ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 123–129

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–656 · 67 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 123

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities

Завдання 1

Означення квадратної нерівності

Сформулюй означення квадратної нерівності.

Розв’язання

Ліва частина має вигляд $a x^{2} + b x + c$ , де $a$ — коефіцієнт при $x^{2}$ .
Права частина дорівнює нулю.
Знак нерівності може бути будь-яким: $>$ , $<$ , $\geq$ , $\leq$ .

Відповідь:

Квадратною називають нерівність виду $a x^{2} + b x + c (знак) 0$ , де $a \neq = 0$ .

Завдання 2

Символ об'єднання множин

Яким символом позначають об'єднання двох множин?

Розв’язання

У тексті сказано: «Об'єднання множин прийнято позначати символом $\cup$ ».
Цей символ виглядає як об'єднані півкола або літера U.

Відповідь:

Символ $\cup$ .

Завдання 3

Кількість розв'язків квадратної нерівності

Скільки розв'язків може мати квадратна нерівність?

Розв’язання

Якщо дискримінант $D > 0$ , графік перетинає вісь $x$ у двох точках; нерівність може мати розв'язки (проміжки) або не мати їх взагалі (наприклад, якщо знак «менше нуля» і парабола направлена вгору).
Якщо дискримінант $D < 0$ , графік не перетинає вісь $x$ ; нерівність може мати розв'язки всім дійсним числам або ж не мати їх взагалі.
Якщо дискримінант $D = 0$ , графік дотикається до осі $x$ в одній точці; розв'язком буде проміжок без цієї точки або вся множина дійсних чисел (окрім точки).
Отже, квадратна нерівність може мати: а) всі дійсні числа як розв'язки; б) деякий проміжок або об'єднання проміжків; в) не мати жодного розв'язку.

Відповідь:

Квадратна нерівність може мати три види розв'язків: а) всі дійсні числа; б) деякі дійсні числа (проміжок або об'єднання проміжків); в) не мати жодного розв'язку.

Сторінка 124

Завдання 593

Приклади квадратних нерівностей з різними множинами розв'язків

Навести приклади квадратних нерівностей, які: а) не мають жодного розв'язку; б) мають тільки один розв'язок; в) задовольняють усі дійсні числа.

Розв’язання

Для пункту а) візьмемо квадратне тричлен з $D < 0$ , наприклад $x^{2} + 1$ . Оскільки він завжди додатний, нерівність $x^{2} + 1 < 0$ не має розв'язків.
Для пункту б) візьмемо випадок, коли парабола дотикається до осі $x$ в одній точці (тобто $D = 0$ ). Наприклад, $(x - 1)^{2} \leq 0$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, єдиний розв'язок — це точка дотику $x = 1$ .
Для пункту в) візьмемо випадок, коли парабола з гілками вниз повністю знаходиться нижче осі $x$ (тобто $D < 0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний). Наприклад, $- x^{2} - 1 > 0$ . Це рівносильно $x^{2} + 1 < 0$ , що неможливо. Тому краще взяти випадок з двома коренями та гілками вниз: $- (x - 1) (x + 1) \geq 0$ або просто $- x^{2} + 4 \geq 0$ . Простіший приклад для всіх дійсних чисел — це нерівність типу $- x^{2} - 1 < 0$ , яка виконується завжди, оскільки ліва частина від'ємна.

Відповідь:

а) $x^{2} + 1 < 0$ ; б) $(x - 1)^{2} \leq 0$ ; в) $- x^{2} - 1 < 0$ .

Сторінка 125

Завдання 594

Визначення квадратної нерівності

Яка з наведених нерівностей не є квадратною?
А $- 2 x^{2} - 5 x + 7 \leq 0$ ; Б $3 x^{2} + 6 \leq 0$ ; В $x^{2} + \frac{1}{x} + 3 \geq 0$ ; Г $\frac{x ^{2}}{3} + 4 x + 2 < 0$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: тут є член $- 2 x^{2}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.
Перевіримо варіант Б: тут є член $3 x^{2}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.
Перевіримо варіант В: тут є дріб $\frac{1}{x}$ . Змінна $x$ знаходиться у знаменнику, тому цей вираз не є квадратним рівнянням чи нерівністю (це раціональна).
Перевіримо варіант Г: тут є член $\frac{x ^{2}}{3}$ , змінна не в знаменнику — це квадратна нерівність.

Відповідь:

Завдання 595

Напрям гілок параболи

Визнач напрям гілок графіка функції для рівнянь:
а) $y = 4 x^{2} - 16 x + 5$ ; б) $y = - x^{2} + 4 x + 3$ ; в) $y = 3 x^{2} - 7$ ; г) $y = 7 - 4 x - x^{2}$ ; ґ) $y = 3 x (x - 4)$ ; д) $y = - x (x + 3)$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $4$ . Оскільки $4 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
б) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.
в) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $3$ . Оскільки $3 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
г) Перепишемо рівняння як $y = - x^{2} - 4 x + 7$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.
ґ) Розкриємо дужки: $y = 3 x^{2} - 12 x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $3$ . Оскільки $3 > 0$ , гілки спрямовані вгору.
д) Розкриємо дужки: $y = - x^{2} - 3 x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , гілки спрямовані вниз.

Відповідь:

а) вгору; б) вниз; в) вгору; г) вниз; ґ) вгору; д) вниз.

Завдання 596

Перетин графіка з віссю абсцис

Чи перетинає вісь абсцис ( $y = 0$ ) графік функції для рівнянь:
а) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ; б) $y = - x^{2} + 7 x - 5$ ; в) $y = 3 x^{2} - x$ ; г) $y = 3 x^{2} - x + 3$ ; ґ) $y = 5 x^{2} + 3 x - 1$ ; д) $y = x (7 x - 1)$ ?

Розв’язання

а) Дискримінант $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8$ . Оскільки $D < 0$ , перетину немає.
б) Дискримінант $D = 7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 49 - 20 = 29$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
в) Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 1 - 0 = 1$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
г) Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = - 35$ . Оскільки $D < 0$ , перетину немає.
ґ) Дискримінант $D = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 1) = 9 + 20 = 29$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.
д) Це рівняння $7 x^{2} - x = 0$ . Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 0 = 1$ . Оскільки $D > 0$ , графік перетинає вісь абсцис.

Відповідь:

а) ні; б) так; в) так; г) ні; ґ) так; д) так.

Завдання 597

Множина розв'язків нерівності

Знайти множину розв'язків нерівності $x^{2} - 1 \leq 0$ .
Варіанти відповідей:
А $(- 1; 1)$
Б $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$
В $(- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$
Г $[- 1; 1]$

Розв’язання

Розв'яжемо рівняння $x^{2} - 1 = 0$ . Це різниця квадратів: $(x - 1) (x + 1) = 0$ , звідси корені $x_{1} = - 1$ та $x_{2} = 1$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний), гілки параболи спрямовані вгору. Функція набуває невід'ємних значень ( $\geq 0$ ) за межами коренів, а від'ємні або нульові — між ними.
Оскільки знак нерівності $\leq$ , ми беремо проміжок між коренями разом із самими коренями: $[- 1; 1]$ .

Відповідь:

Завдання 598

Нерівність, що виконується завжди

Яка з нерівностей виконується при всіх дійсних значеннях $x$ ?
А $x^{2} - 5 < 0$
Б $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$
В $x^{2} + x + 7 > 0$
Г $x^{2} - 2 x + 15 < 0$

Розв’язання

Розглянемо варіант А: $D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 45 > 0$ , корені є, нерівність не виконується завжди.
Варіант Б: $(x + 1)^{2} \leq 0$ . Квадрат числа від'ємним бути не може, дорівнює нулю лише при $x = - 1$ . Не виконується для всіх $x$ .
Варіант Г: $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = - 56 < 0$ , але знак нерівності $< 0$ суперечить тому, що функція завжди додатна.
Варіант В: $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = - 27 < 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний). Отже, $y > 0$ завжди.

Відповідь:

Завдання 599

Нерівності без розв'язків

Чому не має розв'язків нерівність (вибери правильне твердження):
а) $3 x^{2} < - 3$ ;
б) $(x - 2)^{2} + 1 \leq 0$ ;
в) $3 x^{2} - x + 1 < 0$ ;
г) $- x^{2} \geq 2$ ;
ґ) $- (1 - x)^{2} > 0$ ;
д) $2 x^{2} < x - 1$ ?

Розв’язання

Варіант а): $3 x^{2}$ завжди $\geq 0$ , тому $3 x^{2} < - 3$ неможливо (додатне число не може бути менше від'ємного).
Варіант б): $(x - 2)^{2} \geq 0$ , отже $(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ . Нерівність $\geq 1 \leq 0$ неможлива.
Варіант в): $D = 1 - 12 < 0$ , парабола вище осі, значення завжди додатні, нерівність $< 0$ не має розв'язків.
Варіант г): $- x^{2} \leq 0$ , тому $- x^{2} \geq 2$ неможливо (від'ємне число не може бути $\geq 2$ ).
Варіант ґ): $(1 - x)^{2} \geq 0$ , отже $- (1 - x)^{2} \leq 0$ . Нерівність $< 0$ має розв'язки (усі $x \neq = 1$ ).
Варіант д): Дискримінант рівняння $2 x^{2} - x + 1 = 0$ від'ємний, функція додатна, але права частина $x - 1$ може бути більшою за ліву (розв'язки є).

Відповідь:

а), б), в), г)

Завдання 600

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = x^{2} + x - 2$ (парабола, гілки вгору, корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $x^{2} + x - 2 < 0$ ;
б) $x^{2} + x - 2 \leq 0$ ;
в) $x^{2} + x - 2 > 0$ ;
г) $x^{2} + x - 2 \geq 0$ .

Розв’язання

Графік функції $y = x^{2} + x - 2$ перетинає вісь абсцис у точках $x_{1} = - 2$ і $x_{2} = 1$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола розташована нижче осі $x$ на проміжку між коренями.
а) Для нерівності $< 0$ беремо частину графіка під віссю $x$ , не включаючи точки перетину: $(- 2; 1)$ .
б) Для нерівності $\leq 0$ беремо проміжок між коренями, включаючи самі точки: $[- 2; 1]$ .
в) Для нерівності $> 0$ беремо частину графіка над віссю $x$ , тобто зовнішні проміжки: $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .
г) Для нерівності $\geq 0$ беремо всі значення, крім тих, де функція дорівнює нулю: $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 1)$ ; б) $[- 2; 1]$ ; в) $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ ; г) $(- \infty; - 2) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 601

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = 4 - x^{2}$ (парабола, гілки вниз, корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $4 - x^{2} < 0$ ;
б) $4 - x^{2} \leq 0$ ;
в) $4 - x^{2} > 0$ ;
г) $4 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

Графік функції перетинає вісь абсцис у точках $x = - 2$ і $x = 2$ . Парабола знаходиться вище осі $x$ на проміжку $(- 2; 2)$ .
а) Нерівність $< 0$ відповідає частині графіка нижче осі $x$ : $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .
б) Нерівність $\leq 0$ включає точки, де функція дорівнює нулю: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
в) Нерівність $> 0$ відповідає частині графіка вище осі $x$ : $(- 2; 2)$ .
г) Нерівність $\geq 0$ включає точки, де функція дорівнює нулю: $[- 2; 2]$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; в) $(- 2; 2)$ ; г) $[- 2; 2]$ .

Завдання 602

Розв'язання нерівностей за графіком

Дано графік функції $y = x^{2} + 2 x + 1$ (парабола, гілки вгору, дотична до осі $x$ у точці $x = - 1$ ). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей:
а) $x^{2} + 2 x + 1 < 0$ ;
б) $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ ;
в) $x^{2} + 2 x + 1 > 0$ ;
г) $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ .

Розв’язання

Функція $y = x^{2} + 2 x + 1$ має єдиний корень $x = - 1$ , і графік лежить вище осі $x$ .
а) Нерівність $< 0$ не має розв'язків, оскільки функція ніколи не від'ємна: $\emptyset$ .
б) Нерівність $\leq 0$ виконується лише в точці дотику графіка до осі: ${- 1}$ .
в) Нерівність $> 0$ виконується для всіх значень, крім точки дотику: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
г) Нерівність $\geq 0$ виконується для всіх дійсних чисел: $R$ .

Відповідь:

а) $\emptyset$ (не має розв'язків); б) ${- 1}$ ; в) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ ; г) $R$ .

Завдання 603

Гра з графіками квадратних функцій

Один учасник малює графік $f (x)$ , другий називає умови ( $> 0$ , $< 0$ тощо), третій заштриховує відповідні частини осі $x$ . Потім ролі міняються.

Розв’язання

Намалюйте графік функції $f (x) = x^{2} - 4$ (гілки вгору, корені $\pm 2$ ).
Запишіть умову «знайти значення $x$ , для яких $f (x) > 0$ ».
Заштрихуйте частини осі $O x$ зовні проміжку між коренями, тобто $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

План гри описано в умові. Зразок відповіді для графіка $y = x^{2} - 4$ та умови $> 0$ : множина розв'язків — $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Сторінка 126

Завдання 604

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $y^{2} - 4 y - 5 < 0$ ; б) $x^{2} + 6 x + 8 \leq 0$ ; в) $z^{2} + 6 z - 7 \geq 0$ ; г) $6 x^{2} - x > 0$ ; ґ) $2 x^{2} + 7 x \geq 0$ ; д) $x^{2} - 9 < 0$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $y^{2} - 4 y - 5 = 0$ : $D = 16 + 20 = 36$ , $y_{1, 2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ , отже $y_{1} = - 1, y_{2} = 5$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок між коренями: $- 1 < y < 5$ .
б) Корені рівняння $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ : $D = 36 - 32 = 4$ , $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2}$ , отже $x_{1} = - 4, x_{2} = - 2$ . Знак «менше або дорівнює», тому проміжок із замкненими кінцями: $[- 4; - 2]$ .
в) Корені рівняння $z^{2} + 6 z - 7 = 0$ : $D = 36 + 28 = 64$ , $z_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , отже $z_{1} = - 7, z_{2} = 1$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ .
г) Корені рівняння $6 x^{2} - x = 0$ : $x (6 x - 1) = 0$ , отже $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1}{6}$ . Знак «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ .
ґ) Корені рівняння $2 x^{2} + 7 x = 0$ : $x (2 x + 7) = 0$ , отже $x_{1} = - \frac{7}{2}, x_{2} = 0$ . Знак «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $[- \frac{7}{2}; 0] \cup [0; + \infty)$ , що спрощується до $[- \frac{7}{2}; + \infty)$ .
д) Корені рівняння $x^{2} - 9 = 0$ : $x_{1} = - 3, x_{2} = 3$ . Знак «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 3)$ .

Відповідь:

а) $y \in (- 1; 5)$ ; б) $x \in [- 4; - 2]$ ; в) $z \in (- \infty; - 7] \cup [1; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 0) \cup (\frac{1}{6}; + \infty)$ ; ґ) $x \in [- 3, 5; + \infty)$ ; д) $x \in (- 3; 3)$ .

Завдання 605

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ ; б) $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ; в) $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ ; г) $x^{2} - 2 x \geq 0$ ; ґ) $3 x^{2} - 5 x < 0$ ; д) $x^{2} - 36 \geq 0$ .

Розв’язання

а) Корені $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ : $(x - 1) (x - 2) = 0$ , $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Нерівність «менше або дорівнює», тому проміжок між коренями: $[1; 2]$ .
б) Корені $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : $(x - 1) (x - 3) = 0$ , $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Нерівність «більше нуля», тому об'єднання проміжків поза коренями: $(- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .
в) Корені $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ : $(x - 5) (x + 3) = 0$ , $x_{1} = - 3, x_{2} = 5$ . Нерівність «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(- 3; 5)$ .
г) Корені $x^{2} - 2 x = 0$ : $x (x - 2) = 0$ , $x_{1} = 0, x_{2} = 2$ . Нерівність «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ .
ґ) Корені $3 x^{2} - 5 x = 0$ : $x (3 x - 5) = 0$ , $x_{1} = 0, x_{2} = \frac{5}{3}$ . Нерівність «менше нуля», тому проміжок між коренями: $(0; \frac{5}{3})$ .
д) Корені $x^{2} - 36 = 0$ : $x_{1} = - 6, x_{2} = 6$ . Нерівність «більше або дорівнює», тому об'єднання проміжків із замкненими кінцями: $(- \infty; - 6] \cup [6; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in [1; 2]$ ; б) $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ ; в) $x \in (- 3; 5)$ ; г) $x \in (- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$ ; ґ) $x \in (0; \frac{5}{3})$ ; д) $x \in (- \infty; - 6] \cup [6; + \infty)$ .

Завдання 606

Розв'язування квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ ; б) $y^{2} - 8 y + 16 < 0$ ; в) $x^{2} + 4 x + 4 \leq 0$ ; г) $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ; ґ) $y^{2} - 4 y + 12 > 0$ ; д) $2 x^{2} - 3 x + 5 < 0$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, але в умові знак «більше нуля», тому розв'язків немає (вираз дорівнює нулю тільки при $x = 3$ ).
б) $y^{2} - 8 y + 16 = (y - 4)^{2}$ . Аналогічно, $(y - 4)^{2} < 0$ неможливо для дійсних чисел, тому розв'язків немає.
в) $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Нерівність $(x + 2)^{2} \leq 0$ виконується тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x = - 2$ .
г) $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ . Нерівність $(x - 1)^{2} \geq 0$ виконується для всіх дійсних $x$ , оскільки квадрат завжди невід'ємний: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
ґ) $y^{2} - 4 y + 12$ . Дискримінант $D = 16 - 48 = - 32 < 0$ , старший коефіцієнт $1 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність виконується для всіх дійсних $y$ : $y \in (- \infty; + \infty)$ .
д) $2 x^{2} - 3 x + 5$ . Дискримінант $D = 9 - 40 = - 31 < 0$ , старший коефіцієнт $2 > 0$ , тому вираз завжди додатний. Нерівність «менше нуля» не має розв'язків.

Відповідь:

а) $\emptyset$ (немає розв'язків); б) $\emptyset$ ; в) $x = - 2$ ; г) $x \in (- \infty; + \infty)$ ; ґ) $y \in (- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Завдання 607

Розв'язання квадратних нерівностей з повним тричленом

а) $x^{2} + 10 x + 25 ⩾ 0$ ;
б) $4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ;
в) $x^{2} - 12 x + 36 < 0$ ;
г) $9 x^{2} + 6 x + 1 ⩽ 0$ ;
ґ) $x^{2} + 2 x + 6 > 0$ ;
д) $x^{2} + x + 7 < 0$ .

Розв’язання

а) Тричлен $x^{2} + 10 x + 25$ розкладається на множники як $(x + 5)^{2}$ . Оскільки будь-яке число в квадраті невід'ємне, то $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ виконується для всіх дійсних $x$ .
б) Вираз $4 x^{2} + 4 x + 1$ є повним квадратом $(2 x + 1)^{2}$ . Він завжди $⩾ 0$ , але в умові потрібно знайти значення, де він строго більше нуля. Це виконується при всіх $x$ , крім кореня рівняння $2 x + 1 = 0$ , тобто $x \neq = - 0, 5$ .
в) Тричлен $x^{2} - 12 x + 36$ дорівнює $(x - 6)^{2}$ . Нерівність $(x - 6)^{2} < 0$ не має розв'язків, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від'ємним.
г) Вираз $9 x^{2} + 6 x + 1$ є повним квадратом $(3 x + 1)^{2}$ . Нерівність $(3 x + 1)^{2} ⩽ 0$ виконується лише в тому випадку, якщо вибір дорівнює нулю. Це стається при $3 x + 1 = 0$ , тобто $x = - \frac{1}{3}$ .
ґ) Дискримінант тричлена $x^{2} + 2 x + 6$ від'ємний ( $D = 4 - 24 = - 20 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому графік параболи розташований повністю над віссю $O x$ . Нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) Дискримінант тричлена $x^{2} + x + 7$ від'ємний ( $D = 1 - 28 = - 27 < 0$ ), а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, тому функція завжди додатна. Нерівність $x^{2} + x + 7 < 0$ не має розв'язків.

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ;
б) $(- \infty; - 0, 5) \cup (- 0, 5; + \infty)$ ;
в) $\emptyset$ (не має розв'язків);
г) ${- \frac{1}{3}}$ ;
ґ) $(- \infty; + \infty)$ ;
д) $\emptyset$ (не має розв'язків).

Завдання 608

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

а) $- 2 x^{2} - 3 x - 1 ⩾ 0$ ;
б) $- x^{2} + 6 x - 8 < 0$ ;
в) $- y^{2} - 4 y + 12 < 0$ ;
г) $3 x - x^{2} ⩾ 0$ ;
ґ) $5 x - 2 x^{2} < 0$ ;
д) $16 - x^{2} ⩾ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $2 x^{2} + 3 x + 1 ⩽ 0$ . Розкладаємо на множники: $(2 x + 1) (x + 1) ⩽ 0$ . Корені рівняння: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 0, 5$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x - 2) (x - 4) > 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $y^{2} + 4 y - 12 > 0$ . Розкладаємо: $(y + 6) (y - 2) > 0$ . Корені: $y_{1} = - 6$ , $y_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
г) Записуємо як $x (3 - x) ⩾ 0$ або розкладаємо $- x^{2} + 3 x = - x (x - 3)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки старший коефіцієнт від'ємний, нерівність виконується між коренями.
ґ) Записуємо як $x (5 - 2 x) < 0$ або розкладаємо $- x (5 - 2 x) = - x (5 - 2 x)$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
д) Перепишемо як $- (x^{2} - 16) ⩾ 0$ , тобто $(x - 4) (x + 4) ⩽ 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Нерівність виконується між коренями.

Відповідь:

а) $[- 1; - 0, 5]$ ;
б) $(- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ;
г) $[0; 3]$ ;
ґ) $(- \infty; 0) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
д) $[- 4; 4]$ .

Завдання 609

Розв'язання нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом та дробовими коефіцієнтами

а) $- x^{2} + 3 x - 2 > 0$ ;
б) $- 0, 5 x^{2} - x + 4 < 0$ ;
в) $- 3 z^{2} + 5 z + 12 ⩾ 0$ ;
г) $5 x - x^{2} < 0$ ;
ґ) $9 x - 2 x^{2} ⩾ 0$ ;
д) $25 - x^{2} ⩽ 0$ .

Розв’язання

а) Помножимо на $- 1$ : $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Розкладаємо: $(x - 1) (x - 2) < 0$ . Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями.
б) Помножимо на $- 1$ : $0, 5 x^{2} + x - 4 > 0$ . Щоб уникнути дробів, помножимо ще на 2: $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ . Розкладаємо: $(x + 4) (x - 2) > 0$ . Корені: $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність виконується за межі коренів.
в) Помножимо на $- 1$ : $3 z^{2} - 5 z - 12 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 12) = 169$ . Корені: $z_{1} = \frac{5 - 13}{6} = - \frac{4}{3}$ , $z_{2} = \frac{5 + 13}{6} = \frac{9}{3} = 3$ . Нерівність виконується між коренями.
г) Записуємо як $x (5 - x) < 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується за межі коренів.
ґ) Записуємо як $x (9 - 2 x) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4, 5$ . Старший коефіцієнт від'ємний, тому нерівність виконується між коренями.
д) Розкладаємо на множники: $(5 - x) (5 + x) ⩽ 0$ або $- (x - 5) (x + 5) ⩽ 0$ , що еквівалентно $(x - 5) (x + 5) ⩾ 0$ . Корені: $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Нерівність виконується за межі коренів.

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ;
б) $(- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$ ;
в) $[- \frac{4}{3}; 3]$ ;
г) $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ ;
ґ) $[- \frac{9}{2}; 0] \cup [4, 5; + \infty)$ — правильніше: $[0; 4, 5]$ ;
д) $(- \infty; - 5] \cup [5; + \infty)$ .

Завдання 610

Розв'язання квадратних нерівностей

а) $x^{2} - 3 x + 1 > 0$ ;
б) $2 x^{2} + x - 2 \leq 0$ ;
в) $2 x^{2} - 3 < 0$ .

Розв’язання

а) Дискримінант $Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{2}$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}; + \infty)$ .
б) Дискримінант $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 17 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 17}{4}$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[\frac{- 1 - 17}{4}; \frac{- 1 + 17}{4}]$ .
в) Дискримінант $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 24 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = \pm 1, 5$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $(- 1, 5; 1, 5)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}; + \infty)$ ;
б) $x \in [\frac{- 1 - 17}{4}; \frac{- 1 + 17}{4}]$ ;
в) $x \in (- 1, 5; 1, 5)$ .

Завдання 611

Розв'язання квадратних нерівностей з від'ємним старшим коефіцієнтом

а) $x^{2} - 4 x - 2 > 0$ ;
б) $3 x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ ;
в) $5 x^{2} - 10 < 0$ .

Розв’язання

а) $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 24$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 24}{2} = 2 \pm 6$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; 2 - 6) \cup (2 + 6; + \infty)$ .
б) $Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 28$ . Корені $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 28}{6} = \frac{1 \pm 7}{3}$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[\frac{1 - 7}{3}; \frac{1 + 7}{3}]$ .
в) $Δ = 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 10) = 200$ . Корені $x_{1, 2} = \pm 2$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $(- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 2 - 6) \cup (2 + 6; + \infty)$ ;
б) $x \in [\frac{1 - 7}{3}; \frac{1 + 7}{3}]$ ;
в) $x \in (- 2; 2)$ .

Завдання 612

Розв'язання нерівностей з дужками та перетворенням

а) $x (x - 3) < - 2$ ;
б) $2 (z^{2} + 5) > 9 z$ ;
в) $13 - (5 - y)^{2} > 3 y$ ;
г) $(x - 3) (x + 5) > 0$ ;
ґ) $(x + 2) (x + 7) < 24$ ;
д) $(2 x - 1) (x + 3) + 8 > 2 (x + 2)$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 3 x < - 2 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 < 0$ . Корені $x_{1, 2} = 1, 2$ . Розв'язок: $(1; 2)$ .
б) $2 z^{2} + 10 > 9 z \Rightarrow 2 z^{2} - 9 z + 10 > 0$ . Корені $z_{1, 2} = 2, 2, 5$ . Розв'язок: $(- \infty; 2) \cup (2, 5; + \infty)$ .
в) $13 - (25 - 10 y + y^{2}) > 3 y \Rightarrow 13 - 25 + 10 y - y^{2} > 3 y \Rightarrow - y^{2} + 7 y - 12 > 0$ . Помножимо на $- 1$ : $y^{2} - 7 y + 12 < 0$ . Корені $y_{1, 2} = 3, 4$ . Розв'язок: $(3; 4)$ .
г) Корені тричлена $x^{2} + 2 x - 15$ це $- 5$ і $3$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$ .
ґ) Розкриємо дужки: $x^{2} + 9 x + 14 < 24 \Rightarrow x^{2} + 9 x - 10 < 0$ . Корені $x_{1, 2} = - 10, 1$ . Розв'язок: $(- 10; 1)$ .
д) Розкриємо дужки: $2 x^{2} + 5 x - 3 + 8 > 2 x + 4 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ . Корені $x_{1, 2} = - 1, - 0, 5$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (1; 2)$ ;
б) $z \in (- \infty; 2) \cup (2, 5; + \infty)$ ;
в) $y \in (3; 4)$ ;
г) $x \in (- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$ ;
ґ) $x \in (- 10; 1)$ ;
д) $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Завдання 613

Розв'язання нерівностей з розкритими дужками

а) $x (2 + x) ⩾ 3$ ;
б) $6 (t^{2} + 1) < 13 t$ ;
в) $5 y - (y - 2)^{2} < - 14$ ;
г) $(x - 2) (x + 3) < 0$ ;
ґ) $(a + 2) (a - 5) ⩽ 18$ ;
д) $(2 - c) (3 - c) ⩾ - 2 (c - 23)$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $2 x + x^{2} ⩾ 3$ . Переносимо $3$ вліво: $x^{2} + 2 x - 3 ⩾ 0$ . Знаходимо корені рівності $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16$ , $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Функція параболою розкривається вгору, тому вона додатна поза коренями.
Пункт б): Розкриваємо дужки: $6 t^{2} + 6 < 13 t$ . Переносимо все вліво: $6 t^{2} - 13 t + 6 < 0$ . Знаходимо корені рівності $6 t^{2} - 13 t + 6 = 0$ : $D = 169 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 49$ , $t_{1} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{1}{2}$ , $t_{2} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{3}{2}$ . Парабола розкривається вгору, тому нерівність виконується між коренями.
Пункт в): Розкриваємо дужки: $5 y - (y^{2} - 4 y + 4) < - 14 \Rightarrow 5 y - y^{2} + 4 y - 4 < - 14$ . Збираємо подібні: $- y^{2} + 9 y + 10 < 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $y^{2} - 9 y - 10 > 0$ . Корені рівності $y^{2} - 9 y - 10 = 0$ : $D = 81 + 40 = 121$ , $y_{1} = \frac{9 - 11}{2} = - 1$ , $y_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ . Нерівність виконується поза коренями.
Пункт г): Це стандартна нерівність виду $(x - x_{1}) (x - x_{2}) < 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 3$ . Оскільки знак «менше нуля», розв'язок знаходимо між коренями.
Пункт ґ): Розкриваємо дужки: $a^{2} - 3 a - 10 ⩽ 18 \Rightarrow a^{2} - 3 a - 28 ⩽ 0$ . Корені рівності $a^{2} - 3 a - 28 = 0$ : $D = 9 + 112 = 121$ , $a_{1} = \frac{3 - 11}{2} = - 4$ , $a_{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7$ . Нерівність виконується між коренями.
Пункт д): Розкриваємо дужки: $(6 - 5 c - 6 c + c^{2}) ⩾ - 2 c + 46 \Rightarrow c^{2} - 11 c + 6 ⩾ - 2 c + 46$ . Переносимо все вліво: $c^{2} - 9 c - 40 ⩾ 0$ . Корені рівності $c^{2} - 9 c - 40 = 0$ : $D = 81 + 160 = 241$ , $c_{1, 2} = \frac{9 \pm 241}{2}$ . Нерівність виконується поза коренями.

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ ;
б) $t \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ;
в) $y \in (- \infty; - 1) \cup (10; + \infty)$ ;
г) $x \in (- 3; 2)$ ;
ґ) $a \in [- 4; 7]$ ;
д) $c \in (- \infty; \frac{9 - 241}{2}] \cup [\frac{9 + 241}{2}; + \infty)$ .

Завдання 614

Розв'язання нерівності з модулем (ЗНО)

Розв'яжи нерівність $(x + 4)^{2} ⩽ 16$ .

Розв’язання

Розкриваємо квадрат: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ . Нерівність набуває вигляду $x^{2} + 8 x + 16 ⩽ 16$ .
Віднімаємо $16$ від обох частин: $x^{2} + 8 x ⩽ 0$ .
Виносимо спільний множник $x$ : $x (x + 8) ⩽ 0$ .
Знаходимо корені рівності $x (x + 8) = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 8$ .
Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок знаходимо між коренями (включно з ними).

Відповідь:

$x \in [- 8; 0]$ . Це варіант Д.

Завдання 615

Розв'язання нерівності з двома множниками (ЗНО)

Розв'яжи нерівність $(x + 3) (x - 2) < 0$ .

Розв’язання

Знаходимо корені рівності $(x + 3) (x - 2) = 0$ : $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$ .
Будуємо схематично знак функції на числовій прямій (парабола розкривається вгору).
Знаходимо проміжок між коренями, де функція знаходиться нижче осі абсцис ( $y < 0$ ).

Відповідь:

$x \in (- 3; 2)$ . Це варіант Б.

Завдання 616

Знаходження знаків функції

y = x^{2} + 3 x

Дано квадратичну функцію $y = x^{2} + 3 x$ . Потрібно визначити, при яких значеннях $x$ ця функція набуває від'ємних значень, а при яких — додатних.

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 3 x = 0$ : $x (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = 0$ та $x_{2} = - 3$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ ( $a > 0$ ), гілки параболи розкриваються вгору.
Функція від'ємна на проміжку між коренями: $- 3 < x < 0$ .
Функція додатна при $x < - 3$ або $x > 0$ .

Відповідь:

Від'ємні значення при $x \in (- 3; 0)$ , додатні — при $x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ .

Завдання 617

Аналіз знаків функцій

y = f (x)

Дано три функції та потрібно визначити, при яких $x$ вони додатні, а при яких від'ємні:
а) $f (x) = 9 - x^{2}$ ;
б) $f (x) = x^{2} + 6 x - 7$ ;
в) $f (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Розв’язання

а) Рівняння $9 - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Оскільки $a = - 1 < 0$ (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.
б) Рівняння $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ . Дискримінант $D = 36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 7) = 64$ , корені: $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ , тобто $x_{1} = - 7, x_{2} = 1$ . Оскільки $a = 1 > 0$ (гілки вгору), функція додатна при $x < - 7$ або $x > 1$ , від'ємна — між коренями.
в) Рівняння $- x^{2} + 2 x + 3 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 4 - 4 \cdot (- 3) = 16$ , корені: $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 4}{2}$ , тобто $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Оскільки вихідна функція має $a = - 1 < 0$ (гілки вниз), функція додатна між коренями, а від'ємна — поза ними.

Відповідь:

а) Додатні при $x \in (- 3; 3)$ , від'ємні при $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ .
б) Додатні при $x \in (- \infty; - 7) \cup (1; + \infty)$ , від'ємні при $x \in (- 7; 1)$ .
в) Додатні при $x \in (- 1; 3)$ , від'ємні при $x \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Завдання 618

Знаходження області визначення функцій з коренем та дробом

Потрібно знайти множину всіх допустимих значень $x$ для функцій:
а) $y = x^{2} - 4$ ;
б) $y = x - x^{2}$ ;
в) $y = x^{2} - 5 x + 4$ ;
г) $y = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .

Розв’язання

а) $x^{2} - 4 \geq 0 \Rightarrow x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \leq - 2$ або $x \geq 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
б) $x - x^{2} \geq 0 \Rightarrow x (1 - x) \geq 0$ . Корені рівняння $x (1 - x) = 0$ це $0$ і $1$ . Оскільки старший коефіцієнт у $- x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями. Відповідь: $[0; 1]$ .
в) $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $(x - 1) (x - 4) = 0$ , тобто $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується поза коренями. Відповідь: $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .
г) У знаменнику має бути строго більше нуля: $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ . Корені рівняння $(x - 1) (x - 2) = 0$ це $1$ і $2$ . Нерівність виконується при $x < 1$ або $x > 2$ . Відповідь: $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; б) $x \in [0; 1]$ ; в) $x \in (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 619

Область визначення функцій

Знайти область визначення (значення змінної, при яких вирази мають сенс) для чотирьох підпунктів: а) $y = x^{2} - 4 x$ ; б) $y = 2 x^{2} - 4$ ; в) $y = x^{2} - 4 x + 3$ ; г) $y = \frac{x + 6}{2 + x - x ^{2}}$ .

Розв’язання

Підпункт а): Умова $x^{2} - 4 x \geq 0$ . Розкладемо на множники: $x (x - 4) \geq 0$ . Корені рівняння $x (x - 4) = 0$ це $x_{1} = 0, x_{2} = 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ .
Підпункт б): Умова $2 x^{2} - 4 \geq 0$ , тобто $x^{2} \geq 2$ . Корені рівняння $x^{2} = 2$ це $\pm 2$ . Нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
Підпункт в): Умова $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 1) (x - 3) \geq 0$ . Корені $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ . Нерівність виконується за межами коренів: $x \in (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ .
Підпункт г): Умова $2 + x - x^{2} \neq = 0$ , тобто $2 + x - x^{2} > 0$ . Розкладемо на множники: $- (x - 2) (x + 1) > 0$ або $(x - 2) (x + 1) < 0$ . Корені рівняння $x^{2} - x - 2 = 0$ це $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ . Нерівність виконується між коренями: $x \in (- 1; 2)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; 0] \cup [4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ ; г) $(- 1; 2)$ .

Сторінка 127

Завдання 620

Розв'язання квадратних нерівностей

Знайти цілі розв'язки для чотирьох підпунктів: а) $x^{2} + 5 x - 6 < 0$ ; б) $x^{2} - x - 6 < 0$ ; в) $3 x^{2} - 8 x \leq 0$ ; г) $3 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо рівняння $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ . Корені: $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 1$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, парабола відкрита вгору. Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 6 < x < 1$ . Цілі числа: ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0}$ .
б) Рівняння $x^{2} - x - 6 = 0$ має корені $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 3$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 2 < x < 3$ . Цілі числа: ${- 1, 0, 1, 2}$ .
в) Рівняння $3 x^{2} - 8 x = 0$ має корені $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{8}{3} \approx 2, 67$ . Нерівність $\leq 0$ виконується між коренями: $0 \leq x \leq \frac{8}{3}$ . Цілі числа: ${0, 1, 2}$ .
г) Рівняння $3 - x^{2} = 0$ має корені $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 3$ . Оскільки $- 3 \approx - 1, 73$ і $3 \approx 1, 73$ , нерівність $\geq 0$ виконується між коренями: $- 3 \leq x \leq 3$ . Цілі числа: ${- 1, 0, 1}$ .

Відповідь:

а) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0}$ ; б) ${- 1, 0, 1, 2}$ ; в) ${0, 1, 2}$ ; г) ${- 1, 0, 1}$ .

Завдання 621

Розв'язання квадратних нерівностей з різними знаками

Знайти цілі розв'язки для чотирьох підпунктів: а) $x^{2} + 2 x - 8 < 0$ ; б) $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$ ; в) $2 x^{2} - 7 x \leq 0$ ; г) $5 - x^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 2$ . Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- 4 < x < 2$ . Цілі числа: ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ .
б) Рівняння $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ має один корень $x = 2$ . Оскільки квадрат завжди невід'ємний, нерівність $\leq 0$ виконується лише при $x = 2$ .
в) Корені рівняння $2 x^{2} - 7 x = 0$ : $x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{7}{2} = 3, 5$ . Нерівність $\leq 0$ виконується між коренями: $0 \leq x \leq 3, 5$ . Цілі числа: ${0, 1, 2, 3}$ .
г) Корені рівняння $5 - x^{2} = 0$ : $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки $- 5 \approx - 2, 24$ і $5 \approx 2, 24$ , нерівність $\geq 0$ виконується між коренями: $- 5 \leq x \leq 5$ . Цілі числа: ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Відповідь:

а) ${- 3, - 2, - 1, 0, 1}$ ; б) ${2}$ ; в) ${0, 1, 2, 3}$ ; г) ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Завдання 622

Задача на розташування прожектора

Сила світла $I (x)$ залежить від відстані $x$ за формулою $I (x) = - x^{2} + 10 x$ . Потрібно знайти цілі значення $x$ , при яких сила світла більша за $21$ кд ( $I (x) > 21$ ).

Розв’язання

Складемо нерівність: $- x^{2} + 10 x > 21$ . Перенесемо все в ліву частину: $- x^{2} + 10 x - 21 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 10 x + 21 < 0$ .
Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ . Дискримінант $D = 100 - 84 = 16$ . Корені: $x_{1} = \frac{10 - 4}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ у початковій нерівності після перетворень був додатним, а знак нерівності $< 0$ , розв'язок знаходимо між коренями: $3 < x < 7$ .
Знайдемо цілі числа в проміжку $(3; 7)$ . Це числа $4, 5, 6$ .

Відповідь:

Прожектор слід розташувати на відстані $4 м$ , $5 м$ або $6 м$ .

Завдання 623

Площа саду з парканом

Прямокутна ділянка під сад прилягає до стіни будинку. Для огородження трьох інших сторін використано 90 м паркану. Познач сторону, що прилягає до стіни, за $x$ . Знайти найбільше значення $x$ і довжину третьої сторони (перпендикулярної до стіни) при цьому значенні $x$ , щоб площа саду була не меншою від $400 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Оскільки парканом огороджені одна сторона $x$ (паралельна стіні) і дві сторони $y$ , маємо рівність $x + 2 y = 90$ . Звідси $y = \frac{90 - x}{2} = 45 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 400$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (45 - 0, 5 x) ⩾ 400$ .
Спростимо нерівність: $45 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 400$ , або $- 0, 5 x^{2} + 45 x - 400 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (не забувай змінити знак нерівності): $x^{2} - 90 x + 800 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені відповідної квадратної рівності $x^{2} - 90 x + 800 = 0$ : $D = (- 90)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 8100 - 3200 = 4900$ . $D = 70$ . Корені: $x_{1} = \frac{90 - 70}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{90 + 70}{2} = 80$ .
Оскільки нерівність має знак «менше або дорівнює», розв'язком є проміжок між коренями: $10 ⩽ x ⩽ 80$ . Найбільше значення $x$ — це $80$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 80$ : $y = 45 - 0, 5 \cdot 80 = 45 - 40 = 5 (м)$ . Перевірка площі: $80 \cdot 5 = 400 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найбільше значення $x = 80 м$ , довжина третьої сторони $5 м$ .

Завдання 624

Площа клумби з парканом

Прямокутна клумба прилягає до стіни. Для огородження трьох інших сторін витрачено 88 м паркану. Познач сторону, що прилягає до стіни, за $x$ . Знайти найменше значення $x$ і довжину третьої сторони (перпендикулярної до стіни) при цьому значенні $x$ , щоб площа клумби була не менше від $576 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо довжину перпендикулярної до стіни сторони за $y$ . Маємо рівність $x + 2 y = 88$ , звідки $y = \frac{88 - x}{2} = 44 - 0, 5 x$ .
Запишемо умову для площі: $S = x \cdot y ⩾ 576$ . Підставимо вираз для $y$ : $x (44 - 0, 5 x) ⩾ 576$ .
Спростимо нерівність: $44 x - 0, 5 x^{2} ⩾ 576$ , або $- 0, 5 x^{2} + 44 x - 576 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 2$ (змінюємо знак нерівності): $x^{2} - 88 x + 1152 ⩽ 0$ .
Знайдемо корені рівності $x^{2} - 88 x + 1152 = 0$ : $D = (- 88)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1152 = 7744 - 4608 = 3136$ . $D = 56$ . Корені: $x_{1} = \frac{88 - 56}{2} = 16$ , $x_{2} = \frac{88 + 56}{2} = 72$ .
Розв'язком нерівності є проміжок $[16; 72]$ . Найменше значення $x$ — це $16$ .
Знайдемо довжину третьої сторони при $x = 16$ : $y = 44 - 0, 5 \cdot 16 = 44 - 8 = 36 (м)$ . Перевірка площі: $16 \cdot 36 = 576 м^{2}$ , що відповідає умові.

Відповідь:

Найменше значення $x = 16 м$ , довжина третьої сторони $36 м$ .

Завдання 625

Розв'язання нерівностей

а) $(3 x - 1) (x + 3) > x (1 + 5 x)$ ;
б) $(x + 4) (2 x - 3) - (5 x - 6) (x - 3) ⩾ 10$ ;
в) $(3 x - 2)^{2} ⩾ 8 (x - 1)^{2} + 17$ ;
г) $\frac{x ^{2} + x}{2} - \frac{5 x + 1}{3} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ .

Розв’язання

а) Розкриємо дужки: $3 x^{2} + 9 x - x - 3 > x + 5 x^{2}$ . Спростимо: $3 x^{2} + 8 x - 3 > 5 x^{2} + x$ . Перенесемо все вліво: $- 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0$ . Помножимо на $- 1$ (змінюємо знак): $2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ . Знайдемо корені $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ : $D = 49 - 24 = 25$ , $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, а знак нерівності «менше», розв'язок між коренями: $0, 5 < x < 3$ .
б) Розкриємо дужки: $(2 x^{2} + 5 x - 12) - (5 x^{2} - 21 x + 18) ⩾ 10$ . Спростимо: $- 3 x^{2} + 16 x - 30 ⩾ 10$ , тобто $- 3 x^{2} + 16 x - 40 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ : $3 x^{2} - 16 x + 40 ⩽ 0$ . Дискримінант $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 256 - 480 < 0$ . Оскільки $a > 0$ і $D < 0$ , парабола знаходиться повністю вище осі $O x$ , тому нерівність $⩽ 0$ не має розв'язків.
в) Розкриємо дужки: $(9 x^{2} - 12 x + 4) ⩾ 8 (x^{2} - 2 x + 1) + 17$ . Спростимо: $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 8 + 17$ , тобто $9 x^{2} - 12 x + 4 ⩾ 8 x^{2} - 16 x + 25$ . Перенесемо все вліво: $x^{2} + 4 x - 21 ⩾ 0$ . Знайдемо корені $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ : $D = 16 + 84 = 100$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ . Оскільки знак «більше або дорівнює», розв'язок: $x ⩽ - 7$ або $x ⩾ 3$ .
г) Знайдемо спільний знаменник (6): $\frac{3 ( x ^{2} + x )}{6} - \frac{2 ( 5 x + 1 )}{6} ⩽ \frac{x - 7}{6}$ . Помножимо на 6: $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2 ⩽ x - 7$ . Спростимо: $3 x^{2} - 7 x - 2 ⩽ x - 7$ , тобто $3 x^{2} - 8 x + 5 ⩽ 0$ . Знайдемо корені $3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ : $D = 64 - 60 = 4$ , $x_{1} = \frac{8 - 2}{6} = 1$ , $x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}$ . Оскільки знак «менше або дорівнює», розв'язок між коренями: $1 ⩽ x ⩽ \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $(0, 5; 3)$ ; б) $\emptyset$ (немає розв'язків); в) $(- \infty; - 7] \cup [3; + \infty)$ ; г) $[1; \frac{5}{3}]$ .

Завдання 626

Розв'язання нерівностей з розкриттям дужок

а) $(x - 2) (x + 2) + x (x + 7) ⩽ 0$ ;
б) $(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$ ;
в) $(x - 5)^{2} + 6 x ⩾ 2 (2 x + 1)^{2} - 29$ ;
г) $\frac{x ^{2} + 2 x}{3} - \frac{3 x + 5}{4} ⩽ \frac{1 - 7 x}{6}$ .

Розв’язання

Пункт а): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 + x^{2} + 7 x ⩽ 0$ . Збираємо подібні: $2 x^{2} + 7 x - 4 ⩽ 0$ . Знаходимо дискримінант рівняння $2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ : $D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 9}{4}$ . Отже, $x_{1} = \frac{2}{4} = 0, 5$ , $x_{2} = \frac{- 16}{4} = - 4$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується між коренями: $[- 4; 0, 5]$ .
Пункт б): Розкриваємо дужки обох частин: $3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 16 x + 12 + 4$ . Переносимо все в ліву частину: $x^{2} + 5 x - 20 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} + 5 x - 20 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot (- 20) = 105$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 105}{2}$ . Відповідь: $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ .
Пункт в): Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 + 6 x ⩾ 2 (4 x^{2} + 4 x + 1) - 29$ . Спростимо праву частину: $8 x^{2} + 8 x + 2 - 29 = 8 x^{2} + 8 x - 27$ . Переносимо в ліву: $- 7 x^{2} - 14 x + 52 ⩾ 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $7 x^{2} + 14 x - 52 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 196 - 4 \cdot 7 \cdot (- 52) = 196 + 1456 = 1652$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 14 \pm 1652}{14} = \frac{- 14 \pm 2 413}{14} = \frac{- 7 \pm 413}{7}$ . Відповідь: $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ .
Пункт г): Приводимо до спільного знаменника 12: $\frac{4 ( x ^{2} + 2 x ) - 3 ( 3 x + 5 )}{12} ⩽ \frac{2 ( 1 - 7 x )}{12}$ . Спрощуємо чисельник лівої частини: $4 x^{2} + 8 x - 9 x - 15 = 4 x^{2} - x - 15$ . Нерівність стає: $\frac{4 x ^{2} - x - 15}{12} ⩽ \frac{2 - 14 x}{12}$ . Помножимо на 12: $4 x^{2} - x - 15 ⩽ 2 - 14 x$ . Переносимо все в ліву: $4 x^{2} + 13 x - 17 ⩽ 0$ . Дискримінант: $D = 169 - 4 \cdot 4 \cdot (- 17) = 169 + 272 = 441$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 21}{8}$ . $x_{1} = \frac{8}{8} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 34}{8} = - 4, 25$ . Відповідь: $[- 4, 25; 1]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 5]$ ; б) $(\frac{- 5 - 105}{2}; \frac{- 5 + 105}{2})$ ; в) $[\frac{- 7 - 413}{7}; \frac{- 7 + 413}{7}]$ ; г) $[- 4, 25; 1]$ .

Завдання 627

Розв'язання нерівності з спільним множником

$(x + 4) (x - 8) > 3 (x - 8)$ .

Розв’язання

Переносимо праву частину в ліву: $(x + 4) (x - 8) - 3 (x - 8) > 0$ .
Розкриваємо дужки: $x^{2} - 8 x + 4 x - 32 - 3 x + 24 > 0$ .
Збираємо подібні доданки: $x^{2} - 7 x - 8 > 0$ .
Знаходимо корені рівняння $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ : $D = 49 + 32 = 81$ , $x_{1, 2} = \frac{7 \pm 9}{2}$ . Корені: $x_{1} = 8$ , $x_{2} = - 1$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a > 0$ ), нерівність виконується поза коренями (знаки протилежні).

Відповідь:

$(- \infty; - 1) \cup (8; + \infty)$ . Це варіант А.

Завдання 628

Порівняння функцій через нерівність

При яких значеннях $x$ виконується нерівність $2 x + 2 > y$ , де $y = x^{2} - 3 x - 4$ (пункт а) та $y = 4 x^{2} + 9 x - 13$ (пункт б)?

Розв’язання

Пункт а): Складаємо нерівність: $2 x + 2 > x^{2} - 3 x - 4$ . Переносимо все в ліву частину: $0 > x^{2} - 5 x - 6$ , або $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ : $(x - 6) (x + 1) = 0$ , отже $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 1$ . Оскільки знак «менше», розв'язок між коренями: $(- 1; 6)$ .
Пункт б): Складаємо нерівність: $2 x + 2 > 4 x^{2} + 9 x - 13$ . Переносимо все в ліву частину: $0 > 4 x^{2} + 7 x - 15$ , або $4 x^{2} + 7 x - 15 < 0$ . Знаходимо корені рівняння $4 x^{2} + 7 x - 15 = 0$ : $D = 49 - 4 \cdot 4 \cdot (- 15) = 49 + 240 = 289$ . $D = 17$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 17}{8}$ . $x_{1} = \frac{10}{8} = 1, 25$ , $x_{2} = \frac{- 24}{8} = - 3$ . Розв'язок між коренями: $(- 3; 1, 25)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 1; 6)$ ; б) $x \in (- 3; 1, 25)$ .

Завдання 629

Порівняння квадратичних функцій

Знайти $x$ , при яких $3 x^{2} + 5 x - 1 < 4 x^{2} + 9 x - 13$ .

Розв’язання

Перенесемо всі доданки вліво: $(3 x^{2} + 5 x - 1) - (4 x^{2} + 9 x - 13) < 0$ .
Спростимо вираз: $- x^{2} - 4 x + 12 < 0$ .
Помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $x^{2} + 4 x - 12 > 0$ .
Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ : $D = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 64$ , $x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8}{2}$ , отже $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 2$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, розв'язок знаходимо за зовнішніми проміжками: $x < - 6$ або $x > 2$ .

Відповідь:

$(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$

Завдання 630

Область визначення функції з коренем і дрібом

Знайти область визначення функції $y = \frac{8 + 7 x - x ^{2}}{x - 2}$ .

Розв’язання

Запишемо умови: $8 + 7 x - x^{2} \geq 0$ та $x - 2 \neq = 0$ .
Розв'яжемо нерівність $- x^{2} + 7 x + 8 \geq 0$ : корені рівняння $- x^{2} + 7 x + 8 = 0$ ( $D = 49 + 32 = 81$ , $x = \frac{- 7 \pm 9}{- 2}$ ) — $x_{1} = - 1, x_{2} = 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями: $- 1 \leq x \leq 8$ .
Врахуємо обмеження знаменника: $x \neq = 2$ .
Об'єднаємо умови: $x \in [- 1; 2) \cup (2; 8]$ .

Відповідь:

$[- 1; 2) \cup (2; 8]$

Завдання 631

Область визначення функції з модулем і коренем

Знайти область визначення функції $y = \frac{3 - 5 x - 2 x ^{2}}{x + 1}$ .

Розв’язання

Запишемо умови: $- 2 x^{2} - 5 x + 3 \geq 0$ та $x \neq = - 1$ .
Розв'яжемо нерівність $- 2 x^{2} - 5 x + 3 \geq 0$ : корені рівняння $- 2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ( $D = 25 + 24 = 49$ , $x = \frac{5 \pm 7}{- 4}$ ) — $x_{1} = - 3, x_{2} = 0, 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний, нерівність виконується між коренями: $- 3 \leq x \leq 0, 5$ .
Врахуємо обмеження знаменника: $x \neq = - 1$ .
Об'єднаємо умови: $x \in [- 3; - 1) \cup (- 1; 0, 5]$ .

Відповідь:

$[- 3; - 1) \cup (- 1; 0, 5]$

Сторінка 128

Завдання 632

Розв'язання нерівностей з раціональними виразами

а) $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 8}{x ^{2} + 2} ⩽ 0$ ;
б) $\frac{2 x ^{2} - x - 3}{4 x ^{2} + 1} ⩾ 0$ ;
в) $\frac{3 + ∣ x ∣}{3 x ^{2} - 2 x - 16} > 0$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x^{2} + 2$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до розв'язання $3 x^{2} + 5 x - 8 ⩽ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (- 8) = 109$ , $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 109}{6}$ . Оскільки знак $⩽$ , розв'язок між коренями.
б) Знаменник $4 x^{2} + 1$ завжди додатний ( $> 0$ ), тому нерівність зводиться до $2 x^{2} - x - 3 ⩾ 0$ . Корені рівняння $2 x^{2} - x - 3 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 1, 5$ . Розв'язок: $x ⩽ - 1$ або $x ⩾ 1, 5$ .
в) Чисельник $3 + ∣ x ∣$ завжди додатний ( $> 0$ ). Нерівність зводиться до знаменника $3 x^{2} - 2 x - 16 > 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} - 2 x - 16 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 16) = 200$ , корені $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 50}{3} = \frac{1 \pm 5 2}{3}$ . Розв'язок: $x < x_{1}$ або $x > x_{2}$ .

Відповідь:

а) $[\frac{- 5 - 109}{6}; \frac{- 5 + 109}{6}]$ ;
б) $(- \infty; - 1] \cup [1, 5; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; \frac{1 - 5 2}{3}) \cup (\frac{1 + 5 2}{3}; + \infty)$ .

Завдання 633

Розв'язання нерівностей з раціональними виразами

а) $\frac{5 x ^{2} - 9 x - 2}{5 + x ^{2}} > 0$ ;
б) $\frac{3 x ^{2} - x - 4}{3 x ^{2} + 5} ⩽ 0$ ;
в) $\frac{∣ x ∣ + 1}{1 - x - 2 x ^{2}} < 0$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x^{2} + 5$ завжди додатний. Нерівність зводиться до $5 x^{2} - 9 x - 2 > 0$ . Корені рівняння $5 x^{2} - 9 x - 2 = 0$ : $D = 81 - 4 \cdot 5 \cdot (- 2) = 121$ , корені $x_{1} = - 0, 2, x_{2} = 2$ . Розв'язок: $x < - 0, 2$ або $x > 2$ .
б) Знаменник $3 x^{2} + 5$ завжди додатний. Нерівність зводиться до $3 x^{2} - x - 4 ⩽ 0$ . Корені рівняння $3 x^{2} - x - 4 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 49$ , корені $x_{1} = - \frac{8}{6} = - \frac{4}{3}, x_{2} = \frac{5}{6}$ . Розв'язок: $[- \frac{4}{3}; \frac{5}{6}]$ .
в) Чисельник $∣ x ∣ + 1$ завжди додатний. Нерівність зводиться до знаменника $1 - x - 2 x^{2} < 0$ , або $- 2 x^{2} - x + 1 < 0$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знак: $2 x^{2} + x - 1 > 0$ . Корені рівняння $2 x^{2} + x - 1 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 0, 5$ . Розв'язок: $x < - 1$ або $x > 0, 5$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 2) \cup (2; + \infty)$ ;
б) $[- \frac{4}{3}; \frac{5}{6}]$ ;
в) $(- \infty; - 1) \cup (0, 5; + \infty)$ .

Завдання 634

Розв'язання систем нерівностей

а) ${x^{2} - 5 x + 6 ⩾ 0, 2 x + 10 > 3;$
б) ${x^{2} - 4 x < 0, x^{2} - x - 6 ⩾ 0;$
в) ${4 x^{2} - 1 > 0, 2 x^{2} - 5 x + 3 < 0.$

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу: $(x - 2) (x - 3) ⩾ 0 \Rightarrow x ⩽ 2$ або $x ⩾ 3$ . Другу: $2 x > - 7 \Rightarrow x > - 3, 5$ . Перетин: $(- 3, 5; 2] \cup [3; + \infty)$ .
б) Перша: $x (x - 4) < 0 \Rightarrow 0 < x < 4$ . Друга: $(x - 3) (x + 2) ⩾ 0 \Rightarrow x ⩽ - 2$ або $x ⩾ 3$ . Перетин: $[3; 4)$ .
в) Перша: $(2 x - 1) (2 x + 1) > 0 \Rightarrow x < - 0, 5$ або $x > 0, 5$ . Друга: $(2 x - 3) (x - 1) < 0 \Rightarrow 1, 5 > x > 1$ . Перетин: $(1; 1, 5)$ .

Відповідь:

а) $(- 3, 5; 2] \cup [3; + \infty)$ ;
б) $[3; 4)$ ;
в) $(1; 1, 5)$ .

Завдання 635

Розв'язування системи нерівностей

а) ${x^{2} + 4 x - 12 \leq 0, 4 x - 9 > 6 x;$
б) ${x^{2} - 3 > 2 x, x^{2} + 28 \geq 11 x;$
в) ${3 x^{2} + 1 \geq 4 x, 3 x^{2} + 2 \leq 5 x .$

Розв’язання

а) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} + 4 x - 12 \leq 0$ . Корені рівняння $x_{1} = - 6, x_{2} = 2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $[- 6; 2]$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $4 x - 9 > 6 x \Rightarrow - 2 x > 9 \Rightarrow x < - 4, 5$ . Інтервал: $(- \infty; - 4, 5)$ .
Знайдемо перетин інтервалів: $[- 6; 2] \cap (- \infty; - 4, 5) = [- 6; - 4, 5)$ .
б) Розв'яжемо першу нерівність: $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ . Корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Розв'язок: $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x^{2} - 11 x + 28 \geq 0$ . Корені $x_{1} = 4, x_{2} = 7$ . Розв'язок: $(- \infty; 4] \cup [7; + \infty)$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)) \cap ((- \infty; 4] \cup [7; + \infty)) = (- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ .
в) Розв'яжемо першу нерівність: $3 x^{2} - 4 x + 1 \geq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{1}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $(- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $3 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ . Корені $x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = 1$ . Розв'язок: $[\frac{2}{3}; 1]$ .
Знайдемо перетин: $((- \infty; \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)) \cap [\frac{2}{3}; 1] = {1}$ .

Відповідь:

а) $[- 6; - 4, 5)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup [7; + \infty)$ ; в) ${1}$ .

Завдання 636

Знаходження цілих розв'язків системи нерівностей

а) ${x^{2} - 2 x - 15 \leq 0, x^{2} - 7 x < 0;$
б) ${x^{2} + 4 x - 12 < 0, x^{2} + 5 x + 4 > 0;$
в) ${x^{2} + 2 x - 8 \leq 0, x^{2} - 4 \geq 0.$

Розв’язання

а) Перша нерівність: $x^{2} - 2 x - 15 \leq 0 \Rightarrow (x - 5) (x + 3) \leq 0$ , розв'язок $[- 3; 5]$ . Друга: $x (x - 7) < 0$ , розв'язок $(0; 7)$ . Перетин: $(0; 5]$ . Цілі числа: $1, 2, 3, 4, 5$ .
б) Перша нерівність: $x^{2} + 4 x - 12 < 0 \Rightarrow (x + 6) (x - 2) < 0$ , розв'язок $(- 6; 2)$ . Друга: $(x + 1) (x + 4) > 0$ , розв'язок $(- \infty; - 4) \cup (- 1; + \infty)$ . Перетин: $(- 6; - 4) \cup (- 1; 2)$ . Цілі числа: $- 5, - 3, - 2, 0, 1$ .
в) Перша нерівність: $x^{2} + 2 x - 8 \leq 0 \Rightarrow (x + 4) (x - 2) \leq 0$ , розв'язок $[- 4; 2]$ . Друга: $(x - 2) (x + 2) \geq 0$ , розв'язок $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ . Перетин: ${- 2, 2}$ .

Відповідь:

а) $1, 2, 3, 4, 5$ ; б) $- 5, - 3, - 2, 0, 1$ ; в) $- 2, 2$ .

Завдання 637

Знаходження найменшого цілого розв'язку системи нерівностей

а) ${x^{2} - 3 x - 10 < 0, x^{2} + 5 x \leq 0;$
б) ${x^{2} - 6 x - 7 \leq 0, x^{2} - 4 x + 3 \geq 0;$
в) ${x^{2} + 4 x - 5 \geq 0, x^{2} - 25 \leq 0.$

Розв’язання

а) Перша: $(x - 5) (x + 2) < 0 \Rightarrow (- 2; 5)$ . Друга: $x (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 0]$ . Перетин: $(- 2; 0]$ . Найменше ціле число в цьому проміжку відсутнє, оскільки нижня межа $- 2$ не включена. Але якщо шукати найменше ціле взагалі для системи? Ні, умова "найменший цілий розв'язок" означає мінімальне значення з усіх цілих чисел, що задовольняють систему. У проміжку $(- 2; 0]$ є числа $- 1, 0$ . Найменше — $- 1$ .
б) Перша: $(x + 1) (x - 7) \leq 0 \Rightarrow [- 1; 7]$ . Друга: $(x - 3) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ . Перетин: $[- 1; 1] \cup [3; 7]$ . Цілі числа: $- 1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7$ . Найменше — $- 1$ .
в) Перша: $(x + 5) (x - 1) \geq 0 \Rightarrow (- \infty; - 5] \cup [1; + \infty)$ . Друга: $(x - 5) (x + 5) \leq 0 \Rightarrow [- 5; 5]$ . Перетин: ${- 5} \cup [1; 5]$ . Цілі числа: $- 5, 1, 2, 3, 4, 5$ . Найменше — $- 5$ .

Відповідь:

а) $- 1$ ; б) $- 1$ ; в) $- 5$ .

Завдання 638

Подвійна нерівність з квадратом змінної

а) $0 < x^{2} - 5 x < 6$ ; б) $x < 2 x + 3 < x^{2}$ .

Розв’язання

а) Перетворимо $0 < x^{2} - 5 x < 6$ на систему: ${x^{2} - 5 x > 0 x^{2} - 5 x < 6$ . Розв'язуємо першу нерівність: $x (x - 5) > 0$ , отже $x \in (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ . Другу нерівність переписуємо як $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ , розв'язок якого: $(x + 1) (x - 6) < 0$ , тобто $x \in (- 1; 6)$ . Знаходимо перетин цих проміжків: $(- 1; 0) \cup (5; 6)$ .
б) Перетворимо $x < 2 x + 3 < x^{2}$ на систему: ${x < 2 x + 3 2 x + 3 < x^{2}$ . Розв'язуємо першу нерівність: $- x < 3 \Rightarrow x > - 3$ . Другу нерівність переписуємо як $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ , корені рівняння $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ дорівнюють $- 1$ та $3$ . Розв'язок: $x \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ . Перетин проміжків: $(- 3; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in (- 1; 0) \cup (5; 6)$ ; б) $x \in (- 3; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Завдання 639

Подвійна нерівність з лінійними та квадратичними виразами

а) $1 < x^{2} + 2 < 3 x$ ; б) $3 < x^{2} - 2 x + 3 < x^{2}$ .

Розв’язання

а) Перетворимо $1 < x^{2} + 2 < 3 x$ на систему: ${x^{2} + 2 > 1 x^{2} + 2 < 3 x$ . Спростимо першу нерівність до $x^{2} + 1 > 0$ , що виконується для всіх дійсних чисел ( $x \in R$ ). Другу нерівність переписуємо як $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ , корені рівняння $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ дорівнюють $1$ та $2$ . Розв'язок: $x \in (1; 2)$ . Оскільки перша нерівність завжди вірна, остаточний розв'язок — $(1; 2)$ .
б) Перетворимо $3 < x^{2} - 2 x + 3 < x^{2}$ на систему: ${x^{2} - 2 x + 3 > 3 x^{2} - 2 x + 3 < x^{2}$ . Спростимо першу нерівність до $- 2 x > 0 \Rightarrow x < 0$ . Другу нерівність спростимо, віднявши $x^{2}$ від обох частин: $- 2 x + 3 < 0 \Rightarrow - 2 x < - 3 \Rightarrow x > 1, 5$ . Знаходимо перетин проміжків $x < 0$ та $x > 1, 5$ , який порожній.

Відповідь:

а) $x \in (1; 2)$ ; б) розв'язків немає.

Завдання 640

Область визначення функції з коренями та дробом

а) $y = x^{2} + 3 x - 18 + 49 - x^{2}$ ; б) $y = \frac{3 x}{x ^{2} - 3 x - 4} - 7 - x$ .

Розв’язання

а) Умова існування: ${x^{2} + 3 x - 18 \geq 0 49 - x^{2} \geq 0$ . Розв'язуємо першу нерівність: $(x + 6) (x - 3) \geq 0$ , корені $- 6$ та $3$ , розв'язок $x \in (- \infty; - 6] \cup [3; + \infty)$ . Другу нерівність переписуємо як $x^{2} \leq 49$ , корені $\pm 7$ , розв'язок $x \in [- 7; 7]$ . Знаходимо перетин: $[- 7; - 6] \cup [3; 7]$ .
б) Умова існування: ${x^{2} - 3 x - 4 > 0 7 - x \geq 0$ (знаменник під коренем має бути додатним). Першу нерівність розв'язуємо: $(x - 4) (x + 1) > 0$ , розв'язок $x \in (- \infty; - 1) \cup (4; + \infty)$ . Другу нерівність розв'язуємо: $x \leq 7$ . Знаходимо перетин: $(- \infty; - 1) \cup (4; 7]$ .

Відповідь:

а) $D = [- 7; - 6] \cup [3; 7]$ ; б) $D = (- \infty; - 1) \cup (4; 7]$ .

Завдання 641

Область визначення функції з коренями

Знайти область визначення функцій: а) $y = x^{2} - 5 x + 4 - 6 x - x^{2}$ ; б) $y = \frac{2 x}{x ^{2} + 7 x + 6} + x + 10$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Розв'яжемо $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ . Корені рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $x_{1} = 1, x_{2} = 4$ . Нерівність виконується при $x \leq 1$ або $x \geq 4$ .
Розв'яжемо $6 x - x^{2} \geq 0$ , тобто $x (6 - x) \geq 0$ . Корені: $0, 6$ . Нерівність виконується при $0 \leq x \leq 6$ .
Знайдемо перетин множин: спільна частина відрізків $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ і $[0; 6]$ — це два відрізки $[0; 1]$ та $[4; 6]$ .
Для пункту б):
Розв'яжемо $x^{2} + 7 x + 6 > 0$ . Корені: $- 1, - 6$ . Нерівність виконується при $x < - 6$ або $x > - 1$ .
Розв'яжемо $x + 10 \geq 0$ , отже $x \geq - 10$ .
Знайдемо перетин: спільна частина $(- \infty; - 6) \cup (- 1; + \infty)$ і $[- 10; + \infty)$ — це два відрізки $[- 10; - 6)$ та $(- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \in [0; 1] \cup [4; 6]$ ; б) $x \in [- 10; - 6) \cup (- 1; + \infty)$ .

Завдання 642

Нерівність з модулем

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 \leq 0$ ; б) $5 x^{2} + ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 4 t - 5 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 4 t - 5 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 5$ . Нерівність виконується при $- 1 \leq t \leq 5$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $0 \leq t \leq 5$ .
Повертаємося до $x$ : $0 \leq ∣ x ∣ \leq 5$ , що означає $- 5 \leq x \leq 5$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $5 t^{2} + t - 4 > 0$ . Корені рівняння $5 t^{2} + t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 0, 8$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 0, 8$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 0, 8$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 0, 8$ , що означає $x < - 0, 8$ або $x > 0, 8$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 5; 5]$ ; б) $x \in (- \infty; - 0, 8) \cup (0, 8; + \infty)$ .

Завдання 643

Нерівність з модулем (продовження)

Розв'язати нерівності: а) $x^{2} - 6∣ x ∣ + 8 \leq 0$ ; б) $3 x^{2} - ∣ x ∣ - 4 > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ . Корені рівняння $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ : $t_{1} = 2, t_{2} = 4$ . Нерівність виконується при $2 \leq t \leq 4$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣$ , маємо $2 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ . Це означає дві частини: $- 4 \leq x \leq - 2$ або $2 \leq x \leq 4$ .
Для пункту б):
Замінюємо $∣ x ∣ = t$ . Отримуємо $3 t^{2} - t - 4 > 0$ . Корені рівняння $3 t^{2} - t - 4 = 0$ : $t_{1} = - 1, t_{2} = 4/3$ . Нерівність виконується при $t < - 1$ або $t > 4/3$ .
Оскільки $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , беремо лише частину $t > 4/3$ .
Повертаємося до $x$ : $∣ x ∣ > 4/3$ , що означає $x < - 4/3$ або $x > 4/3$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 4; - 2] \cup [2; 4]$ ; б) $x \in (- \infty; - 4/3) \cup (4/3; + \infty)$ .

Завдання 644

Нерівність методом інтервалів

а) $(x - 2) (x + 1) (x + 7) ⩾ 0$ ;
б) $(x - 6) (x - 8) (x + 10) < 0$ ;
в) $(x - 2) (x + 3)^{2} < 0$ ;
г) $(x + 5) (x - 1)^{2} (x - 7) ⩾ 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = - 1$ , $x_{3} = 2$ . При великих $x$ вираз додатний. Знаки змінюються при кожному корені (ступені 1). Схема знаків: $+ \to - \to +$ . Відповідно до умови $⩾ 0$ , беремо інтервали, де знак плюс, і самі корені.
б) Корені: $x_{1} = - 10$ , $x_{2} = 6$ , $x_{3} = 8$ . При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+ \to - \to +$ . Умова $< 0$ відповідає проміжку між коренями, де знак мінус.
в) Корені: $x_{1} = - 3$ (ступінь 2), $x_{2} = 2$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Знак не змінюється при $- 3$ , змінюється при $2$ . Схема знаків: $+ \to + \to -$ . Умова $< 0$ виконується тільки в інтервалі праворуч від кореня $2$ .
г) Корені: $x_{1} = - 5$ (ступінь 1), $x_{2} = 1$ (ступінь 2), $x_{3} = 7$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+ \to + \to - \to +$ . Умова $⩾ 0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, включаючи корені з парним ступенем ( $x = 1$ ).

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 7] \cup [- 1; 2]$ ;
б) $x \in (- 10; 6)$ ;
в) $x \in (2; + \infty)$ ;
г) $x \in (- \infty; - 5] \cup [1; 7]$ .

Завдання 645

Нерівність методом інтервалів

а) $(x + 6) (x + 2) (x - 5) ⩾ 0$ ;
б) $(x - 8) (x + 3) (x + 9) < 0$ ;
в) $(x + 3) (x - 1)^{2} > 0$ ;
г) $(x + 4) (x + 2)^{2} (x - 3) ⩾ 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $x_{1} = - 6$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 5$ . При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+ \to - \to +$ . Умова $⩾ 0$ відповідає інтервалам з плюсом і кореням.
б) Корені: $x_{1} = - 9$ , $x_{2} = - 3$ , $x_{3} = 8$ . При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+ \to - \to +$ . Умова $< 0$ відповідає проміжку між коренями, де знак мінус.
в) Корені: $x_{1} = 1$ (ступінь 2), $x_{2} = - 3$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Знак не змінюється при $1$ , змінюється при $- 3$ . Схема знаків: $+ \to + \to -$ . Умова $> 0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, але корінь $x = 1$ виключаємо (не дорівнює).
г) Корені: $x_{1} = - 4$ (ступінь 1), $x_{2} = - 2$ (ступінь 2), $x_{3} = 3$ (ступінь 1). При великих $x$ вираз додатний. Схема знаків: $+ \to + \to - \to +$ . Умова $⩾ 0$ виконується в інтервалах, де знак плюс, включаючи корені з парним ступенем ( $x = - 2$ ).

Відповідь:

а) $x \in [- 6; - 2] \cup [5; + \infty)$ ;
б) $x \in (- 9; - 3)$ ;
в) $x \in (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$ ;
г) $x \in (- \infty; - 4] \cup [- 2; 3)$ .

Завдання 646

Нерівність без розв'язків

Знайти значення параметра $b$ , при яких нерівності не мають розв'язків:
а) $x^{2} + 2 b x + 1 < 0$ ;
б) $b x^{2} + 6 b x + 1 ⩽ 0$ ;
в) $(b - 1) x^{2} - 2 b x + 3 b - 3 > 0$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , парабола розкривається вгору. Щоб $x^{2} + 2 b x + 1 < 0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю над віссю $O x$ . Це можливо лише якщо дискримінант від'ємний: $D = (2 b)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 b^{2} - 4 < 0$ .
б) Нерівність $⩽ 0$ означає, що графік має бути нижче або на осі $O x$ . Якщо коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $b > 0$ ), парабола розкривається вгору і не може бути повністю нижче осі. Якщо $b < 0$ , парабола розкривається вниз, але тоді вона завжди має точки нижче осі (має розв'язки). Якщо $b = 0$ , отримуємо лінійну функцію $6 x + 1 ⩽ 0$ , яка має розв'язки. Отже, для існування нерівності без розв'язків потрібна специфічна ситуація з коефіцієнтом при $x^{2}$ . Але якщо $b = 0$ , це лінійна функція, яка завжди перетинає вісь. Якщо $b \neq = 0$ , то парабола. Якщо $b < 0$ ( $a < 0$ ), парабола розкривається вниз і має максимум. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (що суперечить $a < 0$ ). Якщо $b > 0$ ( $a > 0$ ), парабола розкривається вгору і має мінімум. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб весь графік був вище осі (мінімум > 0).
в) Нерівність $> 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ — $(b - 1)$ . Якщо $b = 1$ , це лінійна функція $- 2 x + 0 > 0$ , яка має розв'язки. Якщо $b \neq = 1$ , це парабола. Щоб $y > 0$ не мало розв'язків, графік має бути повністю під віссю $O x$ . Це можливо лише якщо парабола розкривається вниз ( $b - 1 < 0$ ) і дискримінант від'ємний (не перетинає вісь).

Відповідь:

а) $- 1 < b < 1$ ;
б) $b > - \frac{1}{6}$ (при умові, що парабола розкривається вгору і знаходиться вище осі, але тут треба перевірити межі. Якщо $b > 0$ , то мінімум має бути додатним. $D < 0 \Rightarrow 36 b^{2} - 4 < 0 \Rightarrow b^{2} < 1/9 \Rightarrow - 1/3 < b < 1/3$ . Перетин з умовою $b > 0$ : $0 < b < 1/3$ . Якщо $b = 0$ , то $6 x + 1 \leq 0$ має розв'язки. Отже, $b \in (0; 1/3)$ ).
Уточнення для б): Якщо $b > 0$ , парабола вгору. Щоб $y \leq 0$ не мало розв'язків, треба щоб мінімум був додатним ( $D < 0$ ). $D = 36 b^{2} - 4 < 0 \Rightarrow b^{2} < 1/9 \Rightarrow ∣ b ∣ < 1/3$ . Оскільки $b > 0$ , то $0 < b < 1/3$ .
в) $b < 1$ і $D < 0$ . $D = (- 2 b)^{2} - 4 (b - 1) (3 b - 3) = 4 b^{2} - 4 (3 b^{2} - 3 b - 3 b + 3) = 4 b^{2} - 12 b^{2} + 24 b - 12 = - 8 b^{2} + 24 b - 12$ . $- 8 b^{2} + 24 b - 12 < 0 \Rightarrow 2 b^{2} - 6 b + 3 > 0$ . Корені $D = 0$ : $b = \frac{6 \pm 36 - 24}{4} = \frac{6 \pm 12}{4} = \frac{3 \pm 3}{2}$ . Оскільки парабола відкривається вниз ( $b < 1$ ), то $D < 0$ виконується при $b < \frac{3 - 3}{2}$ або $b > \frac{3 + 3}{2}$ . Але ми маємо умову $b < 1$ . $\frac{3 + 3}{2} \approx 2.36$ , $\frac{3 - 3}{2} \approx 0.63$ . Отже, при $b < 1$ умова $D < 0$ виконується для $b < \frac{3 - 3}{2}$ та $b > \frac{3 + 3}{2}$ . Але ми обмежені $b < 1$ , тому беремо $b < \frac{3 - 3}{2}$ .

Сторінка 129

Завдання 647

Параметричні нерівності

Знайти всі $m$ , при яких нерівність виконується для будь-якого дійсного $x$ : а) $x^{2} - m x + 4 > 0$ ; б) $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ ; в) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ .

Розв’язання

а) Нерівність $x^{2} - m x + 4 > 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , тому парабола відкрита вгору. Потрібно, щоб дискримінант був від'ємним: $D = (- m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 < 0$ .
Обчислимо дискримінант: $m^{2} - 16 < 0$ , звідки $- 4 < m < 4$ .
б) Нерівність $x^{2} - 6 m x + m \geq 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ . Дискримінант: $D = (- 6 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m \leq 0$ .
Спростимо нерівність для $m$ : $36 m^{2} - 4 m \leq 0$ , поділимо на 4: $9 m^{2} - m \leq 0$ , звідки $m (9 m - 1) \leq 0$ .
Розв'яжемо нерівність для $m$ : корені $0$ і $1/9$ , отже $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ .
в) Нерівність $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ має виконуватися для всіх $x$ . Якщо $m = 0$ , отримуємо $- 4 x + 3 < 0$ , що не виконується для всіх $x$ . Отже, $m \neq = 0$ . Оскільки нерівність сустрога ( $<$ ), парабола має бути повністю нижче осі $O x$ , тому $m < 0$ і дискримінант від'ємний: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) < 0$ .
Спростимо умову для $D$ : $16 - 4 m^{2} - 12 m < 0$ , поділимо на 4: $4 - m^{2} - 3 m < 0$ , або $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ .
Знайдемо корені для $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ : $(m + 4) (m - 1) = 0$ , корені $- 4$ і $1$ . Нерівність виконується при $m < - 4$ або $m > 1$ .
Об'єднаємо умови: $m < 0$ та ( $m < - 4$ або $m > 1$ ). Перетин множин: $m < - 4$ або $m > 1$ .

Відповідь:

а) $- 4 < m < 4$ ; б) $0 \leq m \leq \frac{1}{9}$ ; в) $m < - 4$ або $m > 1$ .

Завдання 648

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 2 < 0 x < a$ ; б) ${x^{2} - 3 x - 4 \geq 0 x \leq a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 2 < 0$ . Корені рівняння $x^{2} + x - 2 = 0$ : $(x + 2) (x - 1) = 0$ , корені $- 2$ і $1$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок: $- 2 < x < 1$ .
Друга нерівність системи: $x < a$ . Перетин множин $(- 2; 1)$ та $(- \infty; a)$ .
Якщо $a \leq - 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути більшим за $- 2$ і меншим за $a \leq - 2$ ).
Якщо $- 2 < a \leq 1$ , то верхня межа визначається $a$ , отже $- 2 < x < a$ .
Якщо $a > 1$ , то верхня межа визначається $1$ , отже $- 2 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 1) = 0$ , корені $- 1$ і $4$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок: $x \leq - 1$ або $x \geq 4$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Перетин множин ( $(- \infty; - 1] \cup [4; + \infty)$ ) та $(- \infty; a]$ .
Якщо $a < - 1$ , то перетин: $(- \infty; a]$ .
Якщо $a = - 1$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $- 1 < a < 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Якщо $a \geq 4$ , то перетин: $(- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Відповідь:

а) при $a \leq - 2$ — розв'язків немає; при $- 2 < a \leq 1$ — $x \in (- 2; a)$ ; при $a > 1$ — $x \in (- 2; 1)$ . б) при $a < 4$ — $x \in (- \infty; - 1]$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (- \infty; - 1] \cup [4; a]$ .

Завдання 649

Система нерівностей з параметром

Розв'язати систему для кожного значення параметра $a$ : а) ${x^{2} + x - 6 \leq 0 x \geq a$ ; б) ${x^{2} - 2 x - 8 > 0 x > a$ .

Розв’язання

а) Розв'яжемо $x^{2} + x - 6 \leq 0$ . Корені: $(x + 3) (x - 2) = 0$ , корені $- 3$ і $2$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок: $- 3 \leq x \leq 2$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Перетин множин $[- 3; 2]$ та $[a; + \infty)$ .
Якщо $a > 2$ , то перетин порожній (бо $x$ має бути $\leq 2$ і $\geq a > 2$ ).
Якщо $- 3 \leq a \leq 2$ , то нижня межа визначається $a$ , отже $a \leq x \leq 2$ .
Якщо $a < - 3$ , то нижня межа визначається $- 3$ , отже $- 3 \leq x \leq 2$ .
б) Розв'яжемо $x^{2} - 2 x - 8 > 0$ . Корені: $(x - 4) (x + 2) = 0$ , корені $- 2$ і $4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок: $x < - 2$ або $x > 4$ .
Друга нерівність системи: $x > a$ . Перетин множин $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ та $(a; + \infty)$ .
Якщо $a < - 2$ , то перетин: $(- 2; + \infty)$ ? Ні, уважно. Множина $x < - 2$ перетинається з $x > a$ . Якщо $a < - 2$ , то частина $(- 2; + \infty)$ повністю входить, а частина $(- \infty; - 2)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; - 2)$ . Отже, $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ .
Якщо $- 2 \leq a < 4$ , то частина $(- \infty; - 2)$ не перетинається з $(a; + \infty)$ (бо $a \geq - 2$ ), залишається тільки $(4; + \infty)$ .
Якщо $a \geq 4$ , то частина $(4; + \infty)$ перетинається з $(a; + \infty)$ на проміжку $(a; + \infty)$ .

Відповідь:

а) при $a > 2$ — розв'язків немає; при $- 3 \leq a \leq 2$ — $x \in [a; 2]$ ; при $a < - 3$ — $x \in [- 3; 2]$ . б) при $a < - 2$ — $x \in (a; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; при $- 2 \leq a < 4$ — $x \in (4; + \infty)$ ; при $a \geq 4$ — $x \in (a; + \infty)$ .

Завдання 650

Розв'язання рівнянь з параметром

Для кожного значення параметра $a$ розв'яжи рівняння: а) $\frac{x ^{2} - ( a - 1 ) x + 2 a - 6}{9 - x ^{2}} = 0$ ; б) $\frac{x ^{2} - ( a - 2 ) x + 2 a - 8}{x ^{2} - 2 x - 3} = 0$ .

Розв’язання

Варіант а): Область визначення: $9 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 9 \Rightarrow - 3 < x < 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ . Дискримінант $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{a - 1 \pm ( a - 5 )}{2}$ . Отже, $x_{1} = a - 3$ , $x_{2} = 2$ . Перевіримо умову $- 3 < x < 3$ : якщо $a = 5$ , то $x_{1} = 2$ (підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Якщо $a \neq = 5$ , корені різні.
- Якщо $a > 6$ , то $x_{1} = a - 3 > 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $a = 5$ , корені збігаються ( $x = 2$ ). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $4 < a < 6$ , то $- 3 < a - 3 < 3$ і $x_{2} = 2$ . Відповідь: ${a - 3, 2}$ .
- Якщо $a = 4$ , то $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Відповідь: ${1, 2}$ .
- Якщо $a < 4$ , то $a - 3 < 1$ . Але треба перевірити межі. Наприклад, при $a = 0$ , $x_{1} = - 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ . При $a = - 2$ , $x_{1} = - 5$ (не підходить).
Уточнення: Корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ : $(x - 2) (x - (a - 3)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 3$ .
Умова $- 3 < x < 3$ .
- $x_{1} = 2$ завжди підходить.
- $x_{2} = a - 3$ : підходить, якщо $- 3 < a - 3 < 3 \Rightarrow 0 < a < 6$ .
Отже: при $a \in (0; 6]$ відповідь ${2, a - 3}$ (якщо $a = 6$ , то ${2, 3}$ — ні, $x < 3$ , отже $a - 3 \neq = 3$ , тобто $a \neq = 6$ ). При $a = 6$ , $x_{2} = 3$ (не підходить).
Правильно: при $a \in (0; 6)$ відповідь ${2, a - 3}$ . При $a \leq 0$ або $a \geq 6$ відповідь ${2}$ .
Варіант б): Область визначення: $x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) > 0 \Rightarrow x < - 1$ або $x > 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 2) x + 2 a - 8 = 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 2) (x - (a - 4)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 4$ .
Перевіримо умову області визначення для цих коренів.
- $x_{1} = 2$ : не підходить (бо $2$ знаходиться між $- 1$ і $3$ ).
- $x_{2} = a - 4$ : має задовольняти $a - 4 < - 1$ або $a - 4 > 3$ .
$a - 4 < - 1 \Rightarrow a < 3$ .
$a - 4 > 3 \Rightarrow a > 7$ .
Отже, при $a < 3$ або $a > 7$ відповідь ${a - 4}$ . При $3 \leq a \leq 7$ рівняння не має розв'язків.

Відповідь:

а) Якщо $0 < a < 6$ , то $x \in {2, a - 3}$ ; якщо $a \leq 0$ або $a \geq 6$ , то $x = 2$ . б) Якщо $a < 3$ або $a > 7$ , то $x = a - 4$ ; якщо $3 \leq a \leq 7$ , то розв'язків немає.

Завдання 651

Кількість коренів рівняння з параметром

Для кожного значення параметра $a$ вкажи кількість коренів рівняння: а) $\frac{x ^{2} - ( 2 a + 3 ) x + 6 a}{x ^{2} + 4 x} = 0$ ; б) $\frac{x ^{2} - ( a + 3 ) x + 4 ( a - 1 )}{12 + 4 x - x ^{2}} = 0$ .

Розв’язання

Варіант а): Чисельник: $x^{2} - (2 a + 3) x + 6 a = (x - 3) (x - 2 a)$ . Корені чисельника: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 2 a$ .
Область визначення знаменника: $x^{2} + 4 x > 0 \Rightarrow x (x + 4) > 0 \Rightarrow x < - 4$ або $x > 0$ .
Перевірка коренів:
- $x_{1} = 3$ : завжди $> 0$ , тобто завжди підходить. (1 корінь).
- $x_{2} = 2 a$ : підходить, якщо $2 a > 0 \Rightarrow a > 0$ . Якщо $a > 0$ , то ще один корінь. Якщо $a \leq 0$ , то $2 a \leq 0$ (не підходить або дорівнює 0).
Отже: при $a > 0$ — 2 корені; при $a \leq 0$ — 1 корінь ( $x = 3$ ).
Варіант б): Чисельник: $x^{2} - (a + 3) x + 4 (a - 1)$ . Дискримінант $D = (a + 3)^{2} - 16 (a - 1) = a^{2} + 6 a + 9 - 16 a + 16 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ .
Корені: $x_{1, 2} = \frac{a + 3 \pm ( a - 5 )}{2}$ .
$x_{1} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$ .
$x_{2} = \frac{2 a + 8}{2} = a + 4$ .
Область визначення знаменника: $12 + 4 x - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 6) (x + 2) < 0 \Rightarrow - 2 < x < 6$ .
Перевірка коренів на умову $- 2 < x < 6$ :
- $x_{1} = a - 1$ : підходить, якщо $- 2 < a - 1 < 6 \Rightarrow - 1 < a < 7$ .
- $x_{2} = a + 4$ : підходить, якщо $- 2 < a + 4 < 6 \Rightarrow - 6 < a < 2$ .
Аналіз проміжків для $a$ :
- Якщо $a \in (- 1; 2)$ : обидва корені підходять (2 корені).
- Якщо $a = 2$ : $x_{1} = 1$ (так), $x_{2} = 6$ (ні, бо $x < 6$ ). 1 корінь.
- Якщо $a \in (- 6; - 1]$ : $x_{1} \leq - 2$ (ні), $x_{2} < 5$ (так). 1 корінь.
- Якщо $a = - 6$ : $x_{1} = - 7$ (ні), $x_{2} = - 2$ (ні). 0 коренів.
- Якщо $a \in (- \infty; - 6)$ : обидва корені менші за -2. 0 коренів.
- Якщо $a \geq 7$ : $x_{1} \geq 6$ (ні), $x_{2} > 11$ (ні). 0 коренів.

Відповідь:

а) При $a > 0$ — 2 корені; при $a \leq 0$ — 1 корінь. б) При $- 1 < a < 2$ — 2 корені; при $a = - 6, a = 2, a = 7$ — 1 або 0 коренів (точніше: при $a = 2$ один, при $a = - 6$ один? Ні, при $a = - 6$ , $x_{1} = - 7$ , $x_{2} = - 2$ . Обидва не підходять. При $a = 7$ , $x_{1} = 6$ , $x_{2} = 11$ . Не підходять).
Правильний розподіл:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (2; 7)$ ? Перевіримо межі.
При $a = - 6$ : $x_{1} = - 7, x_{2} = - 2$ . Область $(- 2; 6)$ . Жоден не підходить.
При $a = 7$ : $x_{1} = 6, x_{2} = 11$ . Область $(- 2; 6)$ . Жоден не підходить.
При $a = 2$ : $x_{1} = 1, x_{2} = 6$ . $1$ підходить, $6$ ні. (1 корінь).
При $a = - 1$ : $x_{1} = - 2, x_{2} = 3$ . $- 2$ ні, $3$ так. (1 корінь).
Отже:
- 2 корені: $(- 1; 2)$ .
- 1 корінь: $[- 6; - 1] \cup [2; 7]$ ? Ні, при $a = - 5$ : $x_{1} = - 6$ (ні), $x_{2} = - 1$ (так). При $a = 5$ : $x_{1} = 4$ (так), $x_{2} = 9$ (ні).
Тобто:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 6; - 1] \cup [2; 7) \cup (7; \infty)$ ? Ні, при $a = - 6$ і $a = 7$ коренів немає.
Правильно:
- 2 корені: $- 1 < a < 2$ .
- 1 корінь: $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 6; - 1] \cup [2; 7) \cup (7; \infty)$ — це не так.
Давайте простіше:
$x_{1}$ підходить при $- 1 < a < 7$ .
$x_{2}$ підходить при $- 6 < a < 2$ .
Перетин: $(- 1; 2)$ — 2 корені.
Тільки $x_{1}$ : $(- 1; 7) ∖ (- 6; 2) = [2; 7)$ . (При $a = 2$ один, при $a = 7$ нуль).
Тільки $x_{2}$ : $(- 6; - 1]$ . (При $a = - 1$ один, при $a = - 6$ нуль).
Жоден: $a \leq - 6$ або $a \geq 7$ .

Завдання 652

Графічне розв'язання нерівностей

Розв'яжи графічно нерівність: а) $x^{2} < x + 2$ ; б) $(x - 2)^{2} \geq ∣ x ∣$ ; в) $2 x^{2} < 1 + x$ .

Розв’язання

Варіант а): Рівняння $x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0$ , корені $- 1, 2$ . Парабола $y = x^{2}$ менша за пряму $y = x + 2$ між точками перетину. Відповідь: $(- 1; 2)$ .
Варіант б): Розглянемо два випадки для модуля.
- Якщо $x \geq 0$ : $(x - 2)^{2} = x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 - x = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ , корені $1, 4$ .
- Якщо $x < 0$ : $(x - 2)^{2} = - x \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 + x = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 4 = 0$ , дискримінант від'ємний, перетинів немає.
Порівняємо графи: парабола $y = (x - 2)^{2}$ і пряма $y = x$ (для $x \geq 0$ ). При $x = 0$ : $4 \geq 0$ (так). Між $1$ і $4$ парабола нижча за пряму ( $4 \geq 1$ — ні, $1 \geq 1$ так, але треба перевірити значення).
Перевіримо: при $x = 2$ , ліва частина $0$ , права $2$ . $0 \geq 2$ — ні. Отже, між коренями нерівність не виконується. Зовні коренів ( $[0; 1]$ і $[4; \infty)$ ) парабола вища.

Відповідь:

$[0; 1] \cup [4; \infty)$ . (З урахуванням $x < 0$ , де нерівність завжди виконується, бо $(x - 2)^{2} > 0$ і $∣ x ∣ > 0$ , але парабола швидше росте? При $x = - 1$ : $9 \geq 1$ — так. Тобто для $x < 0$ також підходить).

Завдання 653

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣ x^{2} - 5 x ∣ \geq 6$ ;
б) $∣ x^{2} + 5 x ∣ < 7 - x^{2}$ ;
в) $∣ x + 2∣ (x + 4) \leq 3 x$ .

Розв’язання

Пункт а): Запишемо систему нерівностей: ${x^{2} - 5 x \geq 6 x^{2} - 5 x \leq - 6$ . Розв'яжемо першу: $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ , корені $x_{1} = - 1, x_{2} = 6$ , розв'язок $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ . Друга нерівність не має розв'язків ( $D < 0$ і парабола відкрита вгору). Об'єднуємо: $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ .
Пункт б): Запишемо подвійну нерівність: $- (7 - x^{2}) < x^{2} + 5 x < 7 - x^{2}$ . Розглянемо праву частину: $x^{2} + 5 x < 7 - x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - 7 < 0$ , корені $- 3, 5$ і $1$ , розв'язок $(- 3, 5; 1)$ . Розглянемо ліву частину: $- 7 + x^{2} < x^{2} + 5 x \Rightarrow - 7 < 5 x \Rightarrow x > - 1, 4$ . Перетин інтервалів: $(- 1, 4; 1)$ .
Пункт в): Розглянемо випадок $x = 0$ : $∣2∣ \cdot 4 = 8 \neq \leq 0$ , отже $x \neq = 0$ . Якщо $x > - 2$ , то $∣ x + 2∣ = x + 2$ , нерівність $(x + 2) (x + 4) \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 6 x + 8 \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 3 x + 8 \leq 0$ . Дискримінант від'ємний, розв'язків немає. Якщо $x < - 2$ , то $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ , нерівність $- (x + 2) (x + 4) \leq 3 x \Rightarrow - x^{2} - 6 x - 8 \leq 3 x \Rightarrow x^{2} + 9 x + 8 \geq 0$ . Корені $- 8$ і $- 1$ , розв'язок $(- \infty; - 8] \cup [- 1; + \infty)$ . Перетин з умовою $x < - 2$ : $(- \infty; - 8]$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)$ ; б) $x \in (- 1, 4; 1)$ ; в) $x \in (- \infty; - 8]$ .

Завдання 654

Розв'язування систем лінійних рівнянь

а) ${x - 2 y = - 2 2 x + y = 6$ ; б) ${- 2 x + y = - 4 3 x - y = 5$ ; в) ${2 x - 4 y = 16 3 x + 5 y = 9$ .

Розв’язання

а) З другого рівняння $y = 6 - 2 x$ . Підставимо в перше: $x - 2 (6 - 2 x) = - 2 \Rightarrow x - 12 + 4 x = - 2 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$ . Тоді $y = 6 - 4 = 2$ . Відповідь $(2; 2)$ .
б) Додамо рівняння: $(- 2 x + y) + (3 x - y) = - 4 + 5 \Rightarrow x = 1$ . Підставимо в перше: $- 2 (1) + y = - 4 \Rightarrow y = - 2$ . Відповідь $(1; - 2)$ .
в) Помножимо перше на 3, друге на 2: ${6 x - 12 y = 48 6 x + 10 y = 18$ . Віднімемо: $- 22 y = 30 \Rightarrow y = - \frac{15}{11}$ . Підставимо в перше: $2 x - 4 (- \frac{15}{11}) = 16 \Rightarrow 2 x + \frac{60}{11} = \frac{176}{11} \Rightarrow 2 x = \frac{116}{11} \Rightarrow x = \frac{58}{11}$ . Відповідь $(\frac{58}{11}; - \frac{15}{11})$ .

Відповідь:

а) $x = 2, y = 2$ ; б) $x = 1, y = - 2$ ; в) $x = \frac{58}{11}, y = - \frac{15}{11}$ .

Завдання 655

Задача на знаходження кількості людей за умовою про внески

Друзі придбали подарунок на суму $2600$ грн. Якщо кількість осіб була б на $3$ більшою, то внесок кожного був би на $60$ грн меншим. Потрібно знайти початкову кількість осіб.

Розв’язання

Складемо рівняння: $\frac{2600}{x} - \frac{2600}{x + 3} = 60$ . Поділимо все на $20$ : $\frac{130}{x} - \frac{130}{x + 3} = 3$ .
Помножимо на $x (x + 3)$ : $130 (x + 3) - 130 x = 3 x (x + 3) \Rightarrow 130 x + 390 - 130 x = 3 x^{2} + 9 x \Rightarrow 390 = 3 x^{2} + 9 x$ .
Розділимо на $3$ : $x^{2} + 3 x - 130 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 4 (1) (- 130) = 529$ , $D = 23$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 3 + 23}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{- 3 - 23}{2} = - 13$ .
Відкидаємо від'ємний корінь. Кількість осіб $10$ . Перевірка: внесок $260$ грн. Якщо людей $13$ , внесок $200$ грн, різниця $60$ грн — правильно.

Відповідь:

10 осіб.

Завдання 656

Спрощення виразів

а) $9 x^{2} y \cdot (- 0, 5 x^{2} y)$ ; б) $(- 0, 5 a b^{3}) \cdot (- 24 a^{2} b^{3})$ .

Розв’язання

Для пункту а) множимо числа $9 \cdot (- 0, 5) = - 4, 5$ . Змінні $x^{2} \cdot x^{2}$ дають $x^{2 + 2} = x^{4}$ , а $y \cdot y$ дають $y^{1 + 1} = y^{2}$ . Отже, $- 4, 5 x^{4} y^{2}$ .
Для пункту б) множимо числа $(- 0, 5) \cdot (- 24) = 12$ . Змінні $a \cdot a^{2}$ дають $a^{1 + 2} = a^{3}$ , а $b^{3} \cdot b^{3}$ дають $b^{3 + 3} = b^{6}$ . Отже, $12 a^{3} b^{6}$ .

Відповідь:

а) $- 4, 5 x^{4} y^{2}$ ; б) $12 a^{3} b^{6}$ .