаємо ліві частини та праві частини обох рівнянь: $(x^{2} - y) + (x^{2} + y) = 17 + 10$ , що дає $2 x^{2} = 27$ .
Знаходимо $x^{2}$ : $x^{2} = 13, 5$ .
Знаходимо корені: $x_{1} = 13, 5$ , $x_{2} = - 13, 5$ .
Підставляємо значення $x^{2} = 13, 5$ у друге рівняння: $13, 5 + y = 10$ , звідси $y = - 3, 5$ .

Відповідь:

$(13, 5; - 3, 5)$ і $(- 13, 5; - 3, 5)$ .

Сторінка 133

Завдання 1 (с. 133)

Розв'язування системи рівнянь

${x^{2} + y^{2} = 61, x^{2} - y^{2} = 11.$

Розв’язання

Додамо почленно рівняння системи: $(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 61 + 11$ , отже $2 x^{2} = 72$ , звідси $x^{2} = 36$ .
Знаходимо корені для $x$ : $x_{1} = 6$ та $x_{2} = - 6$ .
Підставимо $x^{2} = 36$ у друге рівняння: $36 - y^{2} = 11$ , звідси $y^{2} = 25$ .
Знаходимо корені для $y$ : $y_{1} = 5$ та $y_{2} = - 5$ .

Відповідь:

$(6; 5), (6; - 5), (- 6; 5), (- 6; - 5)$ .

Сторінка 134

Завдання 1 (с. 134)

Розв'язування системи рівнянь способом додавання

а) ${x^{2} + y^{2} = 61 x^{2} - y^{2} = 11$ ; б) ${y^{2} - x y = 3 x^{2} - x y = 2$ ; в) ${x^{2} + y^{2} = 5 y^{2} - x^{2} = 3$

Розв’язання

а) Додамо почленно рівняння системи: $(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 61 + 11$ , отже $2 x^{2} = 72$ , звідси $x^{2} = 36$ . Корені: $x_{1} = - 6, x_{2} = 6$ . Підставимо $x = 6$ у друге рівняння: $36 - y^{2} = 11 \Rightarrow y^{2} = 25$ , корені $y_{1} = 5, y_{2} = - 5$ . Аналогічно для $x = - 6$ .
б) Віднімемо друге рівняння від першого: $(y^{2} - x y) - (x^{2} - x y) = 3 - 2 \Rightarrow y^{2} - x^{2} = 1$ . Це не спрощує, краще відняти почленно так: $(y^{2} - x y) - (x^{2} - x y) = 1$ — помилка в умові розбору, правильно віднімати рівняння так, щоб отримати повний квадрат. Правильно: віднімемо друге від першого: $y^{2} - x^{2} = 1$ . Але в підручнику йдеться про інший спосіб для іншої системи. Перепишемо умову з підручника: ${y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1 x y - x^{2} = 2$ (це результат віднімання). Тоді $(y - x)^{2} = 1 \Rightarrow y - x = 1$ або $y - x = - 1$ .
в) Зробимо заміну $t = \frac{x}{y}$ . Перше рівняння $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$ стає $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ . Помножимо на $2 t$ : $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ . Корені: $t_{1} = 2, t_{2} = \frac{1}{2}$ . Якщо $\frac{x}{y} = 2$ , то $x = 2 y$ . Підставимо у друге рівняння системи (яке має вигляд $x^{2} - y^{2} = 3$ ): $(2 y)^{2} - y^{2} = 3 \Rightarrow 3 y^{2} = 3 \Rightarrow y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ . Якщо $y = 1$ , то $x = 2$ ; якщо $y = - 1$ , то $x = - 2$ .

Відповідь:

а) $(- 6; 5), (- 6; - 5), (6; 5), (6; - 5)$ ; б) $(2; 3), (- 2; - 3)$ ; в) $(2; 1), (- 2; - 1)$ .

Сторінка 135

Завдання 657

Ідентифікація графіків функцій

Визначити геометричну фігуру, що є графіком кожного з рівнянь: а) $y = x^{2}$ ; б) $x^{2} + y^{2} = 4$ ; в) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ; г) $y^{2} = x$ .

Розв’язання

Для а) $y = x^{2}$ — це стандартна параболу, що проходить через початок координат і розкривається вгору.
Для б) $x^{2} + y^{2} = 4$ — це коло з центром у точці $(0; 0)$ і радіусом $R = 2$ .
Для в) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ — це коло з центром у точці $(1; 2)$ і радіусом $R = 3$ .
Для г) $y^{2} = x$ — це параболу, що проходить через початок координат і розкривається вправо.

Відповідь:

а) парабола; б) коло з центром у початку координат; в) коло з центром $(1; 2)$ ; г) парабола, вісь симетрії якої — вісь $O x$ .

Завдання 658

Перевірка розв'язків рівняння

Визначити, яка з наведених пар чисел не є розв'язком рівняння $x^{2} - 3 x = y$ . Варіанти: А $(0; 0)$ , Б $(3; 0)$ , В $(0; 3)$ , Г $(- 1; 4)$ .

Розв’язання

Для А $(0; 0)$ : $0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$ , що дорівнює $y = 0$ . Це розв'язок.
Для Б $(3; 0)$ : $3^{2} - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$ , що дорівнює $y = 0$ . Це розв'язок.
Для В $(0; 3)$ : $0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$ , але $y = 3$ . Оскільки $0 \neq = 3$ , це не є розв'язком.
Для Г $(- 1; 4)$ : $(- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) = 1 + 3 = 4$ , що дорівнює $y = 4$ . Це розв'язок.

Відповідь:

В $(0; 3)$ .

Завдання 659

Аналіз існування розв'язків рівнянь

Пояснити, чому рівняння а) $x^{2} + y^{2} + 4 = 0$ та б) $x^{2} + y^{2} = 2 x y - 3$ не мають розв'язків.

Розв’язання

Рівняння а): $x^{2} + y^{2} = - 4$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ та $y^{2} \geq 0$ , то сума $x^{2} + y^{2} \geq 0$ . Протиріччя з $- 4$ . Розв'язків немає.
Рівняння б): Перенесемо все вліво: $x^{2} - 2 x y + y^{2} = - 3$ . Це $(x - y)^{2} = - 3$ . Оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, а $- 3 < 0$ , розв'язків немає.

Відповідь:

а) сума квадратів не може дорівнювати від'ємному числу; б) рівняння зводиться до $(x - y)^{2} = - 3$ , що неможливо для дійсних чисел.

Завдання 660

Розв'язок системи рівнянь за графіком

Знайти пару чисел, яка є розв'язком системи ${x^{2} + y = 2, 2 x y + y = 3$ з варіантами: А $(0; 2)$ , Б $(1; 1)$ , В $(- 1; 1)$ , Г $(- 2; 0)$ .

Розв’язання

Перевіряємо варіант Б $(1; 1)$ . Підставляємо $x = 1$ і $y = 1$ у перше рівняння: $1^{2} + 1 = 1 + 1 = 2$ . Рівність виконується.
Перевіряємо ту саму пару чисел у другому рівнянні: $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ . Рівність також виконується.

Відповідь:

Б $(1; 1)$

Завдання 661

Обґрунтування відсутності розв'язків у системі

Пояснити, чому система рівнянь а) ${x^{2} + y^{2} + 7 = 0, 3 x y - y^{2} = 0$ і б) ${x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} - y^{2} = 4$ не має розв'язків.

Розв’язання

Система а): У першому рівнянні $x^{2} + y^{2} + 7 = 0$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ та $y^{2} \geq 0$ , то $x^{2} + y^{2} \geq 0$ . Отже, $x^{2} + y^{2} + 7 \geq 7$ . Це означає, що вираз не може дорівнювати нулю. Розв'язків немає.
Система б): Додамо почленно обидва рівняння: $(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 1 + 4$ . Скорочуємо $y^{2}$ : $2 x^{2} = 5$ , звідси $x^{2} = 2, 5$ . Підставимо це у перше рівняння: $2, 5 + y^{2} = 1$ , тобто $y^{2} = 1 - 2, 5 = - 1, 5$ . Квадрат числа не може бути від'ємним. Розв'язків немає.

Відповідь:

а) перше рівняння не має розв'язків; б) під час додавання рівнянь отримуємо протиріччя ( $y^{2} = - 1, 5$ ).

Завдання 662

Гра на складання системи без розв'язків

Один учень має скласти систему рівнянь другого степеня, яка не має розв'язків, а другий перевіряє. Потім ролі міняються.

Розв’язання

Складання системи: Придумай два рівняння, наприклад, ${x^{2} + y^{2} = 4, x^{2} + y^{2} = 9$ . Графіки — це два різні кола з центром у початку координат. Вони не перетинаються.
Перевірка: Розв'яжи систему за методом віднімання рівнянь. Отримаєш $0 = 5$ , що є протиріччям. Значить, розв'язків немає.
План для учня: Склади систему з двох рівнянь кола різного радіуса або систему, де сума квадратів дорівнює від'ємному числу. Перевір, чи не перетинаються графіки (або чи не виникає протиріччя при алгебраїчному розв'язанні).

Відповідь:

Приклад системи без розв'язків: ${x^{2} + y^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = 4$ ; план виконання: скласти систему з двох рівнянь, що описують неперетинаючіся фігури (наприклад, кола різного радіуса).

Завдання 663

Ідентифікація рівнянь за графіками

Дано два графіки на малюнку 13.4 (а і б). Потрібно визначити, якому рівнянню відповідає кожен графік окремо та обидва разом: а) синього кольору; б) рожевого кольору; в) обох кольорів одночасно.

Розв’язання

Аналізуємо графік синього кольору (мал. 13.4, б): це парабола, вісь симетрії якої — вісь $O x$ , вершина в точці $(0; 0)$ , проходить через точки $(1; 1)$ та $(4; 2)$ . Рівняння має вигляд $y^{2} = x$ (або $x = y^{2}$ ).
Аналізуємо графік рожевого кольору (мал. 13.4, а): це коло з центром у початку координат $(0; 0)$ , яке перетинає осі в точках $\pm 5$ . Рівняння має вигляд $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Відповідь:

а) $y^{2} = x$ ; б) $x^{2} + y^{2} = 25$ ; в) $y^{2} = x$ та $x^{2} + y^{2} = 25$ (одночасно).

Сторінка 136

Завдання 664

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y + x = 1 y + x^{2} = 1$ ; б) ${8 y = x^{2} y - x = 0$ ; в) ${x y = 6 y = 1, 5 x$ .

Розв’язання

Пункт а): Побудуємо графік $y = 1 - x$ (пряма лінія) та $y = 1 - x^{2}$ (парабола, що відкрита вниз з вершиною $(0; 1)$ ). Перетин цих графіків відбувається в точках $(- 1; 2)$ та $(1; 0)$ .
Пункт б): Побудуємо параболу $y = \frac{x ^{2}}{8}$ та параболу $y = x$ (оскільки $x = y \Rightarrow y^{2} = x$ , але тут $y = x$ — це права гілка параболи $y^{2} = x$ ). Перетин графіків $x^{2} = 8 y$ та $y = x$ дає точку $(4; 2)$ .
Пункт в): Побудуємо гіперболу $x y = 6$ та пряму $y = 1, 5 x$ . Перетин графіків відбувається у точках $(2; 3)$ та $(- 2; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 1; 2), (1; 0)$ ; б) $(4; 2)$ ; в) $(2; 3), (- 2; - 3)$ .

Завдання 665

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y = x^{2} + 1 x - y = - 3$ ; б) ${4 y = x^{2} y = x + 2$ ; в) ${x y = 4 x - y = 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Графік $y = x^{2} + 1$ — це парабола з вершиною $(0; 1)$ . Графік $y = x + 3$ — пряма. Вони перетинаються в точках $(- 2; 5)$ та $(1; 2)$ .
Пункт б): Графік $x^{2} = 4 y$ — парабола з вершиною $(0; 0)$ . Графік $y = x + 2$ — крива, що починається від точки $(0; 2)$ і йде вгору. Ці графики не перетинаються (парабола швидко росте, а корінь повільно), тому розв'язків немає.
Пункт в): Графік $x y = 4$ — гіпербола. Графік $x - y = 0$ , тобто $y = x$ — пряма, що проходить через початок координат під кутом 45°. Перетин відбувається в точках $(2; 2)$ та $(- 2; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 5), (1; 2)$ ; б) розв'язків немає; в) $(2; 2), (- 2; - 2)$ .

Завдання 666

Графічне розв'язання системи рівнянь

а) ${y^{2} = x y = x^{2}$ ; б) ${x^{2} + y^{2} = 25 y = x^{2} - 5$ ; в) ${x y - 8 = 0 x^{2} - y = 0$ .

Розв’язання

Пункт а): Графік $y^{2} = x$ — парабола, відкрита вправо. Графік $y = x^{2}$ — парабола, відкрита вгору. Вони перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(1; 1)$ .
Пункт б): Коло $x^{2} + y^{2} = 25$ має радіус 5. Парабола $y = x^{2} - 5$ проходить через точку $(0; - 5)$ . Перетин графіків відбувається в точках $(- 3; 4)$ та $(3; 4)$ .
Пункт в): Гіпербола $x y = 8$ та парабола $y = x^{2}$ . Підставимо $y = x^{2}$ у перше рівняння: $x \cdot x^{2} = 8 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$ . Тоді $y = 4$ . Єдиний розв'язок $(2; 4)$ .

Відповідь:

а) $(0; 0), (1; 1)$ ; б) $(- 3; 4), (3; 4)$ ; в) $(2; 4)$ .

Завдання 667

Графічне розв'язання систем рівнянь

а) ${x - y^{2} = 0 y = 2 - x$ ;
б) ${y = x^{2} x y = - 8$ ;
в) ${x^{2} + y^{2} = 1 y = 1 - x^{2}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Побудуємо параболу $x = y^{2}$ (відкрита вправо) та пряму $y = 2 - x$ . Точки перетину графіків це $(0; 2)$ , $(0; - 2)$ та $(1; 1)$ , але точніше: підставимо $x = y^{2}$ у друге рівняння: $y = 2 - y^{2} \Rightarrow y^{2} + y - 2 = 0$ . Корені $y_{1} = 1, y_{2} = - 2$ . Якщо $y = 1$ , то $x = 1$ . Якщо $y = - 2$ , то $x = 4$ . Розв'язки: $(1; 1), (4; - 2)$ .
Для пункту б): Побудуємо параболу $y = x^{2}$ та гіперболу $x y = - 8$ . Точки перетину графіків це $(2; - 4)$ та $(- 2; 4)$ . Перевірка: $2 \cdot (- 4) = - 8$ , $(- 2) \cdot 4 = - 8$ .
Для пункту в): Побудуємо коло $x^{2} + y^{2} = 1$ та параболу $y = 1 - x^{2}$ . Оскільки $y = 1 - x^{2}$ — це верхня частина параболі з вершиною $(0; 1)$ , яка проходить через початок координат. Коло має радіус 1 і центр у початку координат. Графіки перетинаються в одній точці $(0; 1)$ . Перевірка: $0^{2} + 1^{2} = 1$ та $1 = 1 - 0^{2}$ .

Відповідь:

а) $(1; 1), (4; - 2)$ ;
б) $(2; - 4), (- 2; 4)$ ;
в) $(0; 1)$ .

Завдання 668

Розв'язання систем рівнянь способом підстановки

а) ${x - y = 3 x^{2} + y^{2} = 9$ ;
б) ${x - y = 3 x y = 4$ ;
в) ${x y - y^{2} = 4 y - x = - 2$ .

Розв’язання

Пункт а): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3)^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y^{2} + 6 y + 9 + y^{2} = 9 \Rightarrow 2 y^{2} + 6 y = 0 \Rightarrow 2 y (y + 3) = 0$ . Корені $y_{1} = 0, y_{2} = - 3$ . Якщо $y = 0$ , то $x = 3$ . Якщо $y = - 3$ , то $x = 0$ . Розв'язки: $(3; 0), (0; - 3)$ .
Пункт б): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3) y = 4 \Rightarrow y^{2} + 3 y - 4 = 0$ . Дискримінант $D = 9 + 16 = 25$ , корені $y_{1} = 1, y_{2} = - 4$ . Якщо $y = 1$ , то $x = 4$ . Якщо $y = - 4$ , то $x = - 1$ . Розв'язки: $(4; 1), (- 1; - 4)$ .
Пункт в): З другого рівняння $y = x - 2$ . Підставимо у перше: $x (x - 2) - (x - 2)^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} - 2 x - (x^{2} - 4 x + 4) = 4 \Rightarrow x^{2} - 2 x - x^{2} + 4 x - 4 = 4 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ . Тоді $y = 4 - 2 = 2$ . Розв'язок: $(4; 2)$ .

Відповідь:

а) $(3; 0), (0; - 3)$ ;
б) $(4; 1), (- 1; - 4)$ ;
в) $(4; 2)$ .

Завдання 669

Розв'язання систем рівнянь способом підстановки (англійською)

а) ${x^{2} + y^{2} = 100 x - y = 2$ ;
б) ${x - y = 3 x y + 2 = 0$ ;
в) ${x^{2} - x y = 16 x - y = 2$ .

Розв’язання

Пункт а): З другого рівняння $x = y + 2$ . Підставимо у перше: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} = 100 \Rightarrow 2 y^{2} + 4 y - 96 = 0 \Rightarrow y^{2} + 2 y - 48 = 0$ . Корені $y_{1} = 6, y_{2} = - 8$ . Якщо $y = 6$ , то $x = 8$ . Якщо $y = - 8$ , то $x = - 6$ . Розв'язки: $(8; 6), (- 6; - 8)$ .
Пункт б): З першого рівняння $x = y + 3$ . Підставимо у друге: $(y + 3) y + 2 = 0 \Rightarrow y^{2} + 3 y + 2 = 0$ . Корені $y_{1} = - 1, y_{2} = - 2$ . Якщо $y = - 1$ , то $x = 2$ . Якщо $y = - 2$ , то $x = 1$ . Розв'язки: $(2; - 1), (1; - 2)$ .
Пункт в): З другого рівняння $x = y + 2$ . Підставимо у перше: $(y + 2)^{2} - (y + 2) y = 16 \Rightarrow (y^{2} + 4 y + 4) - (y^{2} + 2 y) = 16 \Rightarrow 2 y + 4 = 16 \Rightarrow 2 y = 12 \Rightarrow y = 6$ . Тоді $x = 6 + 2 = 8$ . Розв'язок: $(8; 6)$ .

Відповідь:

а) $(8; 6), (- 6; - 8)$ ;
б) $(2; - 1), (1; - 2)$ ;
в) $(8; 6)$ .

Завдання 670

Розв'язання системи рівнянь підстановкою

1) ${3 x + y = 1 x - 2 y^{2} = - 7$
2) ${2 x - y = 8 2 x^{2} - y^{2} = 32$
3) ${x - y = 2 x^{2} - x y + y^{2} = 19$

Розв’язання

Варіант а) Виразимо $y$ : $y = 1 - 3 x$ . Підставимо у друге рівняння: $x - 2 (1 - 3 x)^{2} = - 7$ . Розкриємо дужки: $x - 2 (1 - 6 x + 9 x^{2}) = - 7 \Rightarrow x - 2 + 12 x - 18 x^{2} = - 7$ . Отримаємо квадратне рівняння: $- 18 x^{2} + 13 x + 5 = 0$ , або $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 13)^{2} - 4 \cdot 18 \cdot (- 5) = 169 + 360 = 529$ . Корені: $x_{1} = \frac{13 + 23}{36} = 1$ , $x_{2} = \frac{13 - 23}{36} = - \frac{5}{18}$ (перевірка показує, що цілісних коренів є лише один). Перевіримо простішим способом: якщо $x = 1$ , то $y = - 2$ . Перевірка: $3 (1) + (- 2) = 1$ (так), $1 - 2 (- 2)^{2} = 1 - 8 = - 7$ (так).
Виправлення розрахунку: $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ . Дискримінант $D = 529$ , $D = 23$ . $x_{1} = \frac{13 + 23}{36} = 1$ ; $x_{2} = \frac{13 - 23}{36} = - \frac{10}{36} = - \frac{5}{18}$ . Знайдемо відповідні $y$ : при $x = 1$ , $y = - 2$ . При $x = - 5/18$ , $y = 1 - 3 (- 5/18) = 1 + 5/6 = 11/6$ . Перевірка другого рівняння для дробового кореня складна, але математично вірна. Однак у шкільних підручниках зазвичай беруться цілісні розв'язки. Давайте перевіримо ще раз умову: $x - 2 y^{2} = - 7$ . Якщо $x = 1, y = - 2$ , то $1 - 2 (4) = - 7$ . Все вірно.
Альтернативний підхід для шкільної програми: Можливо, я помилився у розкладанні на множники або знаходженні коренів. Перевіримо: $18 x^{2} - 13 x - 5 = (9 x - 5) (2 x + 1)?$ Ні. $(6 x - 5) (3 x + 1) = 18 x^{2} + 6 x - 15 x - 5 = 18 x^{2} - 9 x - 5$ . Не підходить.
Давайте розв'яжемо $18 x^{2} - 13 x - 5 = 0$ ще раз. $x = \frac{13 \pm 23}{36}$ . $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 10/36 = - 5/18$ . Відповідно, пари $(1; - 2)$ і $(- 5/18; 11/6)$ .
Варіант б) Виразимо $y$ : $y = 2 x - 8$ . Підставимо у друге рівняння: $2 x^{2} - (2 x - 8)^{2} = 32$ . Розкриємо дужки: $2 x^{2} - (4 x^{2} - 32 x + 64) = 32 \Rightarrow - 2 x^{2} + 32 x - 64 = 32 \Rightarrow - 2 x^{2} + 32 x - 96 = 0$ . Поділимо на $- 2$ : $x^{2} - 16 x + 48 = 0$ . Знайдемо корені: $(x - 6) (x - 8) = 0$ , отже $x_{1} = 6, x_{2} = 8$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 6 \Rightarrow y = 2 (6) - 8 = 4$ ; при $x = 8 \Rightarrow y = 2 (8) - 8 = 8$ .

Відповідь:

$(6; 4), (8; 8)$ .

3. Варіант в) Виразимо $y$ : $y = x - 2$ . Підставимо у друге рівняння: $x^{2} - x (x - 2) + (x - 2)^{2} = 19$ . Розкриємо дужки: $x^{2} - x^{2} + 2 x + (x^{2} - 4 x + 4) = 19 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 4 = 19 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 15 = 0$ . Знайдемо корені: $(x - 5) (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = 5, x_{2} = - 3$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 5 \Rightarrow y = 3$ ; при $x = - 3 \Rightarrow y = - 5$ .

Завдання 671

Розв'язання системи рівнянь підстановкою

1) ${x^{2} + 2 y = 27 x - 2 y = 3$
2) ${8 x^{2} - y^{2} = 28 3 x + y = 4$
3) ${x + y = 3 2 x^{2} - x y - y^{2} = - 10$

Розв’язання

Варіант а) Виразимо $x$ : $x = 27 - 2 y$ . Підставимо у друге рівняння: $(27 - 2 y)^{2} + 2 y = 27$ ? Ні, краще виразити $x$ з другого рівняння: $x = 3 + 2 y$ . Підставимо у перше: $(3 + 2 y)^{2} + 2 y = 27 \Rightarrow 9 + 12 y + 4 y^{2} + 2 y - 27 = 0 \Rightarrow 4 y^{2} + 14 y - 18 = 0$ . Поділимо на 2: $2 y^{2} + 7 y - 9 = 0$ . Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9) = 49 + 72 = 121$ . Корені: $y_{1} = \frac{- 7 + 11}{4} = 1$ , $y_{2} = \frac{- 7 - 11}{4} = - 4.5$ .
Знайдемо $x$ : при $y = 1 \Rightarrow x = 3 + 2 (1) = 5$ ; при $y = - 4.5 \Rightarrow x = 3 + 2 (- 4.5) = - 6$ .

Відповідь:

$(5; 1), (- 6; - 4.5)$ .

2. Варіант б) Виразимо $y$ : $y = 4 - 3 x$ . Підставимо у перше рівняння: $8 x^{2} - (4 - 3 x)^{2} = 28 \Rightarrow 8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = 28 \Rightarrow x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Дискримінант $D = 576 - 4 \cdot (- 44) = 576 + 176 = 752$ ? Ні, $b^{2} - 4 a c = 2 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44) = 576 + 176 = 752$ . Це не квадрат числа. Перевіримо розкладання: $x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Можливо, я помилився у знаках. $8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = x^{2} + 24 x - 16$ . Тоді $x^{2} + 24 x - 16 - 28 = 0 \Rightarrow x^{2} + 24 x - 44 = 0$ . Корені: $D = 576 + 176 = 752$ , $752 \approx 27.4$ . Це дивно для шкільної задачі. Перевіримо ще раз умову: $8 x^{2} - y^{2} = 28, 3 x + y = 4$ .
Можливо, краще підставити $y$ у перше рівняння без розкриття дужок спочатку? Ні.
Давайте перевіримо корені: $x_{1} = - 12 + 148$ ? Ні. Перевіримо обчислення: $8 x^{2} - (4 - 3 x)^{2} = 28$ . $8 x^{2} - (16 - 24 x + 9 x^{2}) = 28$ . $- x^{2} + 24 x - 16 = 28 \Rightarrow - x^{2} + 24 x - 44 = 0 \Rightarrow x^{2} - 24 x + 44 = 0$ . Дискримінант $D = 576 - 176 = 400$ . $D = 20$ . Корені: $x_{1} = \frac{24 + 20}{2} = 22$ , $x_{2} = \frac{24 - 20}{2} = 2$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 2 \Rightarrow y = 4 - 6 = - 2$ ; при $x = 22 \Rightarrow y = 4 - 66 = - 62$ .

Завдання 672

Розв'язання системи рівнянь алгебраїчним додаванням

1) ${x + y - x y = - 23 x - y + x y = 49$
2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} - y^{2} = 7$
3) ${x^{2} + x y = 5 2 x^{2} - 3 x y = - 10$

Розв’язання

Варіант а) Додамо рівняння: $(x + y - x y) + (x - y + x y) = - 23 + 49 \Rightarrow 2 x = 26 \Rightarrow x = 13$ . Віднімемо перше від другого: $(x - y + x y) - (x + y - x y) = 49 - (- 23) \Rightarrow - 2 y + 2 x y = 72$ . Підставимо $x = 13$ : $- 2 y + 26 y = 72 \Rightarrow 24 y = 72 \Rightarrow y = 3$ .
Перевірка: $13 + 3 - 39 = - 23$ (так), $13 - 3 + 39 = 49$ (так).

Відповідь:

$(13; 3)$ .

2. Варіант б) Поділимо перше рівняння на друге: $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{25}{7}$ . Це складно. Краще виразимо $y^{2}$ з другого рівняння: $y^{2} = x^{2} - 7$ . Підставимо у перше: $x^{2} + (x^{2} - 7) = 25 \Rightarrow 2 x^{2} = 32 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ .
Знайдемо $y$ : при $x = 4 \Rightarrow y^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ ; при $x = - 4 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ .
Перевірка підстановки: $(- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ , $16 - 9 = 7$ (так). Але треба перевірити знаки. У другому рівнянні $x^{2} - y^{2} = 7$ . Якщо $x = 4, y = 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = 4, y = - 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = - 4, y = 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ . Якщо $x = - 4, y = - 3 \Rightarrow 16 - 9 = 7$ .

Сторінка 137

Завдання 674

Розв'язування системи рівнянь з невідомими другого степеня

а) ${x^{2} + y^{2} + x - 3 y = 6, x^{2} - y^{2} + x + 3 y = - 2;$ б) ${x^{2} + y^{2} = 10, (x - y) (x + y) = 8;$ в) ${y^{2} - x y = 6, 3 y^{2} + 4 x y = - 17.$

Розв’язання

а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2} + x - 3 y) - (x^{2} - y^{2} + x + 3 y) = 6 - (- 2)$ , що дає $2 y^{2} - 6 y = 8$ , або $y^{2} - 3 y - 4 = 0$ . Корені: $y_{1} = 4, y_{2} = - 1$ .
Підставимо $y = 4$ у перше рівняння: $x^{2} + 16 + x - 12 = 6 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0$ , звідки $x_{1} = 1, x_{2} = - 2$ .
Підставимо $y = - 1$ у перше рівняння: $x^{2} + 1 - x + 3 = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0$ , звідки $x_{3} = 2, x_{4} = - 1$ .
Розв'язок системи а): $(1; 4), (- 2; 4), (2; - 1), (- 1; - 1)$ .
б) Друге рівняння є тотожністю першого ( $x^{2} + y^{2} = 8$ ), тому розглянемо систему ${x^{2} + y^{2} = 10, x^{2} - y^{2} = 8$ . Додамо рівняння: $2 x^{2} = 18 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ .
Знайдемо $y$ : якщо $x = 3$ , то $9 + y^{2} = 10 \Rightarrow y = \pm 1$ ; якщо $x = - 3$ , то $9 + y^{2} = 10 \Rightarrow y = \pm 1$ .
Розв'язок системи б): $(3; 1), (3; - 1), (- 3; 1), (- 3; - 1)$ .
в) Складемо рівняння для $y$ : з першого $y (y - x) = 6$ , з другого $y (3 y + 4 x) = - 17$ . Зручніше виразити $x y$ з першого: $x y = y^{2} - 6$ . Підставимо у друге: $3 y^{2} + 4 (y^{2} - 6) = - 17 \Rightarrow 7 y^{2} - 24 = - 17 \Rightarrow 7 y^{2} = 7 \Rightarrow y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ .
Якщо $y = 1$ , то $x = y^{2} - 6/ y = (1 - 6) /1 = - 5$ . Перевірка: $(- 5)^{2} + 1^{2} = 26 \neq = 6$ (ошибка в підстановці, краще підставити у перше рівняння).
Правильно: з $y^{2} - x y = 6 \Rightarrow x y = y^{2} - 6$ . Підставляємо у друге: $3 y^{2} + 4 (y^{2} - 6) = - 17 \Rightarrow 7 y^{2} = 7 \Rightarrow y = \pm 1$ .
При $y = 1$ : $x = (1 - 6) /1 = - 5$ . Перевірка у першому: $1 - (- 5) = 6$ — так. У другому: $3 (1) + 4 (- 5) = 3 - 20 = - 17$ — так.
При $y = - 1$ : $x = (1 - 6) / (- 1) = 5$ . Перевірка у першому: $1 - 5 (- 1) = 6$ — так. У другому: $3 (1) + 4 (- 5) = - 17$ — так.
Розв'язок системи в): $(- 5; 1), (5; - 1)$ .

Відповідь:

а) $(1; 4), (- 2; 4), (2; - 1), (- 1; - 1)$ ; б) $(3; 1), (3; - 1), (- 3; 1), (- 3; - 1)$ ; в) $(- 5; 1), (5; - 1)$ .

Завдання 675

Розв'язування систем рівнянь з невідомими другого степеня

а) ${x + y = 5 x y, x - y = x y;$ б) ${x^{2} - x y = 2, y^{2} - x y = - 1;$ в) ${x^{2} + y^{2} = 13, x y = 6.$

Розв’язання

а) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x + y) - (x - y) = 5 x y - x y \Rightarrow 2 y = 4 x y$ . Якщо $y = 0$ , то $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0$ ). При $y \neq = 0$ : $1 = 2 x \Rightarrow x = 0, 5$ . Підставимо у перше: $0, 5 + y = 2, 5 y \Rightarrow 2, 5 y - y = 0, 5 \Rightarrow 1, 5 y = 0, 5 \Rightarrow y = 1/3$ . Перевірка: $x - y = 1/2 - 1/3 = 1/6$ , $x y = 1/6$ — підходить.
Розв'язок а): $(0, 5; 1/3)$ .
б) Додамо рівняння: $x^{2} + y^{2} - 2 x y = 1 \Rightarrow (x - y)^{2} = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Віднімемо друге від першого: $x^{2} - y^{2} = 3 \Rightarrow (x - y) (x + y) = 3$ .
Якщо $x - y = 1$ , то $1 \cdot (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = 3$ . Система ${x - y = 1, x + y = 3$ дає $2 x = 4 \Rightarrow x = 2, y = 1$ . Перевірка: $4 - 2 = 2$ , $1 - 2 = - 1$ — так.
Якщо $x - y = - 1$ , то $(- 1) (x + y) = 3 \Rightarrow x + y = - 3$ . Система ${x - y = - 1, x + y = - 3$ дає $2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2, y = - 1$ . Перевірка: $4 - (- 2) = 6 \neq = 2$ (помилка в умові чи розв'язанні).
Правильно: $x^{2} - y^{2} = 3$ . При $x = 2, y = 1$ : $4 - 1 = 3$ — так. При $x = - 2, y = - 1$ : $4 - 1 = 3$ — так.
Розв'язок б): $(2; 1), (- 2; - 1)$ .
в) Знайдемо суму квадратів: $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 13 + 12 = 25 \Rightarrow x + y = \pm 5$ .
$(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 13 - 12 = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$ .
Чотири системи: ${x + y = 5, x - y = 1 \Rightarrow x = 3, y = 2$ ; ${x + y = 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = 2, y = 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = 1 \Rightarrow x = - 2, y = - 3$ ; ${x + y = - 5, x - y = - 1 \Rightarrow x = - 3, y = - 2$ .
Розв'язок в): $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 1/3)$ ; б) $(2; 1), (- 2; - 1)$ ; в) $(3; 2), (2; 3), (- 2; - 3), (- 3; - 2)$ .

Завдання 676

Розв'язування системи з модулем та лінійним рівнянням

${3 x + 9 = x + 1, ∣ x - 1∣ + 2 y + 7 = 0.$ Якщо $(x_{0}; y_{0})$ — розв'язок системи, то $x_{0} + y_{0} = \dots$

Розв’язання

Розв'яжемо перше рівняння: $3 x + 9 = x + 1 \Rightarrow 2 x = - 8 \Rightarrow x = - 4$ .
Підставимо $x = - 4$ у друге рівняння: $∣ - 4 - 1∣ + 2 y + 7 = 0 \Rightarrow ∣ - 5∣ + 2 y + 7 = 0 \Rightarrow 5 + 2 y + 7 = 0 \Rightarrow 2 y = - 12 \Rightarrow y = - 6$ .
Знайдемо $x_{0} + y_{0} = - 4 + (- 6) = - 10$ .

Відповідь:

$- 10$ (варіант В).

Завдання 677

Система рівнянь з підстановкою

Розв'язати систему ${x y = - 12, x (2 y - 1) = - 18.$ Якщо $(x_{0}; y_{0})$ — розв'язок системи, то $x_{0} = ...$

Розв’язання

З другого рівняння виразимо $x$ : $x = \frac{- 18}{2 y - 1}$ .
Підставимо цей вираз у перше рівняння: $\frac{- 18}{2 y - 1} \cdot y = - 12$ .
Спростимо дріб і розв'яжемо отримане квадратне рівняння відносно $y$ : $- 18 y = - 12 (2 y - 1) \Rightarrow - 18 y = - 24 y + 12 \Rightarrow 6 y = 12 \Rightarrow y = 2$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ , підставивши $y = 2$ у вираз для $x$ : $x = \frac{- 18}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{- 18}{3} = - 6$ .
Перевіримо розв'язок: $(- 6) \cdot 2 = - 12$ (перше рівняння виконується), $- 6 (2 \cdot 2 - 1) = - 6 \cdot 3 = - 18$ (друге рівняння виконується).

Відповідь:

$x_{0} = - 6$ .

Завдання 678

Задачі Діофанта

Розв'язати системи рівнянь.
а) ${x + y = 10, x^{2} + y^{2} = 68;$
б) ${x + y = 20, x^{2} - y^{2} = 80.$

Розв’язання

а) 1. Піднесемо перше рівняння до квадрату: $(x + y)^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y = 100$ .
Підставимо значення $x^{2} + y^{2} = 68$ : $68 + 2 x y = 100 \Rightarrow 2 x y = 32 \Rightarrow x y = 16$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 10, x y = 16.$ Корені рівняння $t^{2} - 10 t + 16 = 0$ це $t_{1} = 2, t_{2} = 8$ .
Відповідь: $(2; 8)$ і $(8; 2)$ .
б) 1. Скористаємося формулою різниці квадратів: $(x - y) (x + y) = 80$ .
Підставимо $x + y = 20$ : $(x - y) \cdot 20 = 80 \Rightarrow x - y = 4$ .
Розв'яжемо систему ${x + y = 20, x - y = 4.$ Додамо рівняння: $2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ . Віднімемо: $2 y = 16 \Rightarrow y = 8$ .
Відповідь: $(12; 8)$ .

Відповідь:

а) $(2; 8), (8; 2)$ ; б) $(12; 8)$ .

Завдання 679

Задачі Іоанна Палермського

Розв'язати системи рівнянь.
а) ${x y - y = 42, x - y = 2;$
б) ${x y - x = 40, x - y = 2.$

Розв’язання

а) 1. З другого рівняння виразимо $x$ : $x = y + 2$ .
Підставимо в перше рівняння: $(y + 2) y - y = 42 \Rightarrow y^{2} + 2 y - y = 42 \Rightarrow y^{2} + y - 42 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного тричлена: $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 42) = 173$ (не є повним квадратом). Перевіримо ще раз умову: $x y - y = 42 \Rightarrow y (x - 1) = 42$ . З другого рівняння $x = y + 2$ , отже $y (y + 2 - 1) = 42 \Rightarrow y^{2} + y - 42 = 0$ . Корені не цілі, але в шкільних задачах зазвичай виходять цілі числа. Перевіримо обчислення: $D = 1 + 168 = 169$ , $169 = 13$ .
$y_{1} = \frac{- 1 - 13}{2} = - 7$ , $y_{2} = \frac{- 1 + 13}{2} = 6$ . Знайдемо $x$ : якщо $y = - 7$ , то $x = 1$ ; якщо $y = 6$ , то $x = 8$ .
Відповідь: $(1; - 7)$ і $(8; 6)$ .
б) 1. З другого рівняння виразимо $x$ : $x = y + 2$ .
Підставимо в перше рівняння: $(y + 2) y - (y + 2) = 40 \Rightarrow y^{2} + 2 y - y - 2 = 40 \Rightarrow y^{2} + y - 42 = 0$ .
Знайдемо корені: $y_{1} = - 7, y_{2} = 6$ .
Знайдемо відповідні $x$ : якщо $y = - 7$ , то $x = 1$ ; якщо $y = 6$ , то $x = 8$ .
Відповідь: $(1; - 7)$ і $(8; 6)$ .

Відповідь:

а) $(1; - 7), (8; 6)$ ; б) $(1; - 7), (8; 6)$ .

Завдання 680

Системи рівнянь за Фібоначчі

а) ${x + y = 10, x (x - y) = 24 y;$
б) ${x + y = 10, x^{2} = 32 y .$

Розв’язання

Система а): З першого рівняння маємо $y = 10 - x$ . Підставляємо це у друге рівняння: $x (x - (10 - x)) = 24 (10 - x)$ . Спрощуємо отримане рівняння: $x (2 x - 10) = 240 - 24 x \Rightarrow 2 x^{2} - 10 x = 240 - 24 x \Rightarrow 2 x^{2} + 14 x - 240 = 0$ . Ділимо на 2: $x^{2} + 7 x - 120 = 0$ . Знаходимо корені: $(x + 15) (x - 8) = 0$ , отже $x_{1} = - 15, x_{2} = 8$ . Знаходимо відповідні значення $y$ : якщо $x = - 15$ , то $y = 25$ ; якщо $x = 8$ , то $y = 2$ .
Система б): З першого рівняння маємо $y = 10 - x$ . Підставляємо у друге: $x^{2} = 32 (10 - x) \Rightarrow x^{2} = 320 - 32 x \Rightarrow x^{2} + 32 x - 320 = 0$ . Знаходимо корені за формулою або розкладанням на множники: $(x + 40) (x - 8) = 0$ , отже $x_{1} = - 40, x_{2} = 8$ . Знаходимо відповідні значення $y$ : якщо $x = - 40$ , то $y = 50$ ; якщо $x = 8$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

а) ${x = - 15, y = 25, {x = 8, y = 2$ ; б) ${x = - 40, y = 50, {x = 8, y = 2$ .

Завдання 681

Складання та розв'язання систем рівнянь

Склади системи рівнянь, які за структурою нагадують задачі Діофанта (сума квадратів і сума змінних), Іоанна Палермського (різниця добутку та різниця змінних) та Фібоначчі (добуток змінних у дужках або квадрат однієї змінної), а потім розв'яжи їх.

Розв’язання

Складаємо систему: ${x + y = 8, x^{2} + y^{2} = 40.$ Виразимо $y = 8 - x$ . Підставимо у друге рівняння: $x^{2} + (8 - x)^{2} = 40 \Rightarrow x^{2} + 64 - 16 x + x^{2} = 40 \Rightarrow 2 x^{2} - 16 x + 24 = 0$ . Ділимо на 2: $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ . Корені: $(x - 2) (x - 6) = 0$ , отже $x_{1} = 2, x_{2} = 6$ . Відповідні $y$ : якщо $x = 2$ , то $y = 6$ ; якщо $x = 6$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

Приклад системи: ${x + y = 8, x^{2} + y^{2} = 40.$ Розв'язок: ${x = 2, y = 6, {x = 6, y = 2$ . (Інші варіанти складання систем також можливі).

Завдання 682

Розв'язання графічно та відкритих систем

а) ${y = 6 x - x^{2} - 7, y = ∣ x ∣ - 1;$
б) ${y = x^{2} - 2 x - 1, y = \frac{3}{x} + 1;$
в) ${y = x^{2} + △ + □, y = □ .$ (де $△$ і $□$ — невідомі числа).

Розв’язання

Система а): Перша функція — парабола з вершиною в точці $(3, - 16)$ , що розкривається вниз. Друга функція — V-подібний графік з вершиною в початку координат (зрізаний на $y = - 1$ ). Перетини можна знайти аналітично для перевірки: якщо $x \geq 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = x - 1 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 3$ . Якщо $x < 0$ , то $6 x - x^{2} - 7 = - x - 1 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1$ (не підходить), $x_{2} = 6$ (не підходить). Перевірка: при $x = 2, y = 1$ ; при $x = 3, y = 2$ . Отже, два розв'язки.
Система б): Парабола та гіпербола. Гіпербола має асимптоти $x = 0$ і $y = 1$ . Парабола проходить через точки $(- 1, - 2), (0, - 1), (1, - 2)$ . Перетини: підставимо $y$ : $x^{2} - 2 x - 1 = \frac{3}{x} + 1 \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Очевидний корінь $x = - 1$ (бо $- 1 + 2 + 4 - 3 \neq = 0$ , помилка в підстановці). Спробуємо $x = 3$ : $27 - 18 - 12 - 3 = - 6 \neq = 0$ . Спробуємо графічно: парабола йде вниз, гіпербола — у двох гілках. Перетини є.
Система в): Щоб система мала розв'язок, треба підібрати $△$ і $□$ . Наприклад, якщо взяти $△ = 0$ і $□ = 1$ , то $y = x^{2} + 1$ і $y = 1$ . Перетин: $x^{2} + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ . Один розв'язок $(0; 1)$ .

Відповідь:

а) Два розв'язки (точки перетину параболи та модуля); б) Два розв'язки (точки перетину параболи та гіперболи); в) При $△ = 0, □ = 1$ — один розв'язок $(0; 1)$ .

Сторінка 138

Завдання 683

Розв'язання систем рівнянь

а) ${y = x - 4, 3 y - x + 2 = 0;$
б) ${y = 2 + 2 x - x^{2}, y = 2 - ∣ x ∣;$
в) ${Δ + * = 0, x^{2} + y = □ .$ (Умова містить знаки замість чисел, які неможливо розшифрувати без зображення).

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння виразимо $x$ : $x = 3 y + 2$ .
Підставимо у перше рівняння: $y = 3 y + 2 - 4 \Rightarrow y = 3 y - 2$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи, що $y \geq 0$ ): $y^{2} = 3 y - 2 \Rightarrow y^{2} - 3 y + 2 = 0$ .
Знайдемо корені: $(y - 1) (y - 2) = 0$ , отже $y_{1} = 1, y_{2} = 2$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 1$ , то $x = 3 (1) + 2 = 5$ . Перевірка: $5 - 4 = 1$ (підходить).
Якщо $y = 2$ , то $x = 3 (2) + 2 = 8$ . Перевірка: $8 - 4 = 2$ (підходить).
Розв'язуємо систему б):
Прирівняємо праві частини рівнянь: $2 + 2 x - x^{2} = 2 - ∣ x ∣$ .
Спростимо: $2 x - x^{2} = - ∣ x ∣ \Rightarrow x^{2} - 2 x - ∣ x ∣ = 0$ .
Розглянемо випадок $x \geq 0$ (тоді $∣ x ∣ = x$ ): $x^{2} - 2 x - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x (x - 3) = 0$ .
Корені: $x_{1} = 0, x_{2} = 3$ . Знайдемо $y$ : для $x = 0, y = 2$ ; для $x = 3, y = 2 + 6 - 9 = - 1$ .
Розглянемо випадок $x < 0$ (тоді $∣ x ∣ = - x$ ): $x^{2} - 2 x - (- x) = 0 \Rightarrow x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (x - 1) = 0$ .
Корені: $x = 0$ (не підходить, бо $x < 0$ ), $x = 1$ (не підходить). Отже, розв'язків у цьому випадку немає.

Відповідь:

а) $(5; 1); (8; 2)$
б) $(0; 2); (3; - 1)$

Завдання 684

Визначення кількості розв'язків графічно

а) ${x^{2} + y^{2} = 4, ∣ x ∣ - y = 0;$
б) ${y = x^{2} + 2 x, y = x + 3;$
в) ${Δ + * = 6, x y = □ .$ (Умова містить знаки замість чисел).

Розв’язання

Аналізуємо систему а):
Рівняння $x^{2} + y^{2} = 4$ описує коло з центром у початку координат і радіусом $R = 2$ .
Рівняння $∣ x ∣ - y = 0$ еквівалентне $y = ∣ x ∣$ , що є графіком двох променів: $y = x$ ( $x \geq 0$ ) та $y = - x$ ( $x < 0$ ).
Прямі $y = \pm x$ перетинають коло у чотирьох точках.
Аналізуємо систему б):
Рівняння $y = x^{2} + 2 x$ описує параболу з вершиною в точці $(- 1; - 1)$ , що проходить через початок координат $(0; 0)$ .
Рівняння $y = x + 3$ визначає гілку гіперболи, яка починається від точки $(- 3; 0)$ і йде вгору.
Парабола та ця гілка перетинаються у двох точках (одна точка лежить на відрізку $x \in [- 3; - 1]$ , інша — при $x > - 1$ ).

Відповідь:

а) 4 розв'язки
б) 2 розв'язки

Завдання 685

Розв'язання систем рівнянь

а) ${y = 1 - 2 x - x^{2}, ∣ x + 2∣ - y = 0;$
б) ${x^{2} + y^{2} = 9, x y = 3;$
в) ${Δ - y = 0, y - □ = 0.$ (Умова містить знаки замість чисел).

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
З другого рівняння $y = ∣ x + 2∣$ . Підставимо у перше: $∣ x + 2∣ = 1 - 2 x - x^{2}$ .
Розглянемо випадок $x \geq - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = x + 2$ ): $x + 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + 3 x + 1 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 - 4 = 5$ , корені $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ . Обидва корені більші за $- 2$ (оскільки $5 \approx 2.2$ , тобто $- 3 + 2.2 = - 0.8 > - 2$ ).
Знайдемо $y$ : $y = x + 2$ .
Розглянемо випадок $x < - 2$ (тоді $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ ): $- (x + 2) = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow - x - 2 = 1 - 2 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} + x - 3 = 0$ .
Корені $x = \frac{- 1 \pm 13}{2}$ . $13 \approx 3.6$ , отже $- 1 - 3.6 = - 4.6 < - 2$ (підходить), а $- 1 + 3.6 > - 2$ (не підходить).
Розв'язуємо систему б):
Додамо рівняння після множення другого на 2: $x^{2} + y^{2} = 9$ та $2 x y = 6$ . Це не допомагає напряму.
Спробуємо підстановку: $y = \frac{3}{x}$ . Підставимо у перше: $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} = 9$ .
Помножимо на $x^{2}$ : $x^{4} - 9 x^{2} + 9 = 0$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t^{2} - 9 t + 9 = 0$ .
Корені $t = \frac{9 \pm 81 - 36}{2} = \frac{9 \pm 45}{2} = \frac{9 \pm 3 5}{2}$ .
Оскільки $t = x^{2} \geq 0$ , обидва корені підходять. Звідси знайдемо $x$ і $y$ .

Відповідь:

а) Чотири розв'язки (два з $x \geq - 2$ та один з $x < - 2$ , другий корінь другого випадку відкидається).
б) Чотири розв'язки ( $\pm t_{1}, \pm t_{2}$ з відповідними $y$ ).

Сторінка 139

Завдання 692

Розв'язання системи з дробами (ЗНО)

${x - \frac{3}{y} = 3 x + \frac{1}{y} = 11$ Знайти $x_{0} + y_{0}$ .

Розв’язання

Віднімемо друге рівняння від першого: $(x - \frac{3}{y}) - (x + \frac{1}{y}) = 3 - 11 \Rightarrow - \frac{4}{y} = - 8 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$ .
Підставимо $y = 0, 5$ у друге рівняння: $x + \frac{1}{0 , 5} = 11 \Rightarrow x + 2 = 11 \Rightarrow x = 9$ .
Знаходимо суму: $x_{0} + y_{0} = 9 + 0, 5 = 9, 5$ .

Відповідь:

Г 9,5

Завдання 693

Кількість розв'язків системи (ЗНО)

${x^{2} - y^{2} = - 4 x^{2} + y^{2} = 4$ Скільки всього розв'язків?

Розв’язання

Додамо рівняння: $(x^{2} - y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) = - 4 + 4 \Rightarrow 2 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ .
Підставимо $x = 0$ у друге рівняння: $0 + y^{2} = 4 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$ .
Отримуємо два розв'язки: $(0; 2)$ та $(0; - 2)$ .

Відповідь:

В два

Завдання 694

Система Фібоначчі

а) ${x + y = 12, \frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2};$
б) ${x + y = 10, (\frac{x}{y} + 10) (\frac{y}{x} + 10) = 122 \frac{2}{3} .$

Розв’язання

Для пункту а): Введемо заміну $t = x - y$ . Тоді система набуває вигляду ${x + y = 12, x y = 4, 5 t$ і ${x - y = t .$ .
Знайдемо $x$ та $y$ як корені квадратного рівняння $z^{2} - (x + y) z + x y = 0$ , тобто $z^{2} - 12 z + 4, 5 t = 0$ .
Також маємо $x - y = t$ . Підставимо $y = x - t$ у перше рівняння: $2 x - t = 12 \Rightarrow x = \frac{12 + t}{2}, y = \frac{12 - t}{2}$ .
Підставимо вирази для $x, y$ у друге рівняння: $\frac{\frac{12 + t}{2} \cdot \frac{12 - t}{2}}{t} = 4, 5 \Rightarrow \frac{144 - t ^{2}}{4 t} = 4, 5 \Rightarrow 144 - t^{2} = 18 t \Rightarrow t^{2} + 18 t - 144 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 324 + 576 = 900$ , $D = 30$ . Корені: $t_{1} = \frac{- 18 + 30}{2} = 6$ , $t_{2} = \frac{- 18 - 30}{2} = - 24$ .
Знаходимо відповідні пари $(x, y)$ :
Якщо $t = 6$ : $x = \frac{18}{2} = 9, y = \frac{6}{2} = 3$ . Перевірка: $x y = 27$ , $\frac{27}{6} = 4, 5$ — правильно.
Якщо $t = - 24$ : $x = \frac{- 12}{2} = - 6, y = \frac{- 36}{2} = - 18$ . Перевірка: $x y = 108$ , $\frac{108}{- 24} = - 4, 5 \neq = 4, 5$ — не підходить (знак мінус у знаменнику).
Примітка: У умові дріб $\frac{x y}{x - y} = 4 \frac{1}{2}$ позитивний. Якщо $t = - 24$ , то $x - y = - 24$ (від'ємне), а $x y = 108$ (додатнє). Дріб буде від'ємним. Отже, тільки один розв'язок.
Для пункту б): Введемо заміну $u = \frac{x}{y} + 10$ . Тоді $\frac{y}{x} + 10 = \frac{1}{u - 10} + 10$ ? Ні, простіше: нехай $a = \frac{x}{y}$ , тоді $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$ . Система: $x + y = 10$ , $(a + 10) (\frac{1}{a} + 10) = 122 \frac{2}{3}$ .
Розкриваємо дужки: $1 + 100 a + \frac{10}{a} + 100 = 122 \frac{2}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = 22 \frac{2}{3} - 1 = 21 \frac{2}{3}$ .
Нехай $k = a + \frac{1}{a}$ . Тоді $100 k = \frac{67}{3} \Rightarrow k = \frac{67}{300}$ . Це мале число, але $a + \frac{1}{a}$ для дійсних $a$ має бути $\geq 2$ або $\leq - 2$ . Тут $k < 2$ , отже дійсних розв'язків немає.
Перевірка обчислень: $122 \frac{2}{3} = \frac{368}{3}$ . $1 + 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{368}{3} \Rightarrow 100 (a + \frac{1}{a}) = \frac{365}{3} \Rightarrow a + \frac{1}{a} = \frac{365}{300} = \frac{73}{60} \approx 1, 2$ . Оскільки $x + y = 10$ , то $x, y$ додатні (якщо один від'ємний, інший більший за модуль, але добуток може бути від'ємним). Якщо $a + \frac{1}{a} < 2$ , дійсних $a$ немає.
Отже, розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(9; 3)$ ; б) розв'язків немає.

Завдання 695

Система аль-Хорезмі

а) ${x + y = 10, x^{2} = 4 x y;$
б) ${x + y = 10, \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 \frac{1}{6} .$

Розв’язання

Для пункту а): З другого рівняння $x^{2} = 4 x y$ . Якщо $x \neq = 0$ , то $x = 4 y$ . Підставимо в перше: $4 y + y = 10 \Rightarrow 5 y = 10 \Rightarrow y = 2$ . Тоді $x = 8$ . Перевірка: $8^{2} = 64, 4 \cdot 8 \cdot 2 = 64$ — підходить. Якщо $x = 0$ , то з першого рівняння $y = 10$ , але $0 = 0$ (справджується), отже $(0; 10)$ також розв'язок? Перевіримо друге: $0^{2} = 4 \cdot 0 \cdot 10 \Rightarrow 0 = 0$ . Так, це розв'язок.
Для пункту б): Введемо заміну $k = \frac{x}{y}$ . Тоді $\frac{y}{x} = \frac{1}{k}$ . Рівняння: $k + \frac{1}{k} = 2 \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$ .
Помножимо на $6 k$ : $6 k^{2} + 6 = 13 k \Rightarrow 6 k^{2} - 13 k + 6 = 0$ .
Дискримінант: $D = 169 - 144 = 25$ , $D = 5$ . Корені: $k_{1} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = 1, 5 = \frac{3}{2}$ , $k_{2} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
Знаходимо пари $(x, y)$ :
Якщо $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 1, 5 y$ . Підставимо в $x + y = 10$ : $2, 5 y = 10 \Rightarrow y = 4, x = 6$ .
Якщо $\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3} y$ . Підставимо: $\frac{5}{3} y = 10 \Rightarrow y = 6, x = 4$ .

Відповідь:

а) $(8; 2), (0; 10)$ ; б) $(6; 4), (4; 6)$ .

Завдання 696

Розв'язання систем рівнянь заміною змінних

а) ${5 (x + y) + 2 x y = - 19 x + y + 3 x y = - 35$
б) ${x^{2} y^{2} + x y = 72 x + y = 6$
в) ${x^{3} y^{3} = - 8 x^{3} + y^{3} = - 7$
г) ${x + y = 3 x y = 4$

Розв’язання

а) Помітимо, що $x + y = \frac{- 19 - 2 x y}{5}$ . Підставимо це у друге рівняння або поділимо рівняння один на один (під умовою $x + y \neq = 0$ ).
Спростимо систему: ${5 (x + y) + 2 x y = - 19 x + y + 3 x y = - 35$ .
Виразимо $x + y$ з другого рівняння: $x + y = - 35 - 3 x y$ . Підставимо у перше: $5 (- 35 - 3 x y) + 2 x y = - 19 \Rightarrow - 175 - 15 x y + 2 x y = - 19 \Rightarrow - 13 x y = 156 \Rightarrow x y = - 12$ .
Тоді $x + y = - 35 - 3 (- 12) = - 35 + 36 = 1$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $z^{2} - z - 12 = 0 \Rightarrow D = 1 + 48 = 49, z_{1} = 4, z_{2} = - 3$ .

Відповідь:

$(x; y) = (4; - 3)$ або $(- 3; 4)$ .

2. б) Позначимо $u = x y$ . Тоді система набуває вигляду ${u^{2} + u = 72 x + y = 6$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння відносно $u$ : $u^{2} + u - 72 = 0 \Rightarrow (u + 9) (u - 8) = 0 \Rightarrow u_{1} = - 9, u_{2} = 8$ .
Якщо $x y = 8$ і $x + y = 6$ , то $z^{2} - 6 z + 8 = 0 \Rightarrow z_{1} = 4, z_{2} = 2$ . Відповідь: $(4; 2), (2; 4)$ .
Якщо $x y = - 9$ і $x + y = 6$ , то $z^{2} - 6 z - 9 = 0 \Rightarrow D = 36 + 36 = 72$ . Корені $z = \frac{6 \pm 6 2}{2} = 3 \pm 32$ . Відповідь: $(3 + 32; 3 - 32), (3 - 32; 3 + 32)$ .

3. в) Позначимо $u = x^{3}, v = y^{3}$ . Система: ${uv = - 8 u + v = - 7$ .
Квадратне рівняння $z^{2} - (- 7) z + (- 8) = 0 \Rightarrow z^{2} + 7 z - 8 = 0 \Rightarrow (z + 8) (z - 1) = 0$ .
Корені: $u_{1} = - 8, u_{2} = 1$ .
Якщо $x^{3} = - 8$ , то $x = - 2$ . Тоді $y^{3} = 1 \Rightarrow y = 1$ . Відповідь: $(- 2; 1)$ .
Якщо $x^{3} = 1$ , то $x = 1$ . Тоді $y^{3} = - 8 \Rightarrow y = - 2$ . Відповідь: $(1; - 2)$ .

4. г) Піднесемо перше рівняння до квадрату: $x + y + 2 x y = 9$ . З другого рівняння $x y = 2$ , отже $x y = 4$ .
Підставимо у вираз: $x + y + 4 = 9 \Rightarrow x + y = 5$ .
Розв'язуємо $z^{2} - 5 z + 4 = 0 \Rightarrow z_{1} = 1, z_{2} = 4$ . Відповідь: $(1; 4), (4; 1)$ .

Сторінка 140

Завдання 697

Системи рівнянь з двома змінними

а) ${x y + x + y = 11, x^{2} y + y^{2} x = 30;$
б) ${(x + y)^{2} - 4 (x + y) = 45, (x - y)^{2} - 2 (x + y) = 7;$
в) ${x^{3} y^{3} = 27, x^{3} - y^{3} = 26;$
г) ${x + y = 5, x y = 6.$

Розв’язання

а) Виділимо спільний множник $x y (x + y)$ у другому рівнянні: $x y (x y + x + y) = 30$ . З першого рівняння маємо $x y + x + y = 11$ . Підставимо це значення: $x y \cdot 11 = 30$ , звідки $x y = \frac{30}{11}$ . Це не ціле число, перевіримо розкладання.
Правильний підхід: Розкладемо друге рівняння як $x y (x + y) + x y^{2} + x^{2} y$ — ні, краще так: $x (x y + y) + y (x y + x)$ ? Ні.
Правильний шлях: $x^{2} y + y^{2} x = x y (x + y)$ . З першого рівняння $x y + x + y = 11 \Rightarrow x + y = 11 - x y$ . Підставимо у друге: $x y (11 - x y) = 30$ . Нехай $t = x y$ . Тоді $11 t - t^{2} = 30 \Rightarrow t^{2} - 11 t + 30 = 0$ .
Корені: $t_{1} = 5, t_{2} = 6$ .
Якщо $x y = 5$ , то $x + y = 11 - 5 = 6$ . Розв'язуємо систему ${x + y = 6 x y = 5$ . Корені рівняння $z^{2} - 6 z + 5 = 0$ : $z_{1} = 1, z_{2} = 5$ . Відповідь: $(1; 5), (5; 1)$ .
Якщо $x y = 6$ , то $x + y = 11 - 6 = 5$ . Розв'язуємо систему ${x + y = 5 x y = 6$ . Корені рівняння $z^{2} - 5 z + 6 = 0$ : $z_{1} = 2, z_{2} = 3$ . Відповідь: $(2; 3), (3; 2)$ .
б) Введемо заміну $u = x + y$ і $v = x - y$ . Система набуває вигляду ${u^{2} - 4 u = 45, v^{2} - 2 u = 7.$
З першого рівняння: $u^{2} - 4 u - 45 = 0$ . Дискримінант $D = 16 + 180 = 196$ , $D = 14$ . $u_{1} = \frac{4 + 14}{2} = 9, u_{2} = \frac{4 - 14}{2} = - 5$ .
Знайдемо $v$ для кожного $u$ :
Якщо $u = 9$ , то $v^{2} - 18 = 7 \Rightarrow v^{2} = 25 \Rightarrow v = \pm 5$ .
Якщо $u = - 5$ , то $v^{2} + 10 = 7 \Rightarrow v^{2} = - 3$ (немає дійсних розв'язків).
Отже, маємо пари $(x + y; x - y)$ : $(9; 5)$ та $(9; - 5)$ .
Для $(9; 5)$ : $2 x = 14 \Rightarrow x = 7, 2 y = 4 \Rightarrow y = 2$ . Розв'язок $(7; 2)$ .
Для $(9; - 5)$ : $2 x = 4 \Rightarrow x = 2, 2 y = 14 \Rightarrow y = 7$ . Розв'язок $(2; 7)$ .
в) Піднесемо обидва рівняння до кубічного кореня (або просто візьмемо корінь): $3 x^{3} y^{3} = 327 \Rightarrow x y = 3$ .
З другого рівняння маємо $x^{3} - y^{3} = 26$ . Використовуємо формулу розкладання різниці кубів: $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 26$ .
Оскільки $x y = 3$ , то $x^{2} + 3 + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = (x + y)^{2} - 6$ .
Але краще ввести $u = x, v = y$ або розглянути як систему. Спробуємо підставити $y = 3/ x$ у друге рівняння: $x^{3} - \frac{27}{x ^{3}} = 26$ . Нехай $z = x^{3}$ . $z - \frac{27}{z} = 26 \Rightarrow z^{2} - 26 z - 27 = 0$ .
$(z - 27) (z + 1) = 0$ . $z_{1} = 27, z_{2} = - 1$ .
Якщо $x^{3} = 27$ , то $x = 3$ . Тоді $y = 3/3 = 1$ . Перевірка: $3^{3} - 1^{3} = 27 - 1 = 26$ . Правильно. Розв'язок $(3; 1)$ .
Якщо $x^{3} = - 1$ , то $x = - 1$ . Тоді $y = 3/ (- 1) = - 3$ . Перевірка: $(- 1)^{3} - (- 3)^{3} = - 1 - (- 27) = 26$ . Правильно. Розв'язок $(- 1; - 3)$ .
г) Піднесемо перше рівняння до квадрата: $(x + y)^{2} = 25 \Rightarrow x + y + 2 x y = 25$ .
З другого рівняння $x y = 6 \Rightarrow x y = 36$ . Підставимо у перше: $x + y + 12 = 25 \Rightarrow x + y = 13$ .
Розв'язуємо систему ${x + y = 13 x y = 36$ . Корені рівняння $z^{2} - 13 z + 36 = 0$ : $D = 169 - 144 = 25, z_{1, 2} = \frac{13 \pm 5}{2}$ .
$z_{1} = 9, z_{2} = 4$ . Відповідь: $(9; 4), (4; 9)$ .

Відповідь:

а) $(1; 5), (5; 1), (2; 3), (3; 2)$
б) $(7; 2), (2; 7)$
в) $(3; 1), (- 1; - 3)$
г) $(9; 4), (4; 9)$

Завдання 700

Знаходження чисел a і b з системи рівнянь

а) $3 a + 4 b = 8 ab = 8$ ;
б) $a^{2} + ab - 5 = b^{2} + ab = 10$ ;
в) $a^{2} + b - 2 a = a + b = - 1$ .

Розв’язання

Пункт а): Маємо систему ${3 a + 4 b = 8 8 ab = 8$ . З другого рівняння дізнаємось, що $ab = 1$ , звідки $b = \frac{1}{a}$ . Підставимо це в перше рівняння: $3 a + 4 (\frac{1}{a}) = 8$ . Помножимо на $a$ : $3 a^{2} + 4 = 8 a$ , отже $3 a^{2} - 8 a + 4 = 0$ . Корені: $D = 64 - 48 = 16$ , $a_{1} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3}$ , $a_{2} = \frac{8 + 4}{6} = 2$ . Знаходимо відповідні $b$ : якщо $a = \frac{2}{3}$ , то $b = \frac{3}{2}$ ; якщо $a = 2$ , то $b = \frac{1}{2}$ .
Пункт б): Маємо систему ${a^{2} + ab - 5 = 10 b^{2} + ab = 10$ . Скорочуємо $ab$ у обох рівняннях: ${a^{2} - 5 = 10 b^{2} = 10$ . Отже, $a^{2} = 15$ , $b^{2} = 15$ . Розв'язки: $a = \pm 15$ , $b = \pm 15$ . Перевірка підстановкою в початкове рівняння показує, що знаки мають бути однаковими ( $ab > 0$ ).
Пункт в): Маємо систему ${a^{2} + b - 2 a = - 1 a + b = - 1$ . З другого рівняння $b = - 1 - a$ . Підставимо в перше: $a^{2} + (- 1 - a) - 2 a = - 1$ , тобто $a^{2} - 3 a = 0$ . Корені: $a (a - 3) = 0 \Rightarrow a_{1} = 0, a_{2} = 3$ . Знаходимо $b$ : якщо $a = 0$ , то $b = - 1$ ; якщо $a = 3$ , то $b = - 4$ .

Відповідь:

а) $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2}), (2; 0, 5)$ ;
б) $(15; 15), (- 15; - 15)$ ;
в) $(0; - 1), (3; - 4)$ .

---

Завдання 701

Розв'язування систем рівнянь з параметром a і b

а) $a^{2} - 0, 5 b = a - b = 1$ ;
б) $a^{2} + b^{2} - 6 b = 2 a + b = 0$ ;
в) $3 (a - 2) (b + 1) = a - b = 3$ .

Розв’язання

Пункт а): Система ${a^{2} - 0, 5 b = 1 a - b = 1$ . З другого рівняння $b = a - 1$ . Підставимо в перше: $a^{2} - 0, 5 (a - 1) = 1 \Rightarrow a^{2} - 0, 5 a + 0, 5 = 1 \Rightarrow a^{2} - 0, 5 a - 0, 5 = 0$ . Помножимо на 2: $2 a^{2} - a - 1 = 0$ . Корені: $D = 1 + 8 = 9$ , $a_{1} = \frac{1 - 3}{4} = - 0, 5$ , $a_{2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$ . Знаходимо $b$ : якщо $a = - 0, 5$ , то $b = - 1, 5$ ; якщо $a = 1$ , то $b = 0$ .
Пункт б): Система ${a^{2} + b^{2} - 6 b = 0 2 a + b = 0$ . З другого рівняння $b = - 2 a$ . Підставимо в перше: $a^{2} + (- 2 a)^{2} - 6 (- 2 a) = 0 \Rightarrow a^{2} + 4 a^{2} + 12 a = 0 \Rightarrow 5 a^{2} + 12 a = 0$ . Корені: $a (a + 2, 4) = 0 \Rightarrow a_{1} = 0$ , $a_{2} = - 2, 4$ . Знаходимо $b$ : якщо $a = 0$ , то $b = 0$ ; якщо $a = - 2, 4$ , то $b = 4, 8$ .
Пункт в): Система ${3 (a - 2) (b + 1) = 3 a - b = 3$ . Скорочуємо перше на 3: $(a - 2) (b + 1) = 1$ . Розкриваємо дужки: $ab + a - 2 b - 2 = 1 \Rightarrow ab + a - 2 b = 3$ . Маємо систему ${ab + a - 2 b = 3 b = a - 3$ . Підставимо $b$ : $a (a - 3) + a - 2 (a - 3) = 3 \Rightarrow a^{2} - 3 a + a - 2 a + 6 = 3 \Rightarrow a^{2} - 4 a + 3 = 0$ . Корені: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 3$ . Знаходимо $b$ : якщо $a = 1$ , то $b = - 2$ ; якщо $a = 3$ , то $b = 0$ .

Відповідь:

а) $(- 0, 5; - 1, 5), (1; 0)$ ;
б) $(0; 0), (- 2, 4; 4, 8)$ ;
в) $(1; - 2), (3; 0)$ .

---

Завдання 702

Відстань між точками перетину графіків

а) Прямая $x - y = 7$ і коло $x^{2} + y^{2} = 169$ .
б) Коло $x^{2} + y^{2} = 25$ і коло $(x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ .

Розв’язання

Пункт а): Система ${x - y = 7 x^{2} + y^{2} = 169$ . З першого рівняння $x = y + 7$ . Підставимо у друге: $(y + 7)^{2} + y^{2} = 169 \Rightarrow y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} = 169 \Rightarrow 2 y^{2} + 14 y - 120 = 0$ . Ділимо на 2: $y^{2} + 7 y - 60 = 0$ . Корені: $D = 49 + 240 = 289$ , $D = 17$ . $y_{1} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12$ , $y_{2} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ . Знаходимо $x$ : якщо $y = - 12$ , то $x = - 5$ ; якщо $y = 5$ , то $x = 12$ . Точки перетину: $(- 5; - 12)$ і $(12; 5)$ . Відстань за формулою: $(12 - (- 5))^{2} + (5 - (- 12))^{2} = 1 7^{2} + 1 7^{2} = 172$ .
Пункт б): Система ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ . Розкриємо дужки у другому рівнянні: $x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 8 y + 16 = 1$ . Підставимо $x^{2} + y^{2} = 25$ : $25 - 8 x - 8 y + 32 = 1 \Rightarrow - 8 x - 8 y = - 56 \Rightarrow x + y = 7$ . Маємо систему ${x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7$ . З другого $y = 7 - x$ . Підставимо: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25 \Rightarrow x^{2} + 49 - 14 x + x^{2} = 25 \Rightarrow 2 x^{2} - 14 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . Корені: $x_{1} = 3, x_{2} = 4$ . Знаходимо $y$ : якщо $x = 3$ , то $y = 4$ ; якщо $x = 4$ , то $y = 3$ . Точки перетину: $(3; 4)$ і $(4; 3)$ . Відстань: $(4 - 3)^{2} + (3 - 4)^{2} = 1 + 1 = 2$ .

Відповідь:

а) $172$ ;
б) $2$ .

Завдання 703

Системи з модулем та параболою

а) ${y = ∣ x ∣ y = a - x^{2}$ ;
б) ${x^{2} + y^{2} = 4 y = a - ∣ x ∣$ ;
в) ${(y - x)^{2} = 4 x^{2} + y^{2} = a^{2}$ .

Розв’язання

Розглянемо підпункт а). Перепишемо систему як ${y = x y = - x$ для $x \geq 0$ та ${y = - x y = a - x^{2}$ для $x < 0$ .
Знайдемо точки перетину прямої $y = x$ з параболою $y = a - x^{2}$ : $x = a - x^{2} \Rightarrow x^{2} + x - a = 0$ . Дискримінант $D_{1} = 1 + 4 a$ .
Знайдемо точки перетину прямої $y = - x$ з параболою $y = a - x^{2}$ : $- x = a - x^{2} \Rightarrow x^{2} - x - a = 0$ . Дискримінант $D_{2} = 1 + 4 a$ .

Відповідь:

Кількість розв'язків залежить від параметра $a$ :
якщо $a < - 0, 25$ , то розв'язків немає;
якщо $a = - 0, 25$ , то один розв'язок $(x = 0, y = 0)$ ;
якщо $- 0, 25 < a < 1$ , то два розв'язки;
якщо $a \geq 1$ , то три розв'язки.

Завдання 704

Параметричні системи з модулем

а) ${y = - ∣ x ∣ y = x^{2} + a$ ;
б) ${x^{2} + y^{2} = 9 y = a + ∣ x ∣$ ;
в) ${(y - x)^{2} = 16 x^{2} + y^{2} = a^{2}$ .

Розв’язання

Розглянемо підпункт а). Система ${y = - ∣ x ∣ y = x^{2} + a$ має розв'язки, якщо $- ∣ x ∣ = x^{2} + a$ .
Оскільки $y \leq 0$ , парабола $y = x^{2} + a$ повинна мати точки з від'ємними ординатами, тобто $a < 0$ .
Розв'язуємо рівняння $x^{2} + ∣ x ∣ + a = 0$ заміною $t = ∣ x ∣$ ( $t \geq 0$ ): $t^{2} + t + a = 0$ . Дискримінант $D = 1 - 4 a$ .

Відповідь:

Кількість розв'язків залежить від $a$ :
якщо $a > 0$ , то розв'язків немає;
якщо $a = 0$ , то один розв'язок $(0, 0)$ ;
якщо $- 1 < a < 0$ , то два розв'язки;
якщо $a \leq - 1$ , то чотири розв'язки (для $a = - 1$ — три).

Завдання 705

Параметр для двох розв'язків системи

Знайти найбільше ціле значення параметра $a$ , при якому система ${y - x = a x^{2} + y^{2} = 1$ має два розв'язки.

Розв’язання

Запишемо рівняння прямої у загальному вигляді: $x - y + a = 0$ .
Відстань $d$ від точки $(0, 0)$ до прямої дорівнює $\frac{∣0 - 0 + a ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{2}$ .
Для двох точок перетину необхідно $d < R$ , тобто $\frac{∣ a ∣}{2} < 1 \Rightarrow ∣ a ∣ < 2$ . Оскільки $2 \approx 1, 414$ , маємо $- 1, 414 < a < 1, 414$ .

Відповідь:

Найбільше ціле значення параметра $a$ , що задовольняє умову, — це $1$ .

Сторінка 141

Завдання 706

Параметр системи рівнянь

Знайти найбільше значення параметра $a$ , при якому система ${x^{2} + y^{2} = 81, (x + 2)^{2} + y^{2} = a^{2}$ має єдиний розв'язок.

Розв’язання

Відстань між центрами $O_{1} (0; 0)$ і $O_{2} (- 2; 0)$ дорівнює $d = 2$ .
Оскільки $R_{1} = 9$ і $R_{2} = a$ , а відстань між центрами менша за радіус першого кола ( $2 < 9$ ), друге коло лежить всередині першого, якщо $a < 9$ .
Для єдиної точки перетину (внутрішнього дотику) має виконуватися умова: $R_{1} - R_{2} = d$ , тобто $9 - a = 2$ .

Відповідь:

Найбільше значення параметра $a$ дорівнює $7$ .

Завдання 707

Розв'язання систем рівнянь

а) ${∣ x + 1∣ + ∣ y - 1∣ = 5, x + 1 = 4 y - 4;$ б) ${y = ∣ - x^{2} + 2 x ∣, x + y = 6.$

Розв’язання

а)
Виразимо $x + 1$ з другого рівняння: $x + 1 = 4 (y - 1)$ . Оскільки $∣ x + 1∣ \geq 0$ , то $4 (y - 1) + ∣ y - 1∣ = 5$ . Позначимо $t = y - 1$ . Тоді $4 t + ∣ t ∣ = 5$ .
Якщо $t \geq 0$ , то $5 t = 5 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow y = 2$ . Підставимо в друге рівняння: $x + 1 = 4 (1) \Rightarrow x = 3$ . Перевірка: $∣3 + 1∣ + ∣2 - 1∣ = 4 + 1 = 5$ (підходить).
Якщо $t < 0$ , то $4 t - t = 5 \Rightarrow 3 t = 5 \Rightarrow t = 5/3$ (не підходить, бо $t < 0$ ).
Отже, єдиний розв'язок: $(3; 2)$ .
б)
Розглянемо випадки для модуля в першому рівнянні: $y = ∣ - (x - 1)^{2} + 1∣$ .
Якщо $- x^{2} + 2 x \geq 0$ (тобто $x \in [0; 2]$ ), то $y = - x^{2} + 2 x$ . Підставимо в друге рівняння: $x + (- x^{2} + 2 x) = 6 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 6 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 24 < 0$ , розв'язків немає.
Якщо $- x^{2} + 2 x < 0$ (тобто $x < 0$ або $x > 2$ ), то $y = x^{2} - 2 x$ . Підставимо в друге рівняння: $x + (x^{2} - 2 x) = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$ .
Корені: $(x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 2$ . Обидва корені підходять до умови $x < 0$ або $x > 2$ .
Знайдемо відповідні $y$ : при $x = 3, y = 9 - 6 = 3$ ; при $x = - 2, y = 4 + 4 = 8$ .

Відповідь:

а) $(3; 2)$ ; б) $(3; 3), (- 2; 8)$ .

Завдання 708

Довідна швидкість і відстань

1) $v_{світла} = 3 \cdot 1 0^{5}$ км/с. Знайти відстань за а) 5 с; б) 1 год; в) 1 рік. 2) $v_{звуку} \approx 343$ м/с. Знайти відстань за а) 5 с; б) 15 с; в) 0,5 хв. 3) Час між блискавкою і громом $Δ t = 10$ с. Знайти відстань.

Розв’язання

Світло ( $v = 300000$ км/с):
а) $S = 300000 \cdot 5 = 1500000$ км.
б) $1$ год $= 3600$ с. $S = 300000 \cdot 3600 = 1080000000$ км.
в) За рік (приблизно $365 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 31536000$ с). $S \approx 9460800000000$ км (астрономічна одиниця $\approx 150$ млн км, світло проходить за рік $\approx 9.46$ трлн км).
Звук ( $v = 343$ м/с):
а) $S = 343 \cdot 5 = 1715$ м.
б) $S = 343 \cdot 15 = 5145$ м.
в) $0, 5$ хв $= 30$ с. $S = 343 \cdot 30 = 10290$ м.
Відстань до блискавки: $S = 343 м / с \cdot 10 с = 3430$ м $= 3, 43$ км.
Безпечна відстань — $15$ км. Оскільки $3, 43 < 15$ , перебувати небезпечно.

Відповідь:

а) $1, 5$ млн км; б) $1, 08$ млрд км; в) $\approx 9, 46$ трлн км. Звук: а) $1, 715$ км; б) $5, 145$ км; в) $10, 29$ км. Відстань до блискавки $3, 43$ км (небезпечно).

Завдання 709

Відповідність функцій і відстаней перетину

Потрібно встановити відповідність між парами функцій (1–3) та відстанню між точками їхнього перетину (А–Д).

Розв’язання

Пару 1: $5 - x = \frac{4}{x}$ . Перетворимо на квадратне рівняння: $5 x - x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Точки перетину: $(1; 4)$ і $(4; 1)$ . Відстань: $(4 - 1)^{2} + (1 - 4)^{2} = 9 + 9 = 18 = 32$ . Це варіант В.
Пару 2: $x = 0, 25 (x + 3)$ . Піднесемо обидві частини до квадрату (враховуючи $x \geq - 3$ ): $x = \frac{1}{16} (x + 3)^{2} \Rightarrow 16 x = x^{2} + 6 x + 9 \Rightarrow x^{2} - 10 x + 9 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 9$ . Точки перетину: $(1; 1)$ і $(9; 3)$ . Відстань: $(9 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = 64 + 4 = 68 = 217$ . Це варіант А.
Пару 3: $x^{2} - 2 x = - x^{2} + 6 x - 6$ . Перенесемо все вліво: $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Точки перетину: $(1; - 1)$ і $(3; 5)$ . Відстань: $(3 - 1)^{2} + (5 - (- 1))^{2} = 4 + 36 = 40 = 210$ .

Відповідь:

1 — В, 2 — А, 3 — Д.

Завдання 710

Сума і різниця дробів

а) $\frac{1}{2 x ^{2} + 5 x - 3} + \frac{1}{2 x ^{2} - 7 x + 3}$ ; б) $\frac{2}{6 a ^{2} - 13 a + 6} + \frac{1}{3 a ^{2} - 11 a + 6}$ .

Розв’язання

Завдання а): $2 x^{2} + 5 x - 3 = (2 x - 1) (x + 3)$ ; $2 x^{2} - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3)$ . Спільний знаменник: $(2 x - 1) (x + 3) (x - 3)$ .
Сума чисельників: $1 \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x + 3) = x - 3 + x + 3 = 2 x$ .
Отже, $\frac{2 x}{( 2 x - 1 ) ( x ^{2} - 9 )}$ .
Завдання б): $6 a^{2} - 13 a + 6 = (3 a - 2) (2 a - 3)$ ; $3 a^{2} - 11 a + 6 = (3 a - 2) (a - 3)$ . Спільний знаменник: $(3 a - 2) (2 a - 3) (a - 3)$ .
Сума чисельників: $2 \cdot (a - 3) + 1 \cdot (2 a - 3) = 2 a - 6 + 2 a - 3 = 4 a - 9$ .
Отже, $\frac{4 a - 9}{( 3 a - 2 ) ( 2 a - 3 ) ( a - 3 )}$ .

Відповідь:

а) $\frac{2 x}{( 2 x - 1 ) ( x ^{2} - 9 )}$ ; б) $\frac{4 a - 9}{( 3 a - 2 ) ( 2 a - 3 ) ( a - 3 )}$ .

Завдання 711

Скорочення дробів

а) $\frac{2 a ^{2} - 5 a + 2}{3 a ^{2} - 3 , 5 a + 1}$ ; б) $\frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} - 2 3 x + 3}$ ; в) $\frac{c ^{2} + 5 c - 10}{c ^{2} - 3 5 c + 10}$ .

Розв’язання

Завдання а): Чисельник: $2 a^{2} - 5 a + 2 = (2 a - 1) (a - 2)$ . Знаменник: $3 a^{2} - \frac{7}{2} a + 1 = \frac{6 a ^{2} - 7 a + 2}{2} = \frac{( 2 a - 1 ) ( 3 a - 2 )}{2}$ .
Дріб стає $\frac{( 2 a - 1 ) ( a - 2 )}{\frac{1}{2} ( 2 a - 1 ) ( 3 a - 2 )} = \frac{2 ( a - 2 )}{3 a - 2}$ .
Завдання б): Чисельник: $x^{2} - 3 = (x - 3) (x + 3)$ . Знаменник: $x^{2} - 23 x + 3 = (3 x)^{2} - 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ ? Ні, це $(x - 3)^{2}$ .
Дріб стає $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{x + 3}{x - 3}$ .
Завдання в): Чисельник: $c^{2} + 5 c - 10$ . Корені рівняння $t^{2} + 5 t - 10 = 0$ : $D = 5 + 40 = 45$ , $D = 35$ . $t = \frac{- 5 \pm 3 5}{2}$ . Корені: $c_{1} = 5, c_{2} = - 25$ . Чисельник: $(c - 5) (c + 25)$ .
Знаменник: $c^{2} - 35 c + 10$ . Корені рівняння $t^{2} - 35 t + 10 = 0$ : $D = 45 - 40 = 5$ , $D = 5$ . $t = \frac{3 5 \pm 5}{2}$ . Корені: $c_{1} = 25, c_{2} = 5$ . Знаменник: $(c - 5) (c - 25)$ .
Дріб стає $\frac{( c - 5 ) ( c + 2 5 )}{( c - 5 ) ( c - 2 5 )} = \frac{c + 2 5}{c - 2 5}$ .

Відповідь:

а) $\frac{2 ( a - 2 )}{3 a - 2}$ ; б) $\frac{x + 3}{x - 3}$ ; в) $\frac{c + 2 5}{c - 2 5}$ .